【定积分定义与性质】
如果函数在区间上连续，用分点等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1，2，...，n），作和式当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分（definite integral），记作，即这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式．
从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分 表示由直线x=a，y=0和曲线所围成的曲边梯形（如下图）的面积．这就是定积分的几何意义．
一、定积分的性质
| 1．规定：， 。 |
| 2．线形：（、为常数）。 |
| 3．可加性：。 |
| 4．。 |
| 5．广义保号性： 。 |
| 6．不等式：。 |
| 7．绝对值不等式：。 |
| 8．估值不等式：，其中， 。 |
| 9．定积分中值定理：设，，使。 |
| 必要条件 | 设在上可积一定是上的有界函数 | 反之不一定。例： 在上不可积。 |
| 充分条件 | 1．若，则在上可积。 2．若在上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 3．上的单调有界函数，在上可积。 |
形如上式的积分，叫做变限积分。
三、微积分基本公式
定理1、变上限函数：
推论1
推论2
| 推论3 | <变上限积分改变上下限，变号。> <上限是复合函数的情况求导。> <上下限都是变的时候，用上限的减去下限的。> | |
| 2．（原函数存在定理）设，则 就是上的一个原函数。 | ||
| 3．牛顿莱布尼兹公式（微积分基本公式）：设是在上的一个原函数，即，则 | 它给出了连续函数求定积分的一般方法，把求定积分的问题转化为求原函数的问题 | |
| 换元法 | 设，满足①， ②在或上有连续导数，其值域不超过， 则 |
| 分部积分法 | 设、在上有连续导数，则 |
| 推论 | 1．，则 2．，以为周期，则 |
| 定义 | 注 |
| 1．设被积函数在相应区间上连续，其中 2．若各式右边的极限存在，则称左边的广义积分收敛，否则称为发散。 3．，当时收敛，当时发散。 | |
| 定义 | 注 |
| ； | 1．设被积函数在相应区间上连续，且依次在点的右邻域、的左邻域、或的邻域内无界，且。 2．若各式右边的极限存在，则称左边的广义积分（或瑕积分）收敛，否则称为发散。而点、、分别称为瑕点。 3．，当时收敛，当时发散。 |
。 |
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