湖南师大附中2010届高三第四次月考试卷---文科数学

数     学（文科）

命题：肖 强  贺中良  曾克平  肖  婕     审题：朱海棠

                   邓 云  严勇华  洪利民  贺祝华

本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U＝R，集合，，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为                                                              （ B ）

【解析】由已知，，则，故选B. 

2.已知命题p：R，，则命题p的否定是                              （ D ）

A. 不存在R，使             B. R，

C. R，                    D. R，

【解析】特称命题的否定是全称命题，并同时否定量词和结论，故选D.

3.设a，b为非零向量，λ∈R，若“a＝λb”是“a与b方向相同”的充分不必要条件，则λ的取值范围可以是                                                              （ ）

A.(0，＋∞)        B.(－∞，0)        C. (1，＋∞)       D.(－∞，1)

4.将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式是                                                                       （  ）

A.     B.    C.   D.

【解析】将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，故选A.

5.某景泰蓝厂为了制作国庆六十周年的纪念品，需要一种特殊的蓝色釉料.此种釉料需要用石英、云石、硼砂等矿物质，再加某种化工原料合制而成.为了寻找最合适的配方，需要在单位用量(10，28)的试验范围内寻找该种化工原料的最佳配用量，考虑到试验的工序多时间长，现决定用均分分批试验法安排试验，每批试验安排8个试点，则第二批试验后存优范围的区间长度是（ C ）

A. 0.4               B.0.5               C.0.8               D. 1

【解析】将区间(10，28) 均分为9等份，在8个分点处各做一次试验，则第一批试验后存优范围的区间长度为4.

设第一批试验后的存优范围是，将该区间均分为10等份，在新增的8个分点处各做一次试验，则第二批试验后存优范围的区间长度为0.8，故选C.

6.给出下列四个命题： 

①垂直于同一平面的两条直线相互平行； 

②垂直于同一平面的两个平面相互平行；

③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.

其中真命题的个数是                                                        （ B ）

A．1个             B．2个               C．3个                D．4个

【解析】命题①，④为真， 命题②，③为假，故选B.

7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是                                （ A ）

A.海里        B.海里       C.海里      D.海里

【解析】如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，

AB＝20，从而∠ACB＝45°.

在△ABC中，由正弦定理，得.

故选A.

8.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有

成立，则称和在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.若与在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是                 （ D ）

A. [1，4]             B. [2，4]            C. [3，4]           D. [2，3]

【解析】因为.由，得，解得，故选D.

二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.

9.不等式的解集是 (－1，0]  ．

【解析】由，得.

10.在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是

 等边三角形  .

【解析】由，得∠BAC的平分线垂直于BC，所以.

由，故△ABC为等边三角形.

11.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，抛掷第一枚骰子得到的点数记为x，抛掷第二枚骰子得到的点数记为y，则使的概率为.

【解析】由，得，则或或 ，故.

12.已知，则的值为.

【解析】由，得，解得.

所以.

13.已知点A(1，2)，直线(t为参数)与直线相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|＝.

【解析】将代入，得，所以|AB|＝5t＝.

14.函数的单调递增区间是 .

【解析】由得或.

令，则当x＜1时，为减函数，当时，为增函数函数.

又是减函数，故在为增函数.

15.已知数列为等差数列.

  （1）若，，则 16 ；

（2）一般地，若，，则.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，则.由已知，所以.

故.

（2）因为，则.

三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知函数，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求k的取值范围.

【解】（Ⅰ）.                 （2分）

据题意，，即，所以，即.                            （4分）

从而，故.          （6分）

（Ⅱ）因为，，则         （8分）

当时，.                                         （9分）

据题意，，所以，解得.

故k的取值范围是.                                                     （12分）

17.(本小题满分12分)

已知函数，其中a，b为实常数.

（Ⅰ）求函数为奇函数的充要条件；

（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数在R上是增函数的概率.

【解】（Ⅰ）若为奇函数，则对任意x∈R，恒成立，即

   ，即恒成立，所以.（3分）

当时，，则，所以为奇函数.（5分）

故为奇函数的充要条件是.                                            （6分）

（Ⅱ）因为.                                         （7分）

若在R上是增函数，则对任意x∈R，恒成立

所以△＝4，即.                                    （8分）

设“在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为.

又全部试验结果，如图.                            （10分）

所以.

故函数在R上是增函数的概率为.                                       （12分）

18.(本小题满分12分)

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点.

（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；

（Ⅱ）若PA＝AC＝，BD＝，求直线BM与

平面PAC所成的角.

 【解】（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，连结OM.

因为ABCD是菱形，则O为AC中点.

又M为PA的中点，所以OM∥PC.                                             （3分）

因为OM在平面BDM内，所以PC∥平面BDM.                                  （4分）

（Ⅱ）因为ABCD是菱形，则BD⊥AC.

又PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD.

所以BD⊥平面PAC.

所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角.                                     （7分）

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC. 在Rt△PAC中，因为PA＝AC＝，则PC＝2.

又点M与点O分别是PA与AC的中点，则MO＝PC＝1.                        （9分）

又BO＝BD＝，在Rt△BOM中，tan∠BMO＝，所以∠BMO＝60°. 

故直线BM与平面PAC所成的角是60°.                                         （12分）

19.(本小题满分13分)

据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元.为了增加农民的收入，当地积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作. 据估计，如果有x(x＞0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元（a＞0为常数）.

（I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；

（II）在（I）的条件下，当地应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？

【解】（I）据题意，（100－x）·3000·（1+2x%）≥100×3000，                    （2分）

即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.                                                  （3分）

又x＞0，故x的取值范围是(0，50].                                             （4分）

（II）设这100万农民的人均年收入为y元，则

y＝＝

＝－[x－25(a＋1)]2＋3000＋475(a＋1)2 (0（1）若0＜25(a＋1)≤50，即0＜a≤1，则当x＝25(a＋1)时，y取最大值； 

（2）若25(a＋1)＞50，即a ＞1，则当x＝50时，y取最大值.                     （11分）

答：当0＜a≤1时，安排25(a＋1)万人进入加工企业工作，当a＞1时，安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大.                                   （13分）

20.(本小题满分13分)

已知两圆和，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切.

（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点M(5，0)作直线与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【解】（Ⅰ）由已知，点，，，，则

|O1O2|＝2＜，所以⊙O1内含于⊙O2.                                 （2分）

设圆P的半径为r，因为动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切，则

.

所以动圆圆心P轨迹是以点为焦点的椭圆.                                  （4分）

因为，，所以.

故动圆圆心P的轨迹方程是.                                         （6分）

（Ⅱ）因为直线x＝5与椭圆无交点，可设直线的方程为.

 由，得，即.（8分）

设点，AB的中点为，则

 ，.              （10分）

若线段AB的垂直平分线经过圆心O2，则CO2⊥，即.

 所以，即4＝0，矛盾！                         （12分）

故不存在直线使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2.                           (13分)

21.(本小题满分13分)

已知数列满足：，，记(n∈N*)，为数列的前n项和.

（Ⅰ）证明数列为等比数列，并求其通项公式；

（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，证明：(n∈N*).

【解】（Ⅰ）因为，由已知可得，

.（3分）

又，则.                                                （4分）

所以数列是首项和公比都为的等比数列，故.            （5分）