2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷及答案解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|log2（3x﹣2）＜2}，则（　　）

A．    B．    

C．    D．A∪B＝（0，+∞）

2．命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式￢p为（　　）

A．∀x∈N，x3≤x2    B．∃x∈N，x3＞x2    C．∃x∈N，x3＜x2    D．∃x∈N，x3≤x2

3．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上单调递减，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（　　）

A．﹣1    B．    C．2    D．3

5．设集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则（　　）

A．M⫋N    B．N⫋M    C．M∈N    D．N∈M

6．已知，，c＝log92，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c    B．a＞c＞b    C．b＞a＞c    D．c＞b＞a

7．函数y的图象大致为（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　）

A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}    

B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是R    

C．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}    

D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅

10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　）

A．f（0）＝0    

B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1    

C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数    

D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x

11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（　　）

A．浮萍每月的增长率为2    

B．浮萍每月增加的面积都相等    

C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2    

D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3

12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（　　）

A．    B．    C．0    D．1

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为　   　．

14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：

15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为　   　．

16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为　   　．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（1）已知a≤2，化简：；

（2）求值：．

18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|2＜x＜8}，C＝{x|a＜x≤a+3}．

（1）求A∪B，（∁UA）∩B；

（2）若“x∈C”为“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．

19．（12分）已知函数．

（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；

（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；

（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．

20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．

某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．

（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？

（Ⅱ）为了该企业可持续发展，决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．

①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；

②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．

如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？

21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．

（1）求f（0），f（1）；

（2）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．

22．（12分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．

（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；

（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；

2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷

参与试题解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．设集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|log2（3x﹣2）＜2}，则（　　）

A．    B．    

C．    D．A∪B＝（0，+∞）

解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|log2（3x﹣2）＜2}，

∴B＝{x|x＜2}，

则A∪B＝（0，+∞），A∩B＝（，2），

故选：D．

2．命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式￢p为（　　）

A．∀x∈N，x3≤x2    B．∃x∈N，x3＞x2    C．∃x∈N，x3＜x2    D．∃x∈N，x3≤x2

解：命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式是特称命题；

∴￢p：“∃x∈N，x3≤x2”．

故选：D．

3．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上单调递减，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，

∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上单调递减，

∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，

解得m＝﹣1，

∴p是q的必要不充分条件，

故选：B．

4．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（　　）

A．﹣1    B．    C．2    D．3

解：∵幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），

∴22m﹣1＝8，

∴m＝2，

故选：C．

5．设集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则（　　）

A．M⫋N    B．N⫋M    C．M∈N    D．N∈M

解：①当n＝2m，m∈Z时，x＝4m+1，m∈Z，

②当n＝2m+1，m∈Z时，x＝4m+3，m∈Z，

综合①②得：

集合N＝{x|x＝4m+1或x＝4m+3，m∈Z}，

又集合M＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，

即M⫋N，

故选：A．

6．已知，，c＝log92，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＞b＞c    B．a＞c＞b    C．b＞a＞c    D．c＞b＞a

解；∵∈（1，2），，

∵，

∴，

c＝log92＜log93，

则a＞b＞c，

故选：A．

7．函数y的图象大致为（　　）

A．    

B．    

C．    

D．

解：函数y的定义域为实数集R，关于原点对称，

函数y＝f（x），则f（﹣x）f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，

当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，

故选：A．

8．给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；

②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②正确；

③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．

故恒成立的个数是2．

故选：C．

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　）

A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＞3}    

B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是R    

C．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|﹣1＜x＜3}    

D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是∅

解：在A项中，依题意可得a＝0，且3b+3＝0，解得b＝﹣1，此时不等式为﹣x+3＞0，解得x＜3，故A项错误；

在B项中，取a＝1，b＝2，可得x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，解集为R，故B项正确；

在C项中，依题意可得a＜0，且，解得，符合题意，故C项正确．

在D选中，当x＝0时，ax2+bx+3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D选错误；

故选：BC．

10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（　　）

A．f（0）＝0    

B．若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，则f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1    

C．若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数    

D．若x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），当x＝0时，有f（0）＝﹣f（0），变形可得f（0）＝0，A正确，

对于B，若f（x）在[0，+∞）上有最小值﹣1，即x≥0时，f（x）≥﹣1，则有﹣x≤0，f（﹣x）＝﹣f（x）≤1，即f（x）在（﹣∞，0]上有最大值1，B正确，

对于C，奇函数在对应的区间上单调性相同，则若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，C错误，

对于D，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2+2x）＝﹣x2﹣2x，D正确，

故选：ABD．

11．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（　　）

A．浮萍每月的增长率为2    

B．浮萍每月增加的面积都相等    

C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2    

D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3

解：图象可知，函数过点（1，3），

∴a＝3，

∴函数解析式为y＝3t，

∴浮萍每月的增长率为：，故选项A正确，

∵函数y＝3t是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，

当t＝4时，y＝34＝81＞80，故选项C错误，

对于D选项，∵，∴t1＝log32，t2＝log34，t3＝log38，

又∵2log34＝log316＝log32+log38，∴2t2＝t1+t3，故选项D正确，

故选：AD．

12．若集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，则a的取值可以是（　　）

A．    B．    C．0    D．1

解：∵A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0}中只有一个元素，

∴若a＝0，方程等价为﹣3x+2＝0，解得x，满足条件．

若a≠0，则方程满足△＝0，即9﹣8a＝0，解得a．

故选：BC．

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（3﹣2x）的定义域为　　．

解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，

∴由﹣2≤3﹣2x≤2，解得．

∴函数f（3﹣2x）的定义域为[，]．

故答案为：．

14．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研，了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：

