线代复习试卷及答案

一、单项选择题（每题3分，共15分）

  1、已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=(     )

       A.-15       B.15       C.0       D.1

2、设是矩阵，是矩阵，则（  ）

     A．当时，必有行列式；B．当时，必有行列式 

     C．当时，必有行列式；D．当时，必有行列式

3、设为的一个基，则下列仍为的一个基的是（    ）

A.         B.    

C.             D. 

  4、对非齐次方程组，设，则(     )

      A.时，方程组有解；     B.时，方程组有唯一解    

C.时，方程组有唯一解； D.时，方程组有无穷多解

  5、下列命题中不正确的是(     )

     A.合同矩阵的秩必相等               B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称阵

     C.与都是二次型的矩阵      D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵

二、填空题（每题3分，共15分）

1、设为的一个基，则在该基下的坐标为          。         2、．

3、若二次型为正定二次型，则          。            4、若则                。

5、设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是                ．

三、解答题。（每题8分，共40分）

1、求       （8分）

2、求矩阵方程，其中。    （8分）

3、设及试求：当为何值时可由线性表出，并且表示法唯一。（8分）

4、求的特征值和特征向量。（8分）

5、设为3阶矩阵，，求。（8分）

   四、当、为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．（10分）

   五、设矩阵A与B相似，其中，

①求;   ②求正交阵P，使得.（10分）

   六、证明题。（每题5分，共10分）

       1、设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵）， 则矩阵的特征值全为．

      2、设向量组是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，求证：线性无关。

                                   线代试题2

一．单项选择题（每小题3分，共12分）

1. 设均为阶矩阵，且，则必有____________；     

(A)   (B)      (C)     (D)    

2. 设向量组线性无关,向量组线性相关,则以下命题中成立的是____________；

(A)一定能由线性表示    (B)一定能由线性表示 

(C)一定能由线性表示    (D)一定能由线性表示

3. 设是三元线性方程组的两个不同的解，且，则的通解为____________； 

(A) +           (B)   

(C)              (D) 

4. 已知是矩阵的特征向量，则____________；

(A) 1或2       (B) -1或-2      (C) -1或2      (D) 1或-2

二．填空题（每小题3分，共12分）

1.＝____________；

2. 如果A是3阶可逆矩阵，互换A的第一、第二行，得矩阵B ,且，则=____________；                            

3. 设向量若线性相关，则=____________；

4. 已知3阶方阵A的特征值为1、-1、2，则矩阵的特征值为____________；

三．解答题（每小题8分，共40分）

1.  计算行列式；

2.  设3阶方阵满足方程，试求矩阵，其中；

3.  设A为三阶矩阵且，求；

4.  求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示；

5.  已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为，且对应于特征值为0的特征向量为，求矩阵A.

四．(12分) 设线性方程组为，问：、分别取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 并在有无穷多解时求出其通解.

五．（12分）设二次型=由正交变换可化为标准形.求的值及正交矩阵P，并判断该二次型的正定性.

六．证明题（每小题6分，共12分）

1. 设向量组线性无关,且，，.试证明向量组线性无关.

2. 若方阵A、B满足.证明A可逆，并求(用A的多项式表示).         

                                   线代试题3 

一、填空题（每小题3分，共12分）

1、已知是行列式的元素的代数余子式，则___________；

2、设矩阵，为的伴随矩阵，且，则___________；

3、设向量组，，是空间的一组基，要使，，可以构成空间的一组基，则必须满足         ；

4、要使实二次型为正定的，则必有k的值满足        。

二、单项选择题（每小题3分，共12分）

1、设为3阶矩阵，若，则         ；

(A)  ；     (B)    ；     (C)  ；       (D)  ； 

2、设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，则下列命题正确的是         ；

(A)  若的解均是的解，则；

(B)  若，则的解均是的解；    

(C)  若与同解，则；   

(D)   若，则与同解

3、设P为n阶正交矩阵，x是一个n维列向量，且||x||=3，则||Px||=____________；

(A)  1；  (B)  3；    (C)  6；    (D)   9；

4、 设为维列向量，且；为阶单位矩阵；令，则下列说法错误的是 _________。

(A)是对称矩阵；    (B)是可逆矩阵；       (C)是正交矩阵；   (D)  是正定矩阵.

