2013年清华大学夏令营数学试题解答

山东省济宁一中  贾广素 2013年12月24日整理

1.设，使得方程有3个实根.

证明：如果，则至少存在一个根在区间中.

证明：假设该方程的三个实根、、不在区间中，

由韦达定理，得

从而

            ，

从而，即

由假设，知或，得（），

所以矛盾！

所以假设不成立，故至少存在一个根在区间中.

2.已知是函数的一个零点，为整数，则的值是多少？                                           

解法一：将代入中，

得到，

由于、为整数，为无理数，从而

，从而得， 

所以

解法二：设，则，，

于是，

奖代入上式，有，即

于是，所以

说明：本题的解法二可以采用逆向思考：什么样的方程有这样的根？由已知变形，得，所以，即，再平方，得，即.从而，，所以但解法二是有一定的缺陷的，它未能有效地说明、的唯一性.却也不失为是一种好的方法.

类似题目：求一个整系数多项式，使得有一个实根为

（见《全国重点大学自主招生数学教程》张天德 贾广素 王玮 主编，2013年7月山东科学技术出版社出版 第32页例11.）

3.已知点是的外心，为垂心，且满足，则的值为多少？                                                （2013年清华大学夏令营）

解：因为，所以，又为重心，所以，故

说明：本题是2005年高考数学全国I卷的一道理科填空题.其试题背景是欧拉线，即三角形的重心、垂心和外心共线，且

若为的中点，则；

若为的内心，外接圆与内切圆的半径分别为，，则；

连接交外接圆与点，则有

4.已知、、，且.求的最大值.

解：由，得，

从而，

所以.

同理可证，，

且同时可得、、

将上述三式相加，得.

由于在中上凸，所以由琴生不等式，得

，

即，所以，当且仅当时取等号.

故的最大值为

  类似题目1：已知锐角、、满足，求的取值范围.

解：先给一个引理：是的函数，在内为下凸函数，在内为上凸函数，变量，…，为上的个实数，且满足，（为常数），记，则在时取得最小值，在时取得最大值. 

将“锐角”的条件改为、、，令，，则原题转化为、、且，令，则问题转化为求的取值范围.

求二阶导数，易知在上先下凸再上凸，即满足引理的条件.

由对称性，不妨设设，先求最小值，由引理知，只需考虑与两种情况，后者显然只能得到，而前者则化为

求的最小值，其中

求导，易得，

故当时，取得最小值，所以的最小值就是下求最大值：

由引理知，只需考虑与两种情况，前者转化为求的最大值，其中事实上，有恒等式，所以前者只能得到

，而后者仍然转化为上述求的最大值，只是此时的范围变成，显然时取得最大值,所以的最大值为

综上所述，由函数的连续性，所求的取值范围是而原题是在“锐角”情形下，取不到，但可以趋近它，从而原题的答案是

类似题目2：已知角、、，满足，求的取值范围.

解：由，得

令，，，则，

我们只需求的最大值。

设，，则，，

于是函数是上的上凸函数.由琴生不等式，有

即的最大值为

5.求证：      

证明：先证一个一般式：    （*）

配凑消去交叉项：

整理，得.

回到原题，令，得

说明：类似地，我们还可以得到一般结论：

对于如及

的代数式，可以乘以，再逐项积化和差，依次将各项一拆为二，达到相消的目的.如当时，

；

6.设，且求证： 

证法一：设，依题意，得

要证

即证

即证，即证，

易得，从而要证原不等式成立，只需证只即可.

由于，从而得，故成立.从而原不等式成立.

证法二：令，则待证不等式转化为，即.令，则只需证明

因为，

而，所以，从而，

的图象与轴有两个不同的交点.易知这两个交点为

下证

因为，所以，只需证，即，.

由于

所以，从而必有

所以原不等式得证.

证法三：只需证明，而，因此只需证，，

而，由于，可证得，.

说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化. 

7.数列、的定义是，， 

求证：a                                      

证明：由，得，从而；

同理，由，得，从而

正式作差，得

故.

显然，.

所以，即，显然

8.若函数在区间上的最小值是，最大值是求区间

（2013年清华大学夏令营）

解：（1）若，则，解得，检验知，符合题意；

（2）若，则联立

解得，或，（舍去）

综上知，所求区间为或

9.已知、、都是有理数，也是有理数.

求证：、、都是有理数.                        

本题的解答见《全国重点大学自主招生数学教程》（张天德 贾广素 王玮主编 山东科学技术出版社2013年7月出版）第313页第14题

10.若对每一个实数，函数满足，若，试求满足的所有整数             （2013年清华大学夏令营）

解法一：由，且，

从而

令，则得.

由Cauchy方程，得，即，又由于，得所以.

令，即，即，即，

解得或所以满足的所有整数只有、两数.

解法二：令，得，令，由，得

又令，得.

再令，得，又，

所以时，即对大于1的正整数，恒有

又由条件，得，，猜想当时， 

证明如下：由，得当时，，

所以时，单调递减，故.

综上所述，满足的整数只有或

解法三：同法二，求得，由，令，由数列递推知识，得，令，得，得或

11.已知、、、为非负实数， ，且，若，对任意的均有，试求出值域以外的唯一数.

（2013年清华大学夏令营）

解：由题设，对任意实数，有，所以，

化简，得，

由于上述方程对恒成立，故，且，所以

又，即，是方程的两个根，即方程是的两个根，故由韦达定理，得，结合，得，从而，

于是取不到这个数，即是值域外的唯一数. 

说明：本题是第15届美国数学邀请赛试题，考查值域问题.

12.若实数、、满足，则的最大值是多少？

（2013年清华大学夏令营）

解：因为所以，解得，于是

将，代入，得，

解得，所以，从而的最大值为

13.比较与1的大小. 

解： 

令，，

所以

取等号的条件当且仅当， 

即，时，等号成立.

14.已知椭圆，过椭圆的左顶点的直线与椭圆交于点，与轴交于点过原点且与直线平行的直线交椭圆于点

求证：、、成等比数列.  （2013年清华大学夏令营）（2009年清华大学）

证法一：由题意知直线的斜率显然存在，设为，则该直线的方程为，过原点与直线平行的直线方程为，不难得到.

设交点，则有.

对于，,有，

且，，

所以.

将、及两直线代入椭圆方程，得，即    （*）

，整理，得.

由于、为直线与椭圆的两交点，由韦达定理，得

， 

结合（*）式，有，即

从而、、成等比数列. 

证法二：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，则

又直线的方程为，代入，化简，得，

所以

同理，将代入，化简得

得

又，所以从而、、成等比数列. 

说明：本题在2009年的清华大学的自主招生试题中就曾经出现过，是一道较为经典的试题.可参考《决胜自主招生》（2010版、2011版、2012版、2013版等）（贾广素 主编 济宁一中校本教材）

15.设集合是含个元素的集合，、是中的两个互不相交的子集，分别含有，（，）个元素.求中既不包含于也不包含于的子集的个数.                             （2013年清华大学夏令营）（2009年复旦大学）

解：包含的子集有个，包含的子集有个，既包含又包含的子集为个，根据容斥原理，所以既不包含也不包含的子集的个数有个.

     说明：本题是2009年复旦大学的一道自主招生原题.其思路十分简单：首先X集合应该分为三类：一类是属于A的，一类是属于B的，另一类既不属于A也不属于B的.因此可用间接法来进行考虑.