2020年重庆市中考数学试卷(A卷)(附答案详解)

一、选择题（本大题共24小题，共96.0分）

1.如图，直线，，则的度数为

A. 

B. 

C. 

D. 

2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D. 

3.如图所示的几何体的左视图是

A. 

B. 

C. 

D. 

4.关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则a的值为

A.  B.  C. 1 D. 

5.在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，所得点的坐标是

A.  B.  C.  D. 

6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

A.  B. 

C.  D. 

7.对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是

A. 中位数是5 B. 众数是7 C. 平均数是4 D. 方差是3

8.如果一个角的度数比它补角的2倍多，那么这个角的度数是

A.  B.  C.  D. 

9.如图，在中，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则的度数是

A. 

B. 

C. 

D. 

10.函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为

A. 

B. 

C. 

D. 

11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是

A.  B. 

C.  D. 

12.如图，在平行四边形ABCD中，，，是锐角，于点E，F是AB的中点，连结DF、若，则AE长为

A. 2

B. 

C. 

D. 

13.下列各数中，最小的数是

A.  B. 0 C. 1 D. 2

14.下列图形是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D. 

15.在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”其中数据26000用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D. 

16.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个黑色三角形，第个图案中有3个黑色三角形，第个图案中有6个黑色三角形，，按此规律排列下去，则第个图案中黑色三角形的个数为

A. 10 B. 15 C. 18 D. 21

17.如图，AB是的切线，A为切点，连接OA，OB，若，则的度数为

A. 

B. 

C. 

D. 

18.下列计算中，正确的是

A.  B.  C.  D. 

19.解一元一次方程时，去分母正确的是

A.  B. 

C.  D. 

20.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为

A.  B. 2 C. 4 D. 

21.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度或坡比：，山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为参考数据：，，

A.  B.  C.  D. 

22.若关于x的一元一次不等式组的解集为；且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是

A. 7 B.  C. 28 D. 

23.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点若，，，的面积为2，则点F到BC的距离为

A. 

B. 

C. 

D. 

24.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

25.分解因式：______．

26.与最接近的自然数是______．

27.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序只填：______．

绘制扇形图；

收集最受学生欢迎菜品的数据；

利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；

整理所收集的数据．

28.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，长6米，坡角为，AD的坡角为，则AD长为______米结果保留根号．

29.如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点若，则图中阴影部分的面积为______．

30.如图，直线与y轴交于点A，与双曲线在第三象限交于B、C两点，且下列等边三角形，，，的边，，，在x轴上，顶点，，，在该双曲线第一象限的分支上，则______，前25个等边三角形的周长之和为______．

31.计算：______．

32.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．

33.现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，则点在第二象限的概率为______．

34.如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为______结果保留

36.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊简称摆摊三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：随着促进消费的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

37.计算：．

四、解答题（本大题共15小题，共148.0分）

38.先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．

39.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且，连接AE和BF相交于点M．

求证：．

40.某校为了响应市号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

本次调查的学生人数是______人，______；

请补全条形统计图；

学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是______；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是______．

41.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．

以单位：元表示商品原价，单位：元表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；

新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？

42.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．

发现问题：代数式的最小值是多少？

探究问题：如图，点A、B、P分别表示数、2、x，．

的几何意义是线段PA与PB的长度之和，

当点P在线段AB上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．

的最小值是3．

请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：

解决问题：

的最小值是______；

利用上述思想方法解不等式：；

当a为何值时，代数式的最小值是2．

43.如图，是的外接圆，AB为直径，点P为外一点，且，连接PO交AC于点D，延长PO交于点F．

证明：；

若，证明：PA是的切线；

在条件下，连接PB交于点E，连接DE，若，求DE的长．

44.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．

求抛物线的解析式；

如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，于点F，过点E作轴于点H，交AM于点点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：

求的最小值；

如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出的最小值．

45.计算：

；

．

46.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩满分10分，6分及6分以上为合格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．

八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：

直接写出上述表中的a，b，c的值；

根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由写出一条理由即可；

该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

47.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作，，垂足分别为E，平分．

若，求的度数；

求证：．

48.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．

该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值．

当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．

已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集保留1位小数，误差不超过．

49.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如：，，所以14是“差一数”；

，但，所以19不是“差一数”．

判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

求大于300且小于400的所有“差一数”．

50.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为元，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．

