小学奥数教案-第03讲-加减巧算(教)

2培养学生分类讨论问题的能力，了解加减法巧算的主要方法和遵循的主要原则。

3学会运用用等差数列的求和公式

 一、基本运算律及公式

1、加法

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

2、减法

巧添括：a＋b－c＝a＋（b－c）

          a－b＋c＝a－（b－c）

          a－b－c＝a－（b＋c）

 二、加减法中的速算与巧算

核心：凑整

1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．

4、“基准数”法．当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）

三、等差数列求和公式：总数=（首项+末项）×项数÷2

考点一：分组凑整

例1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

【解析】观察式子可以发现，1+9=10,2+8=10,3+7=10.... 先运用加法交换律将和为10的数字分成一组，再运     用加法结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，使运算过程简便：

原式＝1+9+2+8+3+7+4+6+5

    ＝（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+5

    ＝10+10+10+10+5

    ＝45

例2、计算：    4－－111－95－105－94

【解析】观察式子可以发现，+111=200,95 +105=200,4-94=800....可以通过巧括，使运算过程简便，添括时：如果添加的括前面是“＋”，那么括内的数的原运算符不变；如果添加的括前面是“-”，那么括内的数的原运算符“＋”变为“－”，“-”变为“＋”。所以，

原式＝4-（+111）－（95+105）－94

    ＝（4-94）-（+111）－（95+105）

    ＝800-200-200

    ＝400

例3、看到下面的算式不要害怕，仔细考虑，相信你可以找到巧算的方法的. 

                （1+3+5+7+…+99）-（2+4+6+…+98）

【解析】观察式子可以发现，因为我们可以直观算出3-2，5-4,7-6…等算式的值，可以考虑去掉减数的括，再利用以上所讲的分组凑整法，使运算简便，

原式＝（1+3+5+7+…+99）-2-4-6-…-98

    ＝1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+…+（99-98）

    ＝1+1+1+1+…+1

    ＝49

考点二：加补凑整

例1、同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面题的答案？

     298＋396＋495＋691＋799＋21           

【解析】观察式子发现，式中各数都很接近整十、整百，所以考虑通过借数和拆数来进行凑整，

原式＝（298＋2）+（396+4）＋（495+5）＋（691+9）＋（799+1）＋20-2-4-5-9-1+1

    ＝300+400+500+800+20-（2+4+5+9）

    ＝2000+20-20

    ＝2000

例2、算一算 98－96－97－105＋102＋101

【解析】通过借数和拆数来凑整

原式＝（100-2）-（100-4）-（100-3）＋（100+5）＋（100+2）＋（100+1）

    ＝100+100+100+100+100+100-2+4+3+5+2+1

    ＝613   

考点三、位值原理

例1、计算：123+ 223+423+523+723+823

【解析】观察式子发现，式中各数后两位全部相同，只有百位上的数字不同，可以考虑先将数字拆分成整百与另一个数相加的形式，然后将整百相加，剩余数相加，

原式＝（100＋23）+（200+23）＋（400+23）＋（500+23）＋（700+23）＋（800+23）

    ＝100+200+400+500+700+800+23+23+23+23+23+23

    ＝2700+（20+3）+（20+3）+（20+3）+（20+3）+（20+3）+（20+3）

    ＝2700+（20+20+20+20+20+20）+（3+3+3+3+3+3）

    ＝2700+120+18

    ＝2838

例2、计算: 

【解析】观察式中各数发现，如果将个位、十位、百位上的数字分别相加，将会简化运算步骤，所以利用位置                      原则将数进行拆分，再分别相加，

原式＝（100+200+300+400+500+600+700）+（20+30+40+50+60+70+80）＋（3+4+5+6+7+8+9）

    ＝2800+350+42

＝3192

考点四、基准数

例1、下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

【解析】观察式子发现，式中各数都比较接近于整数80，选80为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加                    的数加上）,

原式＝80+80+80+80+80+80+80+80-2-4+3+2-3-1+5

    ＝00+0

    ＝00

例2、某小组有20人，他们的数学成绩分别是：87、91、94、88、93、91、、87、92、86、90、92、88、90、91、86、、92、95、，求这个组的平均成绩？ 

【解析】根据题意，可以列出如下算式：（87+91+94+88+93+91++87+92+86+90+92+88+90+90+91+86++92+95+）÷20

观察发现，学生的成绩都接近于90，选90为“基准数”

原式＝（90×20-3+1+4-2+3+1-1-3+2-4+2-2+1-4-1+2+5-1）÷20

    ＝1800÷20

    ＝90

考点五、数列求和

等差数列求和公式：总数=（首项+末项）×项数÷2

例1、求1到99共99个连续自然数位上的所有数字之和。

【解析】首先应该弄清楚这道题是求99个连续自然数的各数位之和，而不是求99个数的和。为了方便的解决问题，我们不妨把0算进来，因为它不影响计算结果。这100个数头尾两两配对后的和相等，都是18，一共100÷2=50组。所以，所求之和是18×50=900.