三、计算题(每小题9分，共36分) 

1、计算n阶行列式；

2、设矩阵，求；

3、设是3阶方阵，互换A的第一、第二列，得矩阵B；再将B的第二列加到第三列上得矩阵C；

求满足的可逆矩阵；

4、设向量组求它的一个最大无关组，并用此最大无关组表示其余向量。

四、(15分)已知线性方程组

（1）为何值时，无解，有唯一解，有无穷多个解？（10分）

（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。（5分）

五、（15分）已知实二次型；

（1）写出对应的矩阵A；（3分）    

（2）求正交变换（必须写出相应的正交变换矩阵）将化为标准形（或法式）。（12分）

六、证明题(每小题5分，共10分）

1、设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为和，证明不再是的特征向量。

2、设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，试证明线性无关。

                线代试题4

一、单项选择题（每小题3分，共12分）

1、设是三维列向量，且，那么       ；

(A)  0            (B)  1           (C)             (D)  不能确定

2、设为阶方阵，且，则下列选项中错误的是___________。

(A)可逆     (B)可逆       (C)可逆    (D)可逆

3、已知有非零解，则              ；

(A)  4；   (B)  3；    (C)  2；    (D)  不能确定    

4、设A为m矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（　　　）

（A）  A的行向量组线性无关    (B)  A的行向量组线性相关

(C)   A的列向量组线性无关    (D)  A的列向量组线性相关

二、填空题（每小题3分，共12分）

1、设2阶矩阵A=，则A*A=_____________； 

2、如果A是3阶可逆矩阵，互换A的第一、第二列，得矩阵B，且，则=____________；

    3、设为的一个基，则在该基下的坐标为             ；

4、已知阶方阵的行列式为，是其一个特征值，则的伴随矩阵的特征值之一是：_______；

三、计算题(每小题9分，共36分) 

1、计算阶行列式；

2、设矩阵，求；

3、设向量组，求它的一个

最大无关组，并用此最大无关组表示该向量组中的其余向量。

4、设A是阶矩阵，满足（是阶单位矩阵，是的转置矩阵）及；求；

四、(15分)已知线性方程组

     （1）为何值时，无解，有唯一解，有无穷多个解？（10分）

（2）在有无穷多解时求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）。（5分）

五、（15分）设矩阵，，，为的伴随矩阵。

（1）计算矩阵C；（6分）

（2）求矩阵C的特征值与特征向量。（9分）

六、证明题（每小题5分，共10分）

1、设为维列向量，满足，令，证明是对称的正交矩阵；

2、已知向量组线性无关，令，，，

证明： 时向量组线性无关。

                                     线代试题5

 一、填空题（每小题3分，共15分）

1、已知，均为三阶方阵，且=2， =－3，则=____________。 

2、设阶方阵的个列向量两两正交且均为单位向量，则＝         。

3、如果三阶方阵相似于对角矩阵，则行列式＝            。

4、设向量组，，，当满足         时，向量组

可以构成空间的一组基。

5、已知实二次型，经过某个正交变换后，可以化成标

准形，则＝        。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、设均为三维列向量，且，那么＝       。

(A) 0            (B) 1             (C)           (D)  不能确定

2、设为阶方阵，且，则下列选项中错误的是___________。

(A)可逆       (B)可逆        (C)可逆     (D)可逆      

3、设向量组的秩为2，则___________。

(A) 1           (B) 2                (C) 0              (D) －1

4、设是阶方阵，如果的秩，且的伴随矩阵，则齐次线性方程组

的基础解系中所含解向量的个数为___________。

(A)          (B)              (C)  1               (D)    0

5、设阶方阵与相似，则下列说法中正确的是 ___________。

(A)       (B)与有相同的特征值及特征向量  

(C)与必合同         (D)  对任意常数，与相似

三、计算题(每小题8分，共32分) 

