2021年人教版数学中考第一轮专题练习 “圆”在求最值中的应用 (1)

类型1　定点定长作圆

 如图，在矩形 ABCD中， AB＝4, AD＝6, E 是 AB边的中点， F是线段 BC边上的动点，将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB′F，连接B′D，求B′D的最小值．

类型2　线圆最值

 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝6，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，求点P到边AB距离的最小值．

类型3　直角对直径

 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值．

类型4　定弦定角

 如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN交于点P，求PC长的最小值．(请在图中画出点P的运动路径)

类型5　四点共圆

 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的一点，∠ADE＝60°，DE交∠ACB的外角平分线于点E，求证：AD＝DE.

专题精炼

类型1　定点定长作圆

1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是(     )

A.          B.－1          C.          D．2

类型2　线圆最值

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别是AD，DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA＋PG的最小值为________．

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过点O作OE⊥OF，OE，OF分别交射线AB，BC于点E，F，连接EF，则EF的最小值为________．

4．(2020·山东东营)如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为______．

类型3　直角对直径

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形所在的平面作Rt△BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为(     )

A.          B．1          C．2          D．3

类型4　定弦定角

6．如图，∠AOB＝45°，在等腰直角△CDE中，当CD的长保持不变且等于2时，OE的最大值为________．

类型5　四点共圆

7．如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形外的一动点，且∠AED＝45°，若AP＝1，则线段PE的最大值是(     )

A．5                  B.＋2

C．2＋2              D．3＋2

8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，BC＝＋1，点P为边AB上的一动点，过点P分别作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为________．

参

【例1】解：根据折叠的性质可知△EBF≌△EB′F，∴EB′＝EB.

又∵E是AB边的中点，AB＝4，

∴AE＝BE＝EB′＝2.

∴点B′在以 E为圆心，EA为半径的圆上运动，

∴当D，B′，E三点共线时，B′D的值最小，如图．

∵AD＝6，AE＝2.

∴DE＝＝＝2，

∴B′D＝DE－B′E＝2－2.

【例2】解：∵∠A＝60°，AC＝6，

∴AB＝＝＝12.

由翻折的性质可知PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°，

∴点P在以F为圆心，以2为半径的圆上．

由“垂线段最短”可知当FP⊥AB于点D时，点F到AB的距离FD最短，如图．

又∵FP为定值，∴此时PD有最小值．

∵AF＝4，∠FDA＝90°，∠A＝60°，

∴FD＝AF·sin A＝4×＝2，

∴点P到边AB距离的最小值PD＝DF－PF＝2－2.

【例3】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，

∴∠ABP＋∠PBC＝90°.

又∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的⊙O上．

如图，连接OC交⊙O于一点，当点P为该点时线段PC的长最小，

在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝1，

∴OC＝＝＝，

∴PC＝OC－OP＝－1，

∴线段CP长的最小值为－1.

【例4】解：由题意得BM＝CN.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4.

在△ABM和△BCN中，

∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN.

∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，且运动路径为一条弧BG，是这个圆的.

连接OC交⊙O于一点，当点P为该点时PC的长最小，如图．

∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，

∴由勾股定理，得OC＝＝＝2，

∴PC＝OC－OP＝2－2，

∴PC长的最小值为2－2.

【例5】证明：如图，连接AE.

∵∠ADE＝∠ACE＝60°，

∴A，D，C，E四点共圆，

∴∠AED＝∠ACB＝60°.

又∵∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE.

1．B　2.4　3.5　4.2　5.B　6.＋　7.B　8.