一元二次方程应用 利润问题专题训练 (教师版)

1. 【题文】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ） 

C． 

【解析】 

试题分析：设每盆应该多植x株，由题意得： ，故选： 

C． 

考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题． 

分卷II

分卷II 注释

二、 解答题（注释） 

2. 【题文】春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准．某位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

答案： 【答案】30人. 

【解析】 

试题分析：首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解． 

试题解析：设：去了x员工． 

25×1000=25000＜27000 

∴x＞25 

x[1000-20（x-25）]=27000 

解得：x=45（舍去）或x=30 

答：有30人去天水湾风景区旅游． 

考点：一元二次方程的应用． 

3. 【题文】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？ 

答案： 【答案】每件衬衫应降价30元 

【解析】 

试题分析：商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果． 

试题解析：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元． 

根据题意得（45x）（20+4x）=2100， 

解得x 1 =10，x 2 =30． 

因尽快减少库存，故x=30． 

答：每件衬衫应降价30元． 

考点：一元二次方程的应用 

4. 【题文】某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏。调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？ 

答案： 【答案】这种台灯的售价应定为50元或80元，这时应进台灯400个或300个． 

【解析】 

试题分析：设这种台灯的售价应定为x元，根据题意得：利润为（x-30）[600-10（x-40）]=10000； 

试题解析：设这种台灯的售价应定为x元，根据题意得： 

（x-30）[600-10（x-40）]=10000 

x 2 -130x+4000=0， 

x 1 =80，x 2 =50， 

则600-10×（80-50）=300（个），600-10×（50-30）=400（个）， 

答：这种台灯的售价应定为50元或80元，这时应进台灯400个或300个． 

考点：一元二次方程的应用 

5. 【题文】列方程解应用题 

楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台． 

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式； 

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价） 

答案： 【答案】（1）y= ；（2）该月需售出10辆汽车。 

【解析】 

试题分析：（1）根据分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；（2）由销售利润=销售价进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论． 

试题解析：（1）由题意，得 

当0＜x≤5时 

y=30． 

当5＜x≤30时， 

y=300.1（x5）=0.1x+30.5． 

∴y= ； 

（2）当0＜x≤5时， 

（3230）×5=10＜25，不符合题意， 

当5＜x≤30时， 

[32（0.1x+30.5）]x=25， 

解得：x 1 =25（舍去），x 2 =10． 

答：该月需售出10辆汽车． 

考点：1.一元二次方程的应用；2.分段函数． 

6. 【题文】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 

答案： 【答案】每千克应涨价5元。 

【解析】 

试题分析：设每千克应涨价x元，根据题意得： 

（10+x）（500-20x）=6000 

解得：x （不合题意舍去），x 

答：每千克应涨价5元。 

考点：一元二次方程的应用 

7. 【题文】中秋、国庆假日期间，某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克 盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。 

（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又 要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 

（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 

答案： 【答案】（1）5；（2）7.5. 

【解析】 

试题分析：（1）关键是根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 

（2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值． 

试题解析：（1）设每千克应涨价x元，由题意，得 

（10+x）（500-20x）=6000， 

整理，得 x 2 -15x+50=0， 

解得：x=5或x=10， 

∴为了使顾客得到实惠，所以x=5． 

（2）设涨价x元时总利润为y，由题意，得 

y=（10+x）（500-20x） 

=-20x 2 +300x+5 000 

=-20（x-7.5）2+6125 

∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6125元． 

答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； 

（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多. 

考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用． 

8. 【题文】（12分） 泰州凤凰城二日游，旅游信息： 

根据此旅游信息：某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元. 

（1）你能确定参加这次旅游的人数吗？ 

（2）若该公司又组织第二批员工到凤凰城旅游并支付给旅行社29250元．如果这两批员工一次性去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元？ 

答案： 【答案】（1）40；（2）14750． 

【解析】 

试题分析： 

（1）设这次旅游可以安排x人参加，就有30×800=24000＜28000，可以得出人数大于30人，就有人均旅游费为：80010（x30），根据题意建立方程求出其解就可以了． 

（2）等量关系为：人均旅游费用×人数=29250，把相关数值代入计算后根据人均费用不得低于500元舍去不合题意的解即可． 

试题解析：（1）因为30×800=24000<28000，所以人数超过30人；

设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知： 

解之得， 当 时， ="800-" 400=400<500，故应舍去  答：参加这次旅游的人数为40人． 

（2）第二批参加旅游的员工为y人，依题意可知： 

解之得，  当 时， ="800-" 350=450<500，故应舍去所以，第二批参加旅游的员工为45人，所以两次共85人参加旅游； 

当参加旅游的人数为60人时，人均收费为500元，所以85人一共要用的费用=85×500=42550元；所以公司可节约旅游费用=28000+29250-42550=14750． 

答：如果这两批员工一次性去旅游，则该公司可节约旅游费用14750元． 

考点：一元二次方程的应用． 

9. 【题文】（本题6分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？ 

答案： 【答案】20件 

【解析】 

试题分析：根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可. 