1、计算阶行列式；

2、设矩阵，互换的第一、第二列得矩阵，且，求矩阵；

3、设矩阵，求；

4、设向量组，求它的一个

最大无关组，并用此最大无关组表示该向量组中的其余向量。

四、(14分) 已知线性方程组

；

讨论参数取何值时，方程组有解、无解；在有解时，试用其导出组的基础解系表示其通解。

五、（14分）若矩阵可以对角化，设与相似的对角矩阵为；试求常数的

值及对角矩阵，并求可逆矩阵使得。

六、证明题（每题5分，共10分）

1、设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，试证明线性无关；

2、设为正交矩阵，且，试证明是的特征值。

                                     线代试题6

                                                                                               一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、设均为三维列向量，且，那么           ；

(A)              (B)  0             (C)  1          (D) 不能确定

2、设为阶方阵，且，则下列结论中错误的是__________；

(A)                     (B)必有两列元素成比例  

     (C)的n个列向量必线性相关       (D)必有一个列向量是其余个列向量的线性组合

3、已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=__________；

       (A)  -15            (B)    15             (C)   0          (D)   1

4、已知阶方阵的行列式为，是的一个特征值，则的伴随矩阵必有的特征值是：_______； 

(A)          (B)             (C)             (D)    

5、设、B均为阶非零方阵，且，则和B的秩必满足____________；

(A) 必有一个等于零   (B) 都小于    (C) 一个小于一个等于      (D) 都等于

二、填空题（每小题3分，共15分）

1、若，，，则=         ； 

2、设二阶矩阵，为一常数，则=         ；

3、已知三阶矩阵的三个特征值是-1，1，2，则         ；

4、 如果A是3阶可逆矩阵，互换A的第一、第二列，得矩阵B，且，则=____________；

 5、设矩阵的秩为，又矩阵，则            。

三、计算题(每小题8分，共32分) 

1、计算阶行列式；

2、设矩阵，求满足的矩阵；

3、已知向量组：，，，；求其一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示。 

4、设矩阵可以对角化，求未知参数；

四、(14分)设线性方程组，讨论当为何值时，此方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

五、（14分）设矩阵，，，为的伴随矩阵。

1、计算矩阵C； 

2、求矩阵C的特征值与特征向量。

六、证明题（每小题5分，共10分）

1、设为维列向量，满足，令，证明是对称的正交矩阵；

2、已知向量组线性无关，令，，，证明： 时向量组线性无关。

                                线代试题7                             

一、单项选择题（每小题3分，共12分）

1、设是三维列向量，且，那么       ；

0             1                          不能确定

2、设向量都是线性方程组的解，则为      时也是它的解；

                                    任何非0实数

3、下面的选项中      不是向量组：，，，的最大无关组；

4、已知维向量，，且，那么=       . 

                                       0或1

二、填空题（每小题3分，共12分）

1、若，，，则=         ； 

2、已知向量组：，，，那么向量可由表示为：                  ；

3、设是四阶方阵且，与是非齐次线性方程组的两个解，则该线性方程组的通解可表示为                         ；

4、如果三阶方阵相似于对角矩阵，那么矩阵的特征值为                  .

三、计算题(每小题8分，共40分) 

1．；

2．设为三阶方阵，且，求：； 

3．矩阵，是交换的第一行和第三行所得的矩阵，求满足的矩阵；

4．已知向量组：，，，的秩为2，求参数和的值；

5．设向量是方阵

的特征向量，求：对应的特征值，参数和的值；

四、(12分) 如果存在三阶矩阵，使得，其中是齐次线性方程组

的系数矩阵. 求：参数的值和取该值时方程组的全部解，并确定矩阵是否可逆？

五、（12分）求一个正交变换，把下面的二次型化为标准形（必须写出相应的正交变换矩阵）：

并判断该二次型是否正定？

六、证明题（每小题6分，共12分）

1．如果方阵满足，证明可逆；

2．已知向量组线性无关，令，，，证明： 时向量组线性无关.