请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？

今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加求a的值．

51.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．

求该抛物线的函数表达式；

点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；

将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

52.如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转，得到AE，连接CE，点F是DE的中点，连接CF．

求证：；

如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

答案和解析

1.【答案】B

【知识点】平行线的性质

【解析】解：如图所示：

，

，

；

故选：B．

由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．

本题考查了平行线的性质和对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

2.【答案】C

【知识点】科学记数法-绝对值较大的数

【解析】解：700000用科学记数法表示为，

故选：C．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】B

【知识点】简单组合体的三视图

【解析】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．

故选：B．

根据左视图即从左边观察所得图形．

本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．

4.【答案】A

【知识点】根的判别式

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等实数根，

，

．

故选：A．

根据一元二次方程的定义及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

5.【答案】D

【知识点】平移中的坐标变化

【解析】

【分析】

此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律，可以直接算出平移后点的坐标．

【解答】

解：将点向下平移3个单位长度所得点的坐标为，即；

故选D．

6.【答案】A

【知识点】中心对称图形、轴对称图形

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

7.【答案】C

【知识点】算术平均数、中位数、方差、众数

【解析】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；

B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；

C、平均数是：，故本选项正确；

D、方差是：，故本选项错误；

故选：C．

根据平均数、众数、中位数及方差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可．

此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差

8.【答案】C

【知识点】余角和补角

【解析】解：设这个角是，根据题意，得

，

解得：．

即这个角的度数为．

故选：C．

若两个角的和等于，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．

此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为，互补两角之和为．

9.【答案】D

【知识点】三角形内角和定理、等腰三角形的性质

【解析】解：在中，，，

，

，

，

，

故选：D．

根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．

10.【答案】D

【知识点】一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数的图象，反比例函数图象以及二次函数图象与系数的关系的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．

【解答】

解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知，

根据二次函数的图象可知，，

函数的大致图象经过一、二、三象限，

故选D．

11.【答案】A

【知识点】由实际问题抽象出分式方程

【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，

依题意，得：，

即．

故选：A．

设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

12.【答案】B

【知识点】勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质

【解析】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设．

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，，

≌，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

整理得：，

解得或舍弃，

，

，

故选：B．

如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设首先证明，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，属于中考选择题中的压轴题．

13.【答案】A

【知识点】有理数大小比较

【解析】解：，

这四个数中最小的数是．

故选：A．

根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案．

本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，正数大于负数．

14.【答案】A

【知识点】轴对称图形

【解析】解：B、C、D都不是轴对称图形，A是轴对称图形，

故选：A．

根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．

15.【答案】C

【知识点】科学记数法-绝对值较大的数

【解析】解：，

故选：C．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

16.【答案】B

【知识点】列代数式、图形规律问题

【解析】解：第个图案中黑色三角形的个数为1，

第个图案中黑色三角形的个数，

第个图案中黑色三角形的个数，

第个图案中黑色三角形的个数为，

故选：B．

根据题意，即可得解．

本题考查图形规律问题，属于基础题．

17.【答案】D

【知识点】切线的性质

【解析】解：是的切线，A为切点，

，

，

，

故选：D．

根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．

本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

18.【答案】C

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

B.2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

C.，此选项计算正确；

D.与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

故选：C．

根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．

本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．

19.【答案】D

【知识点】一元一次方程的解法

【解析】

【分析】

本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．

【解答】

解：方程两边都乘以6，得：，

故选：D．

20.【答案】D

【知识点】两点间的距离公式*、坐标与图形性质、位似图形及相关概念

【解析】

【分析】

本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．

把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．

【解答】

解：以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，

而，，

，，

．

故选：D．

21.【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】解：如图，由题意得，，，，

在中，

山坡CD的坡度：，

，

设，则，由勾股定理可得，

又，即，

，

，，

，

在中，

，

，

故选：B．

构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．

本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．

22.【答案】A

【知识点】一元一次不等式组的解法、分式方程的一般解法、分式方程的解

【解析】解：不等式组整理得：，

由解集为，得到，

分式方程去分母得：，

即，

解得：，

由y为正整数解，且得到，7，

，

故选．

不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整数方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值即可．

