斯氏定理(斯坦沃特定理)

也可以有另一种表达形式：设BD=u，DC=v，则有：

AD^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv

2证明

过点A作AE⊥BC于E, 设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C）

则 AE^2 = b^2 - (v-x)^2 = c^2 - (u+x)^2 = AD^2 - x^2

若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v

所以有 AD^2 = b^2 - v^2 + 2vx

AD^2 = c^2 - u^2 - 2ux

1*u式+2*v式得

AD^2(u+v) = b^2u + c^2v - uv(u + v)

故 AD^2 = (b^2u + c^2v)/a - uv

1)当AD是△ABC中线时， u = v = 1/2a AD^2 = (b^2+c^2-(a^2)/2)/2

2)当AD是△ABC内角平分线时， 由三角形内角平分线的性质， 得u = ac/(b+c), v =ab/(b+c)

设s = (a+b+c)/2

得 AD^2 = 4/(b+c)^2 *(bcs(s-a))

3)当AD是△ABC高时， AD^2 = b^2 - u^2 = c^2 - v^2

再由 u+v = a

得

AD^2 = 1/4a^2(2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4)

证明方法2：不妨设 角ADB=θ。AD=t

由余弦定理可得：c^2=t^2+u^2-2tu·cosθ ①

b^2=t^2+v^2+2tv·cosθ ②

①×v+②×u得：b^2u+c^2v=at^2+auv

整理即可得：t^2=(b^2×u+c^2×v)/a-uv

证毕

3推广

角平分线长定理

已知AD为三角形ABC的角分线，则AD^2=AB·AC-DB·DC

中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。　定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：

AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2

或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2

中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出。

除如上给出的方法外，在此给出另外的两种常规证明方法：

第一种是以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，

设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

则：(AD)^2+(CD)^2=m^2+n^2+a^2　(AB)^2+(AC)^2=(m+a)^2+n^2+(m-a)^2+n^2=2(m^2+a^2+n^2)　∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)

第二种是在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。