2021年苏州市中考数学试题解析版

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．的倒数是（　　）

A． B． C． D．

2．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　）

A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5

3．下列运算结果正确的是（　　）

A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1

C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b

4．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

5．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）

A．58° B．42° C．32° D．28°

6．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）

A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定

7．依照国家实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地点实际，决定从2021年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：

A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25

8．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，预备重新建筑楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）

A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m

9．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）

10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）

A．2 B． C． D．3

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．分解因式：x2﹣1=　　　　　　．

12．当x=　　　　　　时，分式的值为0．

13．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2021里约奥运会”100m竞赛，对这两名运动员进行了10次测试，通过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳固的是　　　　　　运动员．（填“甲”或“乙”）

14．某学校打算购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情形，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须同时只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　　　　　　度．

15．不等式组的最大整数解是　　　　　　．

16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．

17．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　　　　　　．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D动身，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　　　　　　．

三、解答题（共10小题，满分76分）

19．运算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．

20．解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．

21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．

22．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？

23．在一个不透亮的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．

（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为　　　　　　；

（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．

24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；

（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

25．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．

26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）证明：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；

（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．

27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B动身，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D动身，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时动身，设它们的运动时刻为t（单位：s）（0＜t＜）．

（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　　　　　　；

（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

（3）请你连续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判定现在PM与⊙O是否也相切？说明理由．

28．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）通过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，同时点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．

①写出点M′的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

2021年江苏省苏州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．的倒数是（　　）

A． B． C． D．

【考点】倒数．

【分析】直截了当依照倒数的定义进行解答即可．

【解答】解：∵×=1，

∴的倒数是．

故选A．

2．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　）

A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也能够利用科学记数法表示，一样形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0007=7×10﹣4，

故选：C．

3．下列运算结果正确的是（　　）

A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1

C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b

【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别运算得出答案．

【解答】解：A、a+2b，无法运算，故此选项错误；

B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；

C、a2•a4=a6，故此选项错误；

D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确；

故选：D．

4．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【考点】频数与频率．

【分析】依照第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．

【解答】解：依照题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4，

则第5组的频率为4÷40=0.1，

故选A．

5．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）

A．58° B．42° C．32° D．28°

【考点】平行线的性质．

【分析】依照平行线的性质得出∠ACB=∠2，依照三角形内角和定理求出即可．

【解答】解：∵直线a∥b，

∴∠ACB=∠2，

∵AC⊥BA，

∴∠BAC=90°，

∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，

故选C．

6．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）

A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定

【考点】反比例函数图象上点的坐标特点．

【分析】直截了当利用反比例函数的增减性分析得出答案．

【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，

∴每个象限内，y随x的增大而增大，

∴y1＜y2，

故选：B．

7．依照国家实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地点实际，决定从2021年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：

A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25

【考点】众数；中位数．

【分析】依照众数、中位数的定义即可解决问题．

【解答】解：因为30显现了9次，

因此30是这组数据的众数，

将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数确实是中位数，因此中位数是25，

故选D．

8．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，预备重新建筑楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）

A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义运算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义运算AC即可．

【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，

∴AD=4sin60°=2（m），

在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，

∴AC==2（m）．

故选B．

9．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）

【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．

【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，现在△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．

【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，现在△CDE的周长最小．

∵D（，0），A（3，0），

∴H（，0），

∴直线CH解析式为y=﹣x+4，

∴x=3时，y=，

∴点E坐标（3，）

故选：B．

10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）

A．2 B． C． D．3

【考点】三角形的面积．

【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．

【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，

∵∠ABC=90°，AB=BC=2，

∴AC===4，

∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，

∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，

∴AG=BG=2

∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，

∴S△ADC=2，

∵=2，

∴GH=BG=，

∴BH=，

又∵EF=AC=2，

∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，

故选C．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

11．分解因式：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．

【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．

故答案为：（x+1）（x﹣1）．

12．当x=　2　时，分式的值为0．

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】直截了当利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．

