关于绝对值函数的问题解决精华(含答案).

 有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。

试题  已知函数，.

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；

（2）若当时，不等式恒函数成立，求实数的取值范围；

（3）求函数在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.

解答

（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得. 

（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，

①当时，（*）显然成立，此时； 

②当时，（*）可变形为，令

因为当时，，当时，，

所以，故此时. 

综合①②，得所求实数的取值范围是.

（3）因为=

1当时，结合图形可知在上递减，在上递增，

且，经比较，此时在上的最大值为.

2当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且，，

经比较，知此时在上的最大值为.

3当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且，，

经比较，知此时 在上的最大值为.

4当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且, ，

经比较，知此时 在上的最大值为.

当时，结合图形可知在上递增，在上递减，

故此时 在上的最大值为.

综上所述，

当时，在上的最大值为；

当时， 在上的最大值为；

当时， 在上的最大值为0.