此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23.【答案】B

【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、三角形的面积

【解析】

【分析】

本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

首先求出的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据，求出BD即可解决问题．

【解答】

解：，

，

，

由翻折可知，≌，，

，，

，

，

，

，

设点F到BD的距离为h，则有，

，

故选：B．

24.【答案】B

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、平行线的判定与性质

【解析】

【分析】

本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

连接BD，OF，过点A作于N，过点F作于证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题．

【解答】

解：如图，连接BD，OF，过点A作于N，过点F作于M．

，，

，

，

，F在反比例函数的图象上，

，

，

，

，

，

，

平分，

，

四边形ABCD是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故选：B．

25.【答案】

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】解： 

．

故答案为：．

先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

26.【答案】2

【知识点】估算无理数的大小

【解析】

【分析】

本题考查了估算无理数的大小，需熟练掌握．

根据，可求，依此可得与最接近的自然数．

【解答】

解：，

，

与最接近的自然数是2．

故答案为：2．

27.【答案】

【知识点】扇形统计图、调查收集数据的过程与方法

【解析】解：收集最受学生欢迎菜品的数据；

整理所收集的数据；

绘制扇形图；

利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；

故答案为：．

根据收据的收集、整理及扇形统计图的制作步骤求解可得．

本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

28.【答案】

【知识点】特殊角的三角函数值、解直角三角形的应用

【解析】

【分析】

本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

过点D作于E，过点C作于首先证明，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．

【解答】

解：过点D作于E，过点C作于F．

，，，

，

在中，米，

，

在中，，，

米，

故答案为．

29.【答案】

【知识点】翻折变换(折叠问题)、扇形面积的计算、矩形的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质

【解析】

【分析】

本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．

连接OG，证明∽，得出，设，则，求出圆的半径为，证明为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案．

【解答】

解：连接OG，

将沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，

，，

矩形ABCD中，，

，

，

与CD相切于点G，

，

，

，

∽，

，

设，则，

解得：，即的半径是．

连接OQ，作，

，，

为等边；同理为等边；

，，，

．

故答案为：．

30.【答案】；30

【知识点】一次函数与反比例函数综合

【解析】解：设直线与x轴交于点D，作轴于E，轴于F．

，

当时，，即点D的坐标为，

当时，，即A点坐标为，

，．

在中，，

．

直线与双曲线在第一象限交于点B、C两点，

，

整理得，，

由韦达定理得：，即，

，

，

同理可得：，

，

解得：．

由题意可以假设，

，

，即第一个三角形的周长为12，

设，

，

解得，

，即第二个三角形的周长为，

设，

由题意，

解得，即第三个三角形的周长为，

，

第四个三角形的周长为，

前25个等边三角形的周长之和，

故答案为，30．

设直线与x轴交于点D，作轴于E，轴于首先证明，可得，，由直线与双曲线在第一象限交于点B、C两点，可得，整理得，，由韦达定理得：，即，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．

本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．

31.【答案】3

【知识点】绝对值、零指数幂

【解析】解：，

故答案为：3．

根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．

本题考查零次幂和绝对值的性质，掌握零次幂和绝对值的性质是正确计算的前提．

32.【答案】6

【知识点】多边形内角与外角

【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：

，

解得．

故答案为：6．

n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．

本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．

33.【答案】

【知识点】平面直角坐标系中点的坐标、用列举法求概率(列表法与树状图法)