课堂狙击

1.巧算下面算式

     876＋385＋124＋615                       

【解析】 我们仔细观察算式，很快发现：

          876＋124＝1000      375＋615＝1000

     原式＝(876＋124)＋(385＋615)

         ＝1000＋1000

         ＝2000

2.巧算 673＋288            

【解析】 这道题目乍看起来，不具备巧算的条件，那怎么办呢？我们可以利用转化的思考方法，把其中一个加数折分成两部分，其中一部分刚好是另一个加数的补数，能与另一个加数凑整，这样计算比较简便。

  原式＝661＋12＋288

      ＝661＋(12＋288)

      ＝661＋300

      ＝961

3. 巧算6397＋1876－397

【解析】 我们可利用带符“搬家”的性质，使运算简便。

   原式＝6397－397＋1876

       ＝6000＋1876

       ＝7876

4.巧算下面各题。

（1）532－(32＋184)；

（2）5283－(283－298)；

【解析】（1） 我们可利用去括的性质，使运算简便。

          原式＝532－32－184

             ＝500－184

             ＝316

    （2）原式＝5283－283＋298

             ＝5000＋298

             ＝5298

5.计算（1）1457－399       （2）3572＋998。

【解析】可以先把减数或加数“转化”成整十、整百、整千、……的数，再利用“去括”的性质进行运算。也可以直接加补或减补。

 （1）原式＝1457－(400－1)  

          ＝1457－400＋1  

          ＝1057＋1

          ＝1058     

 （2）原式＝3572＋(1000－2)

          ＝3572＋1000－2

          ＝4572－2

          ＝4570

 6. 计算 63+62＋58＋59＋60＋6l＋58＋59＋57＋

【解析】本题的基准数为60。

        原式＝(60＋3)＋(60＋2)＋(60－2)十(60－11)＋60＋(60＋1)＋(60－2)＋(60－1)＋(60－3)＋(60＋4)

            ＝60×10＋(3＋2－2－1＋1－2－1－3＋4)

            ＝600＋(3＋2＋1＋4)一(2＋1＋2＋1＋3)

            ＝600＋10－9

            ＝601

课后反击 

1.巧算 (84＋37＋55)＋(16＋45＋63)

【解析】原式＝(84＋16)＋(37＋63)＋(55＋45)

            ＝100＋100＋100＝300

2..计算 9＋99＋999＋9999＋6

【解析】 原式＝(9＋1)＋(99＋1)＋(999＋1)＋(9999＋1)＋2

             ＝10＋100＋1000＋10000＋2

             ＝11110＋2

             ＝11112

3.计算 5462－1245－462

【解析】 原式＝5462－462－1245

             ＝5000－1245

             ＝3755

4.巧算下面的题。

（1）1825＋(175＋8)；

（2）876＋(438－176)。

【解析】（1）原式＝1825＋(175＋8)

                 ＝1825＋175＋8

                 ＝2000＋8

                 ＝28

        （2）原式＝576－176＋438

                 ＝400＋438

                 ＝838

5..某农场有10块麦田，每块的产如下(单位：千克)：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461求平均每块麦田的产量． 

【解析】（462+480+443+420+473+429+468+439+475+461）÷10=455（基准法）

首先，我们要熟练地掌握加减基本计算法则，其次，我们还要根据题目的特点，选用合适的运算定律、性质及巧算方法。

为了帮助记住这些运算性质，可以简要地概括如下：

一，在连减或加减混合运算中，如果算式中没有括，计算时，可以带着符“搬家”。

a－b－c＝a—c—b，

a－b＋c＝a＋c－b。

二，在加减混合运算中，如果括的前面是“－”，那么，去掉括时，括内的减变加，加变减；如果括的前面是“＋”，那么，去掉括时，括内的符不变。我们把这种运算性质叫做加减混合运算去括的性质。

a－(b＋c)＝a－b－c，

a－(b－c)＝a－b＋c，

a＋(b＋c)＝a＋b＋c，

a＋(b－c)＝a＋b－c。

另外，在等差数列的求和中我们要学会运用求和公式来简便运算。

本节课我学到了

我需要努力的地方是