《三角函数》高考真题文科总结及答案

1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)

A．y＝sin (2x＋)         B．y＝cos (2x＋)

C．y＝sin 2x＋cos 2x      D．y＝sin x＋cos x

2．(2015·陕西卷9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)(　　)

A．既是奇函数又是减函数     B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数         D．是没有零点的奇函数

3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝x2sin x   B．y＝x2cos x   C．y＝|ln x|   D．y＝2－x

4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)

A．y＝ln x            B．y＝x2＋1

C．y＝sin x           D．y＝cos x

5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝x＋sin 2x             B．y＝x2－cos x

C．y＝2x＋                D．y＝x2＋sin x

6．(2015·广东卷5)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3  B．2

C．2  D.

7．（2015·福建卷6）若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)

A.     B．－     C.     D．－

8．（2015·重庆卷6）若tan α＝，tan(α＋β)＝，则 tan β＝(　　)

A.      B.      C.     D.

9.（2015·山东卷4）要得到函数y＝sin(4x－)的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)

A．向左平移个单位         B．向右平移个单位

C．向左平移个单位          D．向右平移个单位

10.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)(2015·新课标8)

A.，k∈Z                         

B.，k∈Z

C.，k∈Z                         

D.，k∈Z

11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．

12.（2015·北京卷11）在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.

13.（2015·安徽卷12）在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.

14.(2015·福建卷14)若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝___________．

15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．

16.（2015·重庆卷13）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝__________.

17.(2015·浙江卷11)函数f(x)＝sin2 x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．

18.(2015·湖北卷13)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为__________

19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.

20．(2015·陕西卷17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a, b)与n＝(cos A，sin B)平行．

(1)求A；

    (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．

21.(2015·浙江卷16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan(＋A)＝2.

(1)求的值；

(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．

22.(2015·江苏卷15)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.

(1)求BC的长；

    (2)求sin 2C的值．

23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.

(1)求tan的值；

    (2)求的值．

24.(2015·湖南卷17)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.

(1)证明：sin B＝cos A；

    (2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.

25.(2015·新课标I卷17)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.

(1)若a＝b，求cos B；

    (2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．

26.(2015·天津卷16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.

(1)求a和sin C的值；

    (2)求cos的值．

27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.

(1)求；

    (2)若∠BAC＝60°，求∠B.

28.（2015·山东卷17）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，

求sin A和c的值．

29.(2015·四川卷19)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．

(1)    求C的大小；

    (2)    若AB＝3，AC＝，求p的值．

30.（2015·安徽卷16）已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．

31．（2015·北京卷15）已知函数f(x)＝sin x－2sin2.

(1)求f(x)的最小正周期；

    (2)求f(x)在区间[0，]上的最小值．

32.(2015·重庆卷18)已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最小值；

    (2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求g(x)的值域．

33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

    (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

34.(2015·福建卷21)已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

    (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.

①求函数g(x)的解析式；

②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.

2015《三角函数》高考真题答案

1.【答案】B    2.【答案】B     3.【答案】B      4.【答案】D      5.【答案】D

6.【解析】由余弦定理得：，及，可得

7.【答案】D【解析】由，且为第四象限角，则，则

8.【答案】A【解析】

9.【答案】【解析】因为，所以，只需要将函数的图象向右平移个单位，故选.

10.【答案】D

11.【答案】3【解析】

12.【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.

13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：

14.【答案】

【解析】由题意得．由正弦定理得，则，

所以．

15.【答案】－1

【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2

2sinαcosα－cos2α＝

16.【答案】4

【解析】由及正弦定理知：,又因为,所以，

由余弦定理得：，所以;

17.【答案】

【解析】

，所以；.

18.【答案】2

19.【答案】 

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

 , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内， .

20.试题解析：()因为，所以

由正弦定理，得，

又，从而，

由于

所以

()解法一：由余弦定理，得

，而，，

得，即

因为，所以，

故面积为.

解法二：由正弦定理，得

从而

又由知，所以

故

       ，

所以面积为.

21.【答案】(1)；(2)

试题解析：(1)由，得，

所以.

(2)由可得，.

，由正弦定理知：.

又，

所以.

22.【答案】（1）；（2）

23.【答案】（1）；（2）．

（1）

（2）

24.【答案】（I）略；(II) 

25.【答案】（）（）1

试题解析：（）由题设及正弦定理可得.

又，可得,,

由余弦定理可得.

（）由(1)知.

因为90°，由勾股定理得.

故，得.

所以ABC的面积为1.

26.【答案】（）a=8,;（）.

试题解析:（）△ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8.由 ,得.

(2),

27.【解析】（I）由正弦定理得 

因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.

（II）因为 

所以 由（I）知,

所以 

28.【答案】

【解析】在中，由，得.

因为，所以，

因为，所以，为锐角，，

因此.

由可得，又，所以.

29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式

△＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0

所以p≤－2或p≥

由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p

于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0

从而tan(A＋B)＝

所以tanC＝－tan(A＋B)＝

所以C＝60°

(Ⅱ)由正弦定理，得

sinB＝

解得B＝45°或B＝135°(舍去)

于是A＝180°－B－C＝75°

则tan A＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝

所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－

30.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为，最小值为0

【解析】（Ⅰ）

所以函数的最小正周期为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，

当 时，

由正弦函数在上的图象知，

当，即时，取最大值；

当，即时，取最小值.

综上，在上的最大值为，最小值为.

31.解析（Ⅰ）∵=+cos－=2(+)－

∴的最小正周期为2.

（Ⅱ）∵，∴.

当，即时，取得最小值.

∴在区间上的最小值为.

32.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为，最小值为，（Ⅱ）.

试题解析： (1) 

                          ,

因此的最小正周期为，最小值为.

(2)由条件可知：.

当时，有，

从而的值域为，

那么的值域为.

故在区间上的值域是.

33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得. 数据补全如下表：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .因为的对称中心为，. 令，解得，.即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为.  

34.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；

（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．

由知，存在，使得．

由正弦函数的性质可知，当时，均有．

因为的周期为，

所以当（）时，均有．

因为对任意的整数，，

所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．