【解析】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为3，

所以点在第二象限的概率．

故答案为．

画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．

34.【答案】

【知识点】扇形面积的计算、正方形的性质

【解析】解：四边形ABCD为正方形，

，，

由勾股定理得，，

，

图中的阴影部分的面积，

故答案为：．

根据勾股定理求出AC，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．

本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．

35.【答案】

【知识点】函数的图象

【解析】解：根据题意可得，乙货车的速度为：，

乙货车从B地到A地所用时间为：小时，

当乙货车到底A地时，甲货车行驶的路程为：千米，

点E的坐标是．

故答案为：．

根据点C与点D的坐标即可得出乙货车的速度，进而得出乙货车从B地到A地所用时间，据此即可得出点E的坐标．

本题考查函数图象，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．

36.【答案】1：8

【知识点】三元一次方程组的应用*

【解析】解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，

由题意可得：，

解得：，

月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比：：8，

故答案为：1：8．

设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，由题意列出方程组，可求a，b的值，即可求解．

本题考查了三元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的等量关系是本题的关键．

37.【答案】解：原式 

．

【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的运算

【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．

此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

38.【答案】解：

，

由不等式组，得，

是不等式组的整数解，

，0，

当时，原分式无意义，

，

当时，原式．

【知识点】分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解

【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x是不等式组的整数解，然后即可得到x的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

39.【答案】解：在正方形ABCD中，

，，

，

，

在与中，

，

≌，

．

【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质

【解析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质结合已知条件可证明≌，然后根据全等三角形的判定即可求出答案．

40.【答案】解：；30；

组的人数为人，补全条形统计图如图：

 ；

【知识点】扇形统计图、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)

【解析】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图以及概率公式：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

根据B组的人数和所占比例求出本次调查的学生人数；求出A组所占的百分数，即可得出m的值；

求出C组的人数，补全条形统计图即可；

如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即星期一，星期二、星期二，星期三、星期三，星期四、星期四，星期五，由概率公式求出概率；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画出树状图，由概率公式即可得出答案．

【解答】

解：人，，

则；

故答案为：60；30；

见答案；

如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即星期一，星期二、星期二，星期三、星期三，星期四、星期四，星期五，

其中有一天是星期一的概率是；

小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，

其中有一天是星期三的概率为；

故答案为：；．

41.【答案】解：由题意可得，

，

当时，，

当时，，

由上可得，；

时，，即此时选择甲商场购物更省钱，

时，当时，得，即时选择甲商场购物更省钱，

故时，选择甲商场购物更省钱；

当时，得，即此时两家商场购物一样；

当时，得，即此时选择乙商场购物更省钱．

【知识点】一元一次不等式的应用、一次函数的应用

【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

根据题意，可以分别写出两家商场对应的y关于x的函数解析式；

根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．

42.【答案】解：；

如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，

当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；

当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，

则x范围为或；

当a为或时，代数式的最小值是2．

【知识点】绝对值、一元一次不等式的解法、数轴、数学传统文化-代数类

【解析】

【分析】

此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是解本题的关键．

原式变形和4距离x最小值为；

根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；

根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．

【解答】

解：，表示P到A与到B的距离之和，

点P在线段AB上，，

当点P在点A的左侧或点B的右侧时，，

的最小值是6；

故答案为6；

见答案；

见答案．

43.【答案】证明：连接OC．

，，

垂直平分线段AC，

．

证明：设，

是直径，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

是的切线．

解：如图，过点E作于J，于K．

，

由可知，，，

，

，

，

，

，

四边形CDKB是矩形，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

．

【知识点】圆的综合、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、圆周角定理

【解析】首先证明PF垂直平分线段AC，利用垂径定理可得结论．

设，通过计算证明，推出∽ODA即可解决问题．

如图，过点E作于J，于想办法求出EJ，DJ即可解决问题．

本题属于圆综合题，考查了垂径定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

44.【答案】解：抛物线的表达式为：，

即，解得：，

故抛物线的表达式为：；

由抛物线的表达式得，点，点，

则，

则设直线AM的表达式为：，

将点A的坐标代入上式并解得：，

故直线AM的表达式为：，

，，

，则，则，

设点，则点，

则，

，故EF有最大值，此时，故点；

点关于y轴的对称点为点，连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，

为最小，

则；

过点O作直线OK，使，过点D作于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，

为最小值，

则直线OK的表达式为：，

，故设直线DK的表达式为：，

将点D的坐标代入上式并解得：，

则直线DK的表达式为：，

故点，

由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角设为的正切值为，则，

则，而，

则为最小值．

【知识点】二次函数综合

【解析】抛物线的表达式为：，即，即可求解；

点关于y轴的对称点为点，连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，为最小，即可求解；

过点O作直线OK，使，过点D作于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，则为最小，即可求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、解直角三角形等，综合性强，难度适中．