                                   线代总结

一 行列式的计算

性质1 行列式与它的转置行列式相等

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号

推理   如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

性质3  行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式.

推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

推论　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质4　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.

性质5　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

计算行列式技巧：

1、分析，探求行列式的结构

2、化零，尽可能把行列式化为爪型

3、对角化1，边化－1

4、靠边，把行列式化为三角形行列式

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

计算行列式常用方法：化零，展开.

二、关于线性方程组的解

1 对于n 个未知数，n个方程的特殊线性方程组 （Cramer法则）

如果线性方程组的系数行列式不等于0，齐次和非齐次线性方程组都仅有唯一解。

齐次的是零解；非齐次解为（i=1,2,…,n）

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

例子：解线性方程组

用克拉默法则解方程组的两个条件

(1)方程个数等于未知量个数;       (2)系数行列式不等于零.

2 一般线性方程组的解。有解的充分必要条件：。

求解步骤：（1）将增广矩阵化成行阶梯行，若，则有解，继续化简成行最简行；

（2）由的行最简行可得到的一个特解；

（3）行最简行除去最后一列，即A的行最简行，可得的一个基础解系：；

则所要求的通解为。

相应的若求奇次线性方程组的解，只需要将系数矩阵A化成行最简行，求出一个基础解系，则通解为。

例子：化简增广矩阵

1、

因，所以线性方程组无解.

2、

解 方程组的增广矩阵为

因，所以线性方程组有无穷多解.

即

其中ｃ为任意常数.

三 矩阵的初等变换及应用

1 求矩阵的秩

           最高阶非零子式的阶数

           行阶梯形矩阵非零行的行数

矩阵的秩＝ 行最简形矩阵非零行的行数

           标准形矩阵中单位矩阵的阶数

例子：设 A＝，求矩阵A 的秩

所以， 

2 求矩阵的逆 

例子：求矩阵的逆。

。所以

3 解简单的矩阵方程，其中A 可逆。

由，其中A 可逆，知 X＝A－1B

故  

例子  ，；，求X

。所以 X＝。

4 （向量空间不考）求过渡矩阵

设 R3中两组基为：，，和

，，。求由前一组基到后一组基的过渡矩阵。

由，故；

即

所以 过渡矩阵为。

5 求一组向量最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示。行最简式。

例子：求的一个最大无关组。

，可见，，又因为，线性无关，即表明为向量组：的一个最大无关组。且。

6 求向量空间的一组基，并求其余向量在这组基下的坐标。行最简式。

Key

          试题1答案及评分标准

一、选择题（每题3分，共15分）

 1、A   2、B  3、B  4、A    5、D

二、填空题（每题3分，共15分）

 1、1，1，-1   2、3   3、2    4、1   5、

三、解答题（每题8分，共40分）

 1．       （5分）  

   ,   故   （8分）

故   （8分）

3． ，（4分）

当且时可由线性表出，并且表示法唯一。                       （8分）

4．解:

解得特征值。                                                                （3分）

解齐次线性方程组得基础解系为

故对应于的特征值为：                                             （5分）

解齐次线性方程组得基础解系为：

                                                                            （7分）

故对应于的特征值向量为：

。                                                    （8分）

5．解：因为，                                                         （2分）所以                                        （5分）