试题解析：解：设购买了x件这种服装， 

根据题意得出：[802（x10）] x=1200， 

解得：x 1 =20，x 2 =30， 

当x=30时，802（3010）=40（元）＜50不合题意舍去； 

答：她购买了20件这种服装． 

考点：一元二次方程的应用 

10. 【题文】（本题满分4分）某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元．据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．针对这种小家电的销售情况，该商店要保证每月盈利80元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 

答案： 【答案】． 

【解析】 

试题分析：设销售单价应定为x元，根据每月盈利80元列出方程，解方程即可． 

试题解析：设销售单价应定为x元，根据题意得： ， 

整理得 ，解得 ， ， 

因为要使顾客得到实惠，只能取x=． 

答：销售单价应定为元． 

考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题． 

11. 【题文】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件． 

（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2分） 

（2）在销量尽可能大的前提下，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2400元？（5分） 

答案： 【答案】（1） （ ）；（2）55． 

【解析】 

试题分析：（1）利用每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，每个月可卖出210件，即可得出销量； 

（2）根据总利润=每件商品的利润×总销售量，列方程，解得x的值．然后分情况讨论解． 

试题解析：（1）∵设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件，∴ ， 

∵每件售价不能高于65元，65-50=15，∴自变量x的取值范围是： ； 

（2）设每件商品的售价上涨x元，由题意得： ， 

整理得： ，解得：x=5或x=6， 

当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元） 

∵销量尽可能大，∴当售价定为每件55元，月利润是2400元． 

考点：1．销售问题；2．由实际问题抽象出一元二次方程． 

12. 【题文】（7分）某商场将某种商品的售价从原来的每件40元，经两次调价后调至每件32.4元：（1）若该商场两次降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多售出10件，若该商品原来每月可售500件，那么两次调价后，每月可售出该商品多少件？ 

答案： 【答案】（1）10%；（2）880． 

【解析】 

试题分析：（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解． 

（2）根据的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量． 

试题解析：（1）设这种商品平均降价率是 ，依题意得： ， 

解得： ， （舍去）；故这个降价率为10%； 

（2）降价后多销售的件数： ，两次调价后，每月可销售该商品数量为：380+500=880（件）．故两次调价后，每月可销售该商品880件． 

考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题． 

13. 【题文】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。求： 

⑴若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 

⑵每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利最多，最多盈利是多少元？ 

答案： 【答案】（1）20.（2）15，1250. 

【解析】 

试题分析：（1）此题首先根据盈利1200元，列出一元二次方程：（20+2×x）×（40-x）=1200，然后解出．要注意x=10应舍去，要考虑符合实际的要求． 

（2）一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件，则设每件降价x元时，销售量为：20+2x，每件盈利：40-x元，所以每天盈利为：（40-x）（20+2x）；得出函数关系式，求出最大值即可. 

试题解析：⑴设每件衬衫应降价x元。则依题意得： 

(40-x)(20+2x)=1200 

解得：  x 1 =10  ,  x 2 =20。 

因题意要尽快减少库存，所以x＝20。 

答：每件衬衫应降价20元。 

⑵设每天的盈利为y元，则由（1）得 

y=(40-x)(20+2x) 

=800+60x-2x 2 

=-2(x-15) 2 +1250. 

所以，当x=15时，y max =1250元。 

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元。 

考点：1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用． 

14. 【题文】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批良种西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种良种西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜降价多少元？ 

答案： 【答案】0.3元. 

【解析】 

试题分析：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3-2-0.1x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+40x千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200． 

试题解析：设降价次数为x， 

得（3-2-0.1x）（200+40x）-24=200， 

得解为x=2或x=3 

因为要尽快售出，所以x=3 

答：将3元的售价降低0.3元出售，可以保持每天盈利200元． 

考点：一元二次方程的应用． 

15. 【题文】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元． 

（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为   万元； 

（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利） 

答案： 【答案】（1）24.78；（2）6. 

【解析】 

试题分析：分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出4部汽车时，则每部汽车的进价为：27-0.1×2，即可得出答案； 

（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可． 

试题解析：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部， 

∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27-0.1×（4-1）=24.78， 

（2）设需要售出x部汽车， 

由题意可知，每部汽车的销售利润为： 

28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元）， 

当0≤x≤10， 

根据题意，得x（0.1x+0.9）+0.5x=12， 

整理，得x 2 +14x-120=0， 

解这个方程，得x 1 =-20（不合题意，舍去），x 2 =6， 

当x＞10时， 

根据题意，得x（0.1x+0.9）+x=12， 

整理，得x 2 +19x-120=0， 

解这个方程，得x 1 =-24（不合题意，舍去），x 2 =5， 

因为5＜10， 

所以x 2 =5舍去． 

答：需要售出6部汽车． 

考点：一元二次方程的应用 . 