解：由表可知，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．

设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润为y元，

则y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200＝﹣40x2+440x+280＝﹣401490，

所以当x＝5.5时，y取得最大值，

所以每桶水定价为11.5元时，公司日利润最大．

故答案为：11.5．

15．不等式0.1x﹣ln（x﹣1）＞0.01的解集为　（1，2）　．

解：设函数f（x）＝0.1x﹣ln（x﹣1），

∵y＝0.1x和y＝﹣ln（x﹣1）均为减函数，

∴函数f（x）为减函数，

∵f（2）＝0.01，且函数的定义域为（1，+∞），

∴原不等式等价于f（x）＞f（2），

∴1＜x＜2，

∴不等式的解集为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

16．对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围为　[﹣2，+∞）　．

解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f（x）＝4x﹣m•2x﹣3是定义在R上的“局部奇函数”，则方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解；

即4﹣x﹣m•2﹣x﹣3＝﹣（4x﹣m•2x﹣3）有解；

变形可得4x+4﹣x﹣m（2x+2﹣x）﹣6＝0，即（2x+2﹣x）2﹣m（2x+2﹣x）﹣8＝0有解即可；

设2x+2﹣x＝t（t≥2），则方程等价为t2﹣mt﹣8＝0在t≥2时有解；

设g（t）＝t2﹣mt﹣8＝0，必有g（2）＝4﹣2m﹣8＝﹣2m﹣4≤0，

解可得：m≥﹣2，

即m的取值范围为[﹣2，+∞）；

故答案为：[﹣2，+∞）．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（1）已知a≤2，化简：；

（2）求值：．

解：（1）∵a≤2，

∴，

＝2﹣a+a+3+2＝7；

（2），

，

3．

18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|2＜x＜8}，C＝{x|a＜x≤a+3}．

（1）求A∪B，（∁UA）∩B；

（2）若“x∈C”为“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．

解：（1）∵集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|2＜x＜8}∴A∪B＝{x|1≤x＜8}，（∁UA）＝{x|x＜1或x≥5}，（∁UA）∩B＝{x|5≤x＜8}

（2）∵“x∈C”为“x∈A”的充分不必要条件，C＝{x|a＜x≤a+3}∴C⫋A，∴，解得1≤a＜2，

故a的取值范围是[1，2）．

19．（12分）已知函数．

（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；

（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；

（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．

解：（1）当a＝4时，f（x）x2，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2≥22＝2，

当且仅当x即x＝2时等号成立，

所以f（x）的最小值为2．

（2）根据题意可得x2﹣2x+a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，

等价于a＞﹣x2+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，

因为g（x）＝﹣x2+2x在（0，1）上单调递增，

在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1，

所以a＞1．

（3）f（x）＝x2，设0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2（x1﹣x2）（1），∵0＜x1＜x2，∴x1x2＜a，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，）单调递减，同理可证f（x）在（，+∞）单调递增，

当0＜a≤4时，02，函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，

f（x）min＝f（2），

当a＞4时，2，函数f（x）在[2，）上单调递减，

在（，+∞）上单调递增，

f（x）min＝f（）＝22．

所以f（x）min．

20．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．

某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x（单位：吨）最少为70吨，最多为100吨．日加工处理总成本y（单位：元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．

（Ⅰ）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？

（Ⅱ）为了该企业可持续发展，决定对该企业进行财政补贴，补贴方式共有两种．

①每日进行定额财政补贴，金额为2300元；

②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x．

如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方式进行补贴？为什么？

解：（Ⅰ）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为，x∈[70，100]，

而2×40+40＝120，

当且仅当，即x＝80时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低．

因为80＜100，

所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态．

（Ⅱ）若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为y1，

，

因为x∈[70，100]，

所以当x＝70吨时，企业获得最大利润，为850元．

若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为y2，

，

因为x∈[70，100]，

所以当x＝90吨时，企业获得最大利润，为850元．

结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润；

选择方案二，当日加工处理量为90吨时，获得最大利润，

由于最大利润相同，所以选择两种方案均可．

21．（12分）定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R）．

（1）求f（0），f（1）；

（2）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＜0成立，求实数k的取值范围．

解：（1）因为R上的奇函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y）．

令x＝y＝0可得f（0）＝2f（0），

所以f（0）＝0，

令x＝1，y＝1，可得f（2）＝2f（1），

令x＝2，y＝1可得f（3）＝f（1）+f（2）＝3f（1）＝6，

所以f（1）＝2；

（2）∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x﹣1）＜0在上恒成立，

∴f（kx2）＜f（1﹣2x）在上恒成立，且f（0）＝0＜f（1）＝2；

∴f（x）在R上是增函数，

∴kx2＜1﹣2x在上恒成立，

∴在上恒成立，

令．

由于，

∴．

∴g（x）min＝g（1）＝﹣1，

∴k＜﹣1，即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．

22．（12分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．

（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；

（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求实数b的取值范围；

解：（1）f（x）＞0⇔2x0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．

∴实数x的取值范围为（0，+∞）．

（2）设函数f（x），g（x）在区间[1，+∞）的值域分别为A，B．

∵f（x）＝2x在[1，+∞）上单调递增，∴A＝[，+∞）．

∵g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4（b∈R）．

∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，

依题意可得A∩B≠∅，

∴b+4，即b．

∴实数b的取值范围为[，+∞）．