                  |2A1|(2)3|A1|8|A|18216                            （8分）

   四、解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：

                                 （3分）

所以，⑴ 当时，，此时线性方程组有唯一解．

      ⑵ 当，时，，，此时线性方程组无解．

 ⑶ 当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．             （6分）

    此时，原线性方程组化为

因此，原线性方程组的通解为

或者写为

                                                                （10分）

五、解：因A与B 相似，故有

解得.（2分）

A的特征根为.（3分）

解齐次线性方程组，得

对应于的特征向量为，将它单位化得.（5分）

对应于的特征向量为，将它单位化得.                          （7分）

对应于的特征向量为.                                             （9分）

令，则即为所求正交矩阵.                                  （10分）

六．1、设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有

．

所以， ，                                            （3分）

但是，所以，但，所以．                                         （5分）

2、假设线性有关，则存在不全为零的使得

，

       于是=，                                       （2分）

       又由于的线性无关性知，于是                   （4分）

      （），这与已知向量不是方程组的解矛盾。（5分）

                         试题2答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共12分）

1.B     2.C     3.B     4.D

二、填空题（每小题3分，共12分）

1.2；  2.； 3.a=1；

4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）    

三、解答题（每小题8分，共40分）

1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：

2分

2分

                             4分 

注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。

2. 由题，有                                        2分

且故可逆。                           2分

在等式左右两边左乘得                      2分

3.解：

2分

2分

                                  2分

,上式＝                                  2分

注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。

4.解：令矩阵，并通过初等行变化化成最简形，有：                             4分

故向量组A的的一个最大无关组为，                          2分 

且。                                                  2分

5.解：因为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的，设特征值为2时所对应的特征向量为则有：                          2分