16. 【题文】（9分）“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元。“五一”期间，决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件该商品每降价1元，平均每天可多售出10件。设每件降价x元。据此规律，求每件降价多少元时，日盈利可达到2240元？ 

答案： 【答案】 或 

【解析】 

试题分析：总利润=每件利润乘以总销售量.每件降价 元，日销售量为 件. 

试题解析：解：设每件降价 元, , , . 

答：降价 或 元时，日盈利可达 元. 

考点：一元二次方程的应用. 

17. 【题文】（本题满分9分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元． 

（1）第二周单价降低x元后，这周销售的销量为 （用x的关系式表示）． 

（2）求这批旅游纪念品第二周的销售价格． 

答案： 【答案】（1）200＋50x；（2）第二周销售的价格为9元 

【解析】 

试题分析：（1）200＋50x （2分） 

（2）由题意得出：200×（10－6）＋（10－x－6）（200＋50x）＋[（4－6）（600－200－（200＋50x）]＝1250，（5分） 

即800＋（4－x）（200＋50x）－2（200－50x）＝1250， 

整理得：x 2 －2x＋1＝0，（7分） 

解得：x 1 ＝x 2 ＝1，（8分）， 

第二周销售的价格为9元．（9分） 

考点: 一元二次方程的应用 

18. 【题文】（本题满分8分）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元． 

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； 

（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？ 

答案： 【答案】（1）60 （2）200 

【解析】 

试题分析：（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨． 

（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解． 

试题解析：（1）当每吨售价是240元时， 

此时的月销售量为：45+ ×7．5=60； 

（2）设当售价定为每吨x元时， 

由题意，可列方程（x-100）（45+ ×7．5）=9000． 

化简得x 2 -420x+44000=0． 

解得x 1 =200，x 2 =220． 

当售价定为每吨200元时，销量更大， 

所以售价应定为每吨200元． 

考点：一元二次方程的应用 

19. 【题文】（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 

答案： 【答案】100个，60元． 

【解析】 

试题分析：利用销售利润=售价进价，根据题中条件可以列出利润与 的关系式，求出即可． 

试题解析：设每个商品的定价是 元， 

由题意，得 ，整理，得 ，解得 ， ． 

当x=50时，进货18010（5052）=200个＞180个，不符合题意，舍去； 

当x=60时，进货18010（6052）=100个＜180个，符合题意． 

答：当该商品每个定价为60元时，进货100个． 

考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题． 

20. 某种服装,平均每天销售40件,每件盈利20元,若每件降价1元,则每天可多售10件,如果每天要盈利1080元且要销售得更快,每件应降价多少元 

答案： 思路分析： 设每件应降价 x 元,则每天可多售出10 x 件,每件盈利即为（20－ x ）元,销售的件数为（40＋10 x ）,每天的总盈利＝每件盈利数×每天销售的件数,即可列出方程. 

解： 设每件应降价 x 元,依题意列方程,得（20－ x ）（40＋10 x ）＝1080,解得 x ＝14, x ＝2, 

∵价格越低,销售得应越快,∴取 x ＝14,即每件应降价14元. 

21. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 

答案： 思路分析： 设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元,则每天可多售出 千克,根据每天的盈利＝每千克的盈利×售出数量－固定成本,可列出方程. 

解： 设应将每千克小型西瓜的售价降低 x 元,依题意得（3－2－ x ）（200＋ ）－24＝200.解这个方程,得 x 1 ＝0.2, x 2 ＝0.3. 

答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元. 

22. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如下收费标准:如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元,如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元.某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 

答案：解：设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游,因为1000×25＝25000 

所以员工人数一定超过25人 

由题意,可得方程［1000－20（ x －25）］ x ＝27000, 

整理,得 x 2 －75 x ＋1350＝0, 

解得 x 1 ＝45, x 2 ＝30. 

当 x 1 ＝45时,1000－20（ x －25）＝600 x 1 ; 

当 x 2 ＝30时,1000－20（ x －25）＝900＞700,符合题意. 

答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游. 

23. 某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预算,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？ 

答案：解:（1）∵30000÷5000＝6,∴能租出24间. 

（2）设每间商铺的年租金增加 x 万元,则（30－ ）×（10＋ x ）－（30－ ）×1－ ×0.5＝275,化简,得2 x 2 －11 x ＋5＝0, 

∴ x ＝5或0.5,10＋5＝15（万元），10＋0.5＝10.5（万元）. 

∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.