【解答】解：∵分式的值为0，

∴x﹣2=0，

解得：x=2．

故答案为：2．

13．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2021里约奥运会”100m竞赛，对这两名运动员进行了10次测试，通过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳固的是　乙　运动员．（填“甲”或“乙”）

【考点】方差．

【分析】依照方差的定义，方差越小数据越稳固．

【解答】解：因为S甲2=0.024＞S乙2=0.008，方差小的为乙，

因此本题中成绩比较稳固的是乙．

故答案为乙．

14．某学校打算购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情形，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须同时只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　72　度．

【考点】条形统计图；扇形统计图．

【分析】依照文学类人数和所占百分比，求出总人数，然后用总人数乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案．

【解答】解：依照条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%，

则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300（人），

则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°×=72°；

故答案为：72．

15．不等式组的最大整数解是　3　．

【考点】一元一次不等式组的整数解．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，依照口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．

【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1，

解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，

则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，

则不等式组的最大整数解为3，

故答案为：3．

16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　　．

【考点】切线的性质；圆周角定理；扇形面积的运算．

【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．

【解答】解：连接OC，

∵过点C的切线交AB的延长线于点D，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

即∠D+∠COD=90°，

∵AO=CO，

∴∠A=∠ACO，

∴∠COD=2∠A，

∵∠A=∠D，

∴∠COD=2∠D，

∴3∠D=90°，

∴∠D=30°，

∴∠COD=60°

∵CD=3，

∴OC=3×=，

∴阴影部分的面积=×3×﹣=，

故答案为：．

17．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　2　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，第一依照有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而依照翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后依照勾股定理得到B′G=2，然后再次利用勾股定理求得答案即可．

【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，

∵∠B=60°，BE=BD=4，

∴△BDE是边长为4的等边三角形，

∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，

∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，

∴GD=B′F=2，

∵B′D=4，

∴B′G===2，

∵AB=10，

∴AG=10﹣6=4，

∴AB′===2．

故答案为：2．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D动身，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　（1，）　．

【考点】坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．

【分析】先依照题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后依照PE、DP的长得到点P的坐标．

【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2）

∴BO=，AO=8

由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO=BO==PE，CD=AO=4

设DP=a，则CP=4﹣a

当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP

又∵EP⊥CP，PD⊥BD

∴∠EPC=∠PDB=90°

∴△EPC∽△PDB

∴，即

解得a1=1，a2=3（舍去）

∴DP=1

又∵PE=

∴P（1，）

故答案为：（1，）

三、解答题（共10小题，满分76分）

19．运算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．

【考点】实数的运算；零指数幂．

【分析】直截了当利用二次根式的性质以及结合绝对值、零指数幂的性质分析得出答案．

【解答】解：原式=5+3﹣1

=7．

20．解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】依照分式的差不多性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再依照“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．

【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，

移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，

合并同类项，得：x＞1，

将不等式解集表示在数轴上如图：

21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先括号内通分，然后运算除法，最后代入化简即可．

【解答】解：原式=÷

=•

=，

当x=时，原式==．

22．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】先设中型车有x辆，小型车有y辆，再依照题中两个等量关系，列出二元一次方程组进行求解．

【解答】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，依照题意，得

解得

答：中型车有20辆，小型车有30辆．

23．在一个不透亮的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．

（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为　　；

（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．

【考点】列表法与树状图法；坐标与图形性质；概率公式．

【分析】（1）直截了当利用概率公式求解；

（2）先画树状图展现所有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，然后依照概率公式求解．

【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率=；

故答案为；

（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，

因此点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率==．

24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；

（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）依照平行四边形的判定证明即可；

（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴AE∥CD，∠AOB=90°，

∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，

∴∠AOB=∠EDB，

∴DE∥AC，

∴四边形ACDE是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，

∵四边形ACDE是平行四边形，

∴AE=CD=5，DE=AC=8，

∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．

25．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．

【解答】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，

∴．

解得：m=8，n=4．

∴反比例函数的表达式为y=．

∵m=8，n=4，

∴点B（2，4），（8，1）．

过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．

在△BDP和△BDP′中，

∴△BDP≌△BDP′．

∴DP′=DP=6．

∴点P′（﹣4，1）．

将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：，

解得：．

∴一次函数的表达式为y=x+3．

26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．

（1）证明：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；

（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）直截了当利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；