其基础解系为

若矩阵A相似与对角矩阵，则

相似变换矩阵为，                                2分

求得，                                                2分

2分

由＝

注：本题也可使用参数法求解，即：

设,                                                      2分

由题意有                                       2分

得，故矩阵,

由特征值为2得，                              2分

由特征多项式为，比较系数得

故A=                                                            2分

四．(共12分)解：线性方程组的系数矩阵为： 

增广矩阵为：                  4分

故（1）当                                        1分

   (2)当                                       1分

  （3）当                                   2分

当时，原增广矩阵为      2分

其等价方程组为：，故其通解为：

                                          2分

注：本题也可采用如下方法判断方程组有唯一解：

系数行列式为：，故当

若a=-2时，代入原方程组进行化简，其计算步骤和评分标准同上。

五．（共12分）

解：的矩阵，有特征值  故     2分

当时，解方程组得方程组的基础解系为：

，,                                              2分

正交单位化，有：，；                       3分

当时，解方程组得方程组的基础解系为：      

,单位化，得：                                   2分

令,故即为所求的正交变换。      2分

因为矩阵A特征值不全为正，故为非正定型（或不定）。                          1分

六．（每小题6分，共12分）

1. 证明：设有使，                               2分

则有： 

即：      

由于线性无关，则必有                          2分

解得：，

所以，线性无关。                                               2分 

2.证明：由               2分

，                           2分

故有：               2分

                   试题3答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，共12分）

1、  2；    2、  1；     3、  ；     4、  

二、选择题（每小题3分，共12分）

1、  A ；    2、  C ；    3、 B ；    4、 D

三、解答题（每小题9分，共36分）

1、…..…（4分）

...….（9分）

2、记，则；…..…………………………………..…..……...（4分）

又，所以。………………………...（9分）

3、由题意有，，……………..…………………………………………...（4分）

于是   ，所以。……….……………………………………...（9分）

4、～～～………...（4分）

则，且线性无关，所以即为的一个极大无关组，（7分）

且；…………………………………………………………………………………..………...（9分）

或者取，；还可以取， 

四、解～～

     …………………………….…………..………...（4分）

所以当时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分）

当时，～  ，所以方程组无解。…………………...（8分）

当时，～；此时原方程组有无穷多解；………………..…………………….…...（10分）

有，取得原方程组一个特解；………………..……….……...（12分）

；得导出组的基础解系；所以原方程组的通解为：

，其中为任意常数。…………………………………………………………..………...（15分）

五、                                      …………………………………..………...（3分）

由＝

求得的特征值为…………………………………..………………………………….……...（6分）

对应，解方程，解方程，由

～，得基础解系。将其单位化得。…..……...（9分）

对应，解方程，由

～，得基础解系；……………………..………...（12分）

将正交化，取，

；再将单位化，得……..（14分）

得正交矩阵，有…………..（15分）

六、1、按题意，有，故…………………….………..（1分）

假设是的对应于特征值的特征向量，则；…………..（2分）

于是＝；即………………………………………..…..（3分）

又因为和是矩阵的两个不同的特征值，所以与线性无关，故，即得

这与题设矛盾，所以假设不成立，即不是的特征向量。………………………………………...（5分）

2、设，即

   。 ………………………………………...（1分）

以左乘该式两边；因为是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，有，又，所以（3分）

于是有，又线性无关，所以，得。所以线性无关。……………………………….……………………………..………………...（5分）

                           试题4答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共12分）                     

1、 B     2、 A     3、 A     4、 C  

二、填空题（每小题3分，共12分）

1、；  2、.；  3、（1，1，-1）；   4、 6；   

三、

1、………………………（6分）

     …………………………………………………………………………………（9分）

2、      记，则，  ……………………………………………………………（2分）

又，故…………………………………………………………（4分）

，故………………………………………………………（6分）

所以。   …………………………………………………………………（9分）

3、记，对A进行行初等变换，将其化为行最简形：

～～～…………………（5分）

，又显然线性无关，所以即为原向量组的一个最大无关组；………………………（7分）

且，。………………………………………………………………………………（9分）

或取为原向量组的一个最大无关组；且，。

取为原向量组的一个最大无关组；且，。

取为原向量组的一个最大无关组；且，。

4、因为，故，又；所以………………………………………………………（4分）

则有，所以……………………………………（9分）

四、解～～

……………………………….………………………………………………………………….……………..………...（4分）

所以当时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分）

当时，～  ，所以方程组无解。…………………...（8分）

当时，～；此时原方程组有无穷多解；………………..…………………….…...（10分）

有，取得原方程组一个特解；………………..……….……...（12分）

；得导出组的基础解系；所以原方程组的通解为：

，其中为任意常数。……………………………………………………..……..………...（15分）

五、解：，又，所以   …………（6分）

，得矩阵的三个特征值，。…………………………（9分）

对，解方程组

由于～，即，得的基础解系，；所以矩阵的对应于特征值的所有特征向量为，为不同时为零的常数。…………………………………………………………………………………………………………（12分）

对，解方程组

由于～，即，得的基础解系；所以矩阵的属于的所有特征向量为，为不为零的常数。………（15分）

六、证明题（每小题5分，共10分）

1、证明：因为，所以是对称的矩阵； ………………………（2分）

又，又因为，故；即证得是对称的正交矩阵。      …………………………………………………………………………（5分）

2、证 由题意；当时，有；…（2分）

又已知向量组线性无关，则，故可得，所以向量组线性无关。 ………………………………………………………………………………………………（5分）

                   试题5答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，共15分）

1、；    2、E；   3、-15；    4、；    5、 2

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、C      2、A     3、B      4、C     5 、D

三、解答题（每小题8分，共32分）

1、         ………………（4分）

                   ………………………………………………………………（8分）

2、      由题意   ……………………………………………………………………………………（4分）

又，即，所以……………………………………………（8分）

3、      记，则，  ……………………………………………………………（2分）

又，故…………………………………………………………（4分）

，故………………………………………………………（6分）

所以。   …………………………………………………………………（8分）

4、记，对A进行行初等变换，将其化为行最简形：

～～～…………………（4分）

，又显然线性无关，所以即为原向量组的一个最大无关组；………………………（6分）

且，。………………………………………………………………………………（8分）

或取为原向量组的一个最大无关组；且，。

取为原向量组的一个最大无关组；且，。

取为原向量组的一个最大无关组；且，。

四（14分）、解 先将方程组的增广矩阵通过初等行变换化成行阶梯形

～～…………………（4分）

可见当且时，，方程组有解，否则方程组无解；     ……………………（7分）

在方程组组有解时，同解方程组为

，取，得原方程组一特解；    ……………………（9分）

取，得原方程组导出组的基础解系为，；…………………………………………………………………………………………（12分）

所以原方程组的同解为，为任意常数。     …………………………………（14分）

注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。

五（14分）、矩阵A的特征多项式，

故A的特征值为，。    …………………………………………………………………（4分）

由于A相似于对角矩阵，故对应于应有两个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组的基础解系中应含两个解，所以，…………………………………………………（6分）