45.【答案】解：，

，

；

，

，

，

．

【知识点】整式的混合运算、单项式乘多项式、完全平方公式、分式的混合运算

【解析】根据整式的运算的法则进行计算即可；

先计算括号内的减法，再计算除法，注意约分和因式分解．

考查整式、分式的四则混合运算，掌握计算法则和因式分解是正确计算的前提．

46.【答案】解：七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，

众数，

由条形统计图可得，中位数，

，

即，，；

八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：

八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；

从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，

参加此次测试活动成绩合格的学生有人，

即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．

【知识点】用样本估计总体、中位数、条形统计图、众数

【解析】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，属于中档题．

根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a、b、c的值；

根据题意，即可得解；

根据题目中的数据和条形统计图中的数据，进行求解即可．

47.【答案】解：，

，

，

，

平分，

，

四边形ABCD是平行四边形，

，

，

证明：四边形ABCD是平行四边形，

，

，，

，

，

≌，

．

【知识点】角平分线的性质、三角形内角和定理、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质

【解析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可．

证明≌可得结论．

48.【答案】解：补充完整下表为：

；

根据函数图象：

该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；

该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，说法正确；

当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，说法正确．

由图象可知：不等式的解集为或．

【知识点】轴对称的基本性质、轴对称图形、一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数的图象

【解析】

【分析】

本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．

将，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；

结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；

根据图象求得即可．

【解答】

解：在中，令，，令，，补全的函数图象见答案；

见答案；

见答案．

49.【答案】解：，但，所以49不是“差一数”；

，，所以74是“差一数”．

大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，3，369，374，379，384，3，394，399，

其中除以3余数为2的有314，329，344，359，374，3．

故大于300且小于400的所有“差一数”有314，329，344，359，374，3．

【知识点】因式分解的运用、新定义型

【解析】根据“差一数”的定义即可求解；

根据“差一数”的定义即可求解．

考查了因式分解的应用，本题是一个新定义题，关键是根据新定义的特征和仿照样例进行解答，主要考查学生的自学能力．

50.【答案】解：设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；

根据题意得，，

解得：，

答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；

，

解得：，舍去，

答：a的值为10．

【知识点】二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．

设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；

根据题意列方程即可得到结论．

51.【答案】解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为：；

设直线AB的表达式为：，则，解得，

故直线AB的表达式为：，

过点P作y轴的平行线交AB于点H，

设点，则，

面积，

，

故S有最大值，

又，

当时，S的最大值为；

抛物线的表达式为：，

则平移后的抛物线表达式为：，

联立上述两式并解得：，故点；

设点、点，而点B、C的坐标分别为、；

当BC为菱形的边时，

点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样向右平移1个单位向上平移3个单位得到，

即且或且，

当点D在E的下方时，则，即，

当点D在E的上方时，则，即，

联立并解得：，或舍去，故点；

联立并解得：，，故点或；

当BC为菱形的的对角线时，

则由中点公式得：且，

此时，，即，

联立并解得：，，

故点，

综上，点E的坐标为：或或或．

【知识点】二次函数综合

【解析】将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

面积，即可求解；

分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．

52.【答案】证明：，，

，

把AD绕点A逆时针旋转，得到AE，

，，

，，

又，

≌，

，

，

点F是DE的中点，

；

，

理由如下：如图2，过点G作于H，

，

设，则，，

，，

，

由可知：≌，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

；

如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接PN，

，，，

是等边三角形，

，

，

当点A，点P，点N，点M共线时，值最小，

此时，如图，连接MC，

将绕点B顺时针旋转得到，

，，，

是等边三角形，是等边三角形，

，，

，，

垂直平分BC，

，，

，

，，，

，

，

，

，

由可知：

【知识点】几何变换综合、旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质

【解析】由“SAS”可证≌，可得，可求，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；

过点G作于H，设，可得，，，由全等三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，可求，可求BG的长，即可求；

将绕点B顺时针旋转得到，连接PN，可得当点A，点P，点N，点M共线时，值最小，由旋转的性质可得是等边三角形，是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可求解．

本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P的位置是本题的关键．