（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；

（3）依照cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．

【解答】（1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵CD=BD，

∴AD垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C；

（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，

∴∠AFD=180°﹣∠E，

又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，

∴∠CFD=∠E=55°，

又∵∠E=∠C=55°，

∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：连接OE，

∵∠CFD=∠E=∠C，

∴FD=CD=BD=4，

在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，

∴AB=6，

∵E是的中点，AB是⊙O的直径，

∴∠AOE=90°，

∵AO=OE=3，

∴AE=3，

∵E是的中点，

∴∠ADE=∠EAB，

∴△AEG∽△DEA，

∴=，

即EG•ED=AE2=18．

27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B动身，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D动身，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时动身，设它们的运动时刻为t（单位：s）（0＜t＜）．

（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　　；

（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

（3）请你连续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判定现在PM与⊙O是否也相切？说明理由．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再依照角平分线性质，列出方程解决问题．

（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解决．

（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．

②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．

【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，

∴BD===10，

∵PQ⊥BD，

∴∠BPQ=90°=∠C，

∵∠PBQ=∠DBC，

∴△PBQ∽△CBD，

∴==，

∴==，

∴PQ=3t，BQ=5t，

∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，

∴QP=QC，

∴3t=6﹣5t，

∴t=，

故答案为．

（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．

∵MC=MQ，MT⊥CQ，

∴TC=TQ，

由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t，

∵MQ∥BD，

∴∠MQT=∠DBC，

∵∠MTQ=∠BCD=90°，

∴△QTM∽△BCD，

∴=，

∴=，

∴t=（s），

∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．

（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，

∵EQ∥BD，

∴=，

∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，

∵DO=3t，

∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，

∴点O在直线QM左侧．

②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．

∵EC=（8﹣5t），DO=3t，

∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，

∵OH⊥MQ，

∴∠OHE=90°，

∵∠HEO=∠CEQ，

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，

∵∠OHE=∠C=90°，

∴△OHE∽△BCD，

∴=，

∴=，

∴t=．

∴t=s时，⊙O与直线QM相切．

连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°，

在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，

∴∠OFH=∠FOH=45°，

∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8，

∴MH=0.8（+1），

由=得到HE=，

由=得到EQ=，

∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=，

∴0.8（+1）≠，矛盾，

∴假设不成立．

∴直线MQ与⊙O不相切．

28．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）通过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，同时点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．

①写出点M′的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；

（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，因此△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范畴是0＜m＜3；

（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；

②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，因此d1+d2=BF，因此求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，因此当点F与M′重合时，BF可取得最大值．

【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，

∵M在抛物线上，且在第一象限内，

∴0＜m＜3，

过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，

由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），

∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，

∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，

∴x=，

∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），

∴DM=m﹣=，

∴S=DM•BE+DM•OE

=DM（BE+OE）

=DM•OB

=××3

=

=（m﹣）2+

∵0＜m＜3，

∴当m=时，

S有最大值，最大值为；

（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；

②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

依照题意知：d1+d2=BF，

现在只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′=90°，

∴点F在以BM′为直径的圆上，

设直线AM′与该圆相交于点H，

∵点C在线段BM′上，

∴F在优弧上，

∴当F与M′重合时，

BF可取得最大值，

现在BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（，），

∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，

过点M′作M′G⊥AB于点G，

设BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴﹣（﹣x）2=﹣x2，

∴x=，

cos∠M′BG==，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，

∠BAC=45°

2021年6月30日