而～，故  …………………………………………………（8分）

对，解，～，得基础解系……………（10分）

对，解，～，得基础解系  ………………………（12分）

记矩阵，则矩阵即满足。  ………………………（14分）

注：此题基础解系有很多种表示形式，故可逆矩阵有多种形式都可以，改卷时需注意。

六、证明题（每题5分，共10分）

1、证法一 设存在一组数，使得

以矩阵左乘上式，因为是的一个解，是解，故

，，，所以，又，则必有。   ……………………（3分）

又因为是的一个基础解系，故它们线性无关，所以，，即证得线性无关；………………………………………………………………………………（5分）

证法二 假设线性相关，

因为是的一个基础解系，故它们线性无关，

则可以由线性表示，………………………………………………………………………（3分）

由其次线性方程组解的性质知是的解，这与已知是的一个解矛盾，故假设不成立，所以线性无关。………………………………………………………………………………（5分）

2、证 因为是正交矩阵，故； …………………………………………………………………………（2分）

又，则有，所以，

即证得是的特征值。………………………………………………………………………………（5分）

                   试题6答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共12分）

1、C    2、B     3、A     4、D  5、 B

二、填空题（每小题3分，共12分）

1、4；  2、；  3、  -15；   4、；       5、  2    

三、 1、将该行列式的最后一行的（－1）倍加到其余各行，得………………（4分）

………………………………………………………………………………（8分）

2、 由题意，，     ………………………………………………………………………（4分）

所以………………………………………………………………………（8分）

3、记，对A进行行初等变换，将其化为行最简形，

～～…………………………………………（4分）

，又显然线性无关，所以即为原向量组的一个最大无关组；………………（6分）

且。………………………………………………………………………………………（8分）

4、矩阵A的特征多项式，

故A的特征值为，。    …………………………………………………………………（4分）

由于A相似于对角矩阵，故对应于应有两个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组的基础解系中应含两个解，所以，

而～，故  …………………………………………………（8分）

四、先求系数行列式

…………（3分）

（1）当且时，，方程组有唯一解；         ………………………………………………（5分）

（2）当时，对增广矩阵进行行初等变换

～，方程组无解；…………………（9分）

（3）当时，对增广矩阵进行行初等变换

～，同解方程组为，同解为

，为任意常数。  ………………………………………………（14分）

五、解：，又，所以…………（6分）

，得矩阵的三个特征值，。…………………………（9分）

对，解方程组

由于～，即，得的基础解系，；所以矩阵的对应于特征值的所有特征向量为，为不同时为零的常数。…………………………………………………………………………………………………………（12分）

对，解方程组

由于～，即，得的基础解系；所以矩阵的属于的所有特征向量为，为不为零的常数。………（14分）

六、证明题（每小题5分，共10分）

1、证明：因为，所以是对称的矩阵； ………………………（2分）

又，又因为，故；即证得是对称的正交矩阵。      …………………………………………………………………………（5分）

2、证 由题意；当时，有；…（2分）

又已知向量组线性无关，则，故可得，所以向量组线性无关。 ………………………………………………………………………………………………（5分）

                             试题7答案及评分标准

一、()   1．B        2．C        3．A      4．B

二、()   1．36        2．      3．     4．-1，3，5

三、()

1． （本题若不讨论可给满分）时，；时，；时：

……8′ 

2．                        ………………4′

                                            ………………8′

3.                       ………………4′

………………8′

4．∵ 

∴，                            ………………6′

解得：                                           ………………8′

5．由于即

                                  ………………6′

                          ………………8′

四（12′）  ∵      ∴有非零解

即：         ………………4′

当时， 

取，    

全部解为：（）                     ………………10′

假设可逆，由，而，因此不可逆   …………12′

五（12′）

， 

时，  

时，  

时，                     ………………6′

将3个正交特征向量单位化得：组成正交变换矩阵：

，

使得时，二次型化为标准型    ……………10′

三个特征值都大于零，因此，为正定二次型                        ………………12′

六、证明题（）

1．，因此可逆  …………6′

2． 由已知：，  当即时，

该矩阵的秩为3，而，所以，

即线性无关                                    ………………6′