2017春高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式课时作业新人教A版必修5讲

概念与通项公式课时作业 新人教A 版必修5

基 础 巩 固

一、选择题

1．已知{a n }是等比数列，a 3＝2，a 6＝1

4，则公比q ＝导学号 54742400( D )

A ．－1

2

B ．－2

C ．2

D ．12

[解析] 由条件得⎩

⎪⎨⎪

⎧

a 1q 2

＝2a 1q 5＝1

4，

∵a 1≠0，q ≠0，∴q 3

＝18，∴q ＝12

.故选D ．

2．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则

a ＝导学号 54742401( D )

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧

2b ＝a ＋c ，

a 2

＝bc ，

消去a 得4b 2－5bc ＋c 2

＝0，

∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，

代入a ＋3b ＋c ＝10中解得b ＝2，∴a ＝－4.

3．等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ≠1，如果a 1，a 2，a 3依次是等差数列的第1、2、5项，则q 为导学号 54742402( B )

A ．2

B ．3

C ．－3

D ．3或－3

[解析] 设等差数列为{b n }，则b 1＝a 1＝1，b 2＝1＋d ，b 5＝1＋4d ，由题设(1＋d )2

＝1×(1＋4d )，∴d ＝2或d ＝0(与q ≠1矛盾舍去)，∴b 2＝3，公比q ＝a 2a 1＝b 2

b 1

＝3.

4．在等比数列{a n }中，

a 3＋a 4

a 2＋a 3

＝3，a 3＝3，则a 5＝导学号 54742403( D )

B ．13

C ．9

D ．27

[解析] ∵q ＝

a 3＋a 4a 2＋a 3＝3，a 3＝a 1q 2＝9a 1＝3，∴a 1＝13

，∴a 5＝a 1q 4

＝27. 5．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4

a 4＋a 5

的

值为导学号 54742404( C )

A ．1－5

2

B ．

5＋1

2

C ．

5－1

2

D ．

5＋12或5－1

2

[解析] ∵a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，

∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2

＝a 1q ＋a 1， ∴q 2

－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋1

2

. ∴

a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4 a 3＋a 4 q ＝1q ＝5－1

2

. 6．(2016·北京海淀期中)已知a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则导学号 54742405( A )

A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5

B ．a 1＋a 8C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5

D ．a 1＋a 8与a 4＋a 5大小不定

[解析] 由条件知，(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)＝a 1(1＋q 7

－q 3

－q 4

)＝a 1[(1－q 3

)＋q 4

(q 3

－1)] ＝a 1(1－q 3

)(1－q 4

)＝a 1(1－q )(1＋q ＋q 2

)·(1－q 2

)(1＋q 2

) ＝a 1(1－q )2

(1＋q )(1＋q 2

)(1＋q ＋q 2

)． ∵q >0且q ≠1，a 1>0，

∴(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)>0，∴a 1＋a 8>a 4＋a 5. 二、填空题

7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝3·2

n －

3

.导学号 54742406

[解析] ∵⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 3＝3a 10＝384，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1q 2

＝3

a 1q 9

＝384

∴q 7＝128，∴q ＝2，∴a 1＝34

，∴a n ＝a 1q n －1＝3·2n －3

.

8．已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第是－1

256.导学号 54742407

[解析] ∵a 1＝12，a 2＝a 1q ＝12q ＝－1

4，

∴q ＝－12，∴a 8＝a 1q 7

＝12×(－12)7＝－1256.

三、解答题

9．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝8

27，证明{a n }是等比数

列，并求出通项公式.导学号 54742408

[证明] ∵2a n ＝3a n ＋1， ∴

a n ＋1a n ＝23，故数列{a n }是公比q ＝2

3

的等比数列． 又a 2·a 5＝827，则a 1q ·a 1q 4＝827，即a 2

1·(23)5＝(23)3.

由于数列各项均为负数，则a 1＝－3

2.

∴a n ＝－32×(23)n －1＝－(23

)n －2

.

10．已知：数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *

)．求证：数列{a n ＋1}是等比数列.导学号 54742409

[证明] 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *

)． 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4.两式相减 得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，

即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， ∴a 2＋a 1＝2a 1＋6.

又∵a 1＝5，∴a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *

. 又∵a 1＝5，a 1＋1≠0. 从而

a n ＋1＋1

a n ＋1

＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．

能 力 提 升

一、选择题

11．已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的

大小关系是导学号 54742410( C )

A ．m >k

B ．m ＝k

C ．m D ．m 与k 的大小随q 的值而变化 [解析] m －k ＝(a 5＋a 6)－(a 4＋a 7) ＝(a 5－a 4)－(a 7－a 6)

＝a 4(q －1)－a 6(q －1)＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2

)

＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)．

12．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为导学号 54742411( C )

A ． 2

B ．4

C ．2

D ．12

[解析] ∵a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }中的连续三项， ∴a 2

3＝a 1·a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0， ∴(a 1＋2d )2

＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ，

∴公比q ＝a 3a 1＝4d

2d

＝2，故选C ．

13．若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log

c

x 导学号 54742412( C )

A ．依次成等差数列

B ．依次成等比数列

C ．各项的倒数依次成等差数列

D ．各项的倒数依次成等比数列 [解析]

1log a x ＋1

log c x

＝log x a ＋log x c ＝log x (ac )＝log x b 2

＝2log x b ＝2

log b x

∴

1log a x ，1log b x ，1

log c x

成等差数列． 二、填空题

14．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是8.导学号 54742413

[解析] 设公比为q ，则8q 6

＝5 832，∴q 6

＝729， ∴q 2

＝9，∴a 5＝8q 4

＝8.

15．已知在△ABC 中，sin A 与sin B 的等差中项为710，等比中项为235，则sin C ＋sin(A

－B )＝1825或32

25

.导学号 54742414

[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin A ＋sin B ＝7

5

，sin A ·sin B ＝12

25，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin A ＝4

5，sin B ＝3

5

，或⎩⎪⎨⎪⎧

sin A ＝35，sin B ＝4

5

.

(1)若⎩⎪⎨⎪⎧ sin A ＝45

，sin B ＝3

5

，则A >B ，∴cos B ＝4

5

，

∴sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝32

25.

(2)若⎩⎪⎨⎪⎧

sin A ＝35

sin B ＝4

5

，则π2>B >A ，∴cos B ＝3

5

， ∴sin C ＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝18

25.

三、解答题

16．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.导学号 54742415 (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若a 3、a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .

[解析] (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3

，解得q ＝2，

∴a n ＝a 1q

n －1

＝2n

.

(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32， 设{b n }的公差为d ，则有

⎩

⎪⎨

⎪⎧

b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

b 1＝－16，

d ＝12.

从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －28

2

＝6n 2

－22n .

17．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *

.导学号 54742416

(1)求证：{a n －2

3}是等比数列；

(2)求数列{a n }的通项公式． [解析] (1)证明：∵a n ＋1＝12a n ＋1

3，

∴a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12(a n －2

3)．

∴a n ＋1－

23a n －

23

＝1

2.

∴{a n －23}是首项为524，公比为1

2的等比数列．

(2)解：∵a n －23＝524×(12)n －1

，

∴a n ＝53×(12)n ＋2＋23.