第一章 网络方程-讲稿

电网络分析与综合  1 电工理论

                   2．电力网络解析论 （研究电力系统分析的方法与理论。它包括：电工理论在电力系统分析中的应用及电力系统分析的自身理论与方法）

电力系统是典型的大型网络系统，网络理论是电力系统工学的重要基础。电力网络分析以电力系统为背景，研究电网络的一般规律、理论及其在电力系统中的应用。 

第一章 网络方程（电网络的数学方程）

一）引言

研究和分析一个客体过程（实际网络）的关键是建立其模型（物理模型和数学模型）。模型的建立过程就是一个客体的简化和抽象的过程。不把一个客体进行简化和抽象而建立其模型是不可能。网络模型包括两种：

1、电网络模型       1、物理模型（往往由实物构成）

               2、数学模型（网络方程）

2、网络方程形式：    1、代数方程（稳态网络＊＊）

2、微分方程（动态网络）

网络方程  ＝ 元件特性  ＋   网络的结构

            （数学函数）  （图、关联矩阵）。

网络方程是描述电网络的数学模型，是定量分析和计算网络的基础。模型是实际网络的简化和抽象。网络方程必然要包含网络中和元件特性和网络的结构。为建立网络方程，网络的结构和网络中的元器件特性必须已知。

元件特性的描述由数学函数给出。网络结构有两种表示方法：一个是图，一个是关联矩阵。下面介绍网络结构的表示方法。

1-2 网络的关联性

一、图 ：节点和支路组成了图的最基本单元（回路、割集等）

组成图的最小单元是节点和支路。在节点和支路的基础上，可以得到它们的组合单元，如回路，端口，割集等。图分有向图和无向图两种。给路单元（支路和回路）赋以方向的图就是有向图，路单元就是有向单元。

电路图即反映了网络的结构，也反映了元器件的性质。

而图值反映了网络的结构。

二、关联矩阵

关联矩阵：描述网络结构的表或矩阵称之为关联矩阵。

网络的拓扑结构可用一个抽象的图来表示。为了利用数学工具对其进行分析，尤其是为了利用计算机工具对其进行分析，网络的拓扑结构往往用一张表-矩阵表示。这种描述网络结构的表或矩阵称之为关联矩阵。关联矩阵就是网络结构的数学描述。由于可以从不同的角度，用不同的形式来说性网络的拓扑结构，因此 ，就有不同的关联矩阵。在电路理论的书中曾经讲述过，节点-支路关联矩阵A、回路-支路关联矩阵等。下面给出关联矩阵的一般定义。

1、关联矩阵定义： 设集合和集合是由不同的网络图单元组成的集合，并且约定对应于行，对应于列，于是就有关联矩阵，它的元素按下面规则取值，其中可取1或-1。

关联矩阵指网络图中的不同组成单元集合，不能是同一个单元集合。

1）均为无向单元集合

2）  或之一为有向单元集合

3）  均为有向单元

按照关联矩阵的定义，可以构造各种关联矩阵，如节点—支路关联矩阵，回路支路关联矩阵等等。取1，也有取-1的情况，不论取1还是取-1，都不会影响分析的正确性。

例1-1  求取图1-1网络的节点—支路关联矩阵和回路—支路关联矩阵。

解：标定节点，支路和回路，确定支路和回路的参考方向，（注意选择参考节点和回路）。这样分别得到对应于图1-2拓扑关系的节点—支路关联矩阵和回路—支路关联矩阵。

          1   2   3   4   5   6

（节点—支路关联矩阵）

         1   2   3   4   5   6

（回路—支路关联矩阵）

三、KCL与KVL的矩阵形式

由于基尔霍夫电流定律和电压定律是描述网络结构约束的两个定律，容易得到的下面表述形式

    1．KCL定律                              （1.3）

    2．KVL定律                            （1.4）

式中，和分别是节点—支路关联矩阵和回路—支路关联矩阵。和分别是支路电流和支路电压向量。

定理1-1：若和的支路编号一致，必有

                                     (1.5)

和                                   (1.6)

证明：

    由基尔霍夫电流定律，必有

                                   (1.7)

式中表示与节点对应的行。而由式（1.2）

      （支路电流等于回路电流的代数和）      （1.8）

这里是回路电流向量。为支路与回路的关联矩阵，即一条支路与那些回路相关联。从而

                                        （1.9）

欲使上式恒成立，即对任何都等于零，只有

                            （1.10）

证明： 

由KVL定理得：,， 

欲使上式恒成立，即对任何都等于零，只有  

1-3 节点电压方程

一、网络的分析方法（系统分析法）

1、节点法：变量-节点电压，易于选取变量，变量数多于回路；（广泛应用）

2、回路法: 变量-回路电流，较难选取变量，变量数通常最少；（很少应用）

3、混合法：变量-支路电压和支路电流，易于选取变量，变量最多；（几乎不用）

   节点法是应用最广泛的网络分析方法，尤其在电力系统中占居主导地位。从网络解算角度看，为了使求解过程顺利进行，必须选择变量集合。节点法的变量集合很容易选择。只须确定一个节点为参考节点即可，比如选择大地当参考点。而回路法要选择回路集合，这就相对烦琐。从电力系统的运行角度看，给定量是节点量，所以采用节点法当然方便。这并不意味着回路法没有实用价值，对于回路明显少于节点的情况，回路法将比节点法更有效。本节介绍节点法的网络方程，回路法放在下节讨论

二、节点导纳矩阵方程

1、标准支路

由标准支路参考方向的选择，可得

              （1.12）

其中是等效电流源向量，是流经等效电流源并联阻抗支路的电流向量。

                            （1.13）

其中，是支路电压向量，是等效电压源向量，是等效电压源串联阻抗上的电压向量。

显然

为支路阻抗矩阵，具有对角线型。令

      则，                            

有              

由基尔霍夫电流定律。得

从而式（1.16）为                    

即：             而                      

其中是节点电压向量，故                     

令            （若，则等于节点所连支路电流源的代数和）                 

则      （节点导纳矩阵方程） 

－节点导纳矩阵，为节点注入电流向量。

－节点自导纳，－节点互导纳

    上式即为节点导纳矩阵方程，称为节点导纳矩阵，其对角元素叫节点自导纳。非对角元素叫节点互导纳。为节点注入电流向量。若共有个节点，在选则了参考节点后，不含参考节点行，为阶矩阵，和为阶向量。在网络联通时的非奇异性有保证，式（1.24）可解。

三、节点阻抗矩阵方程

    令            -节点阻抗矩阵                  

则上式变形为    （节点阻抗矩阵方程）   

-节点阻抗矩阵，上式为节点阻抗矩阵方程，是式（1.24）的变种。的对角元素叫作节点自阻抗，非对角元素叫作节点互阻抗。 式（1.24）及式（1.26）统称节点电位（压）方程。

四、节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的性质：

为求电网络的节点电压方程，可按上述方法计算。但是，根据电力网络的特点，经常可按节点导纳矩阵的性质直接写出节点导纳矩阵，从而建立网络的节点导纳电压方程。

在不含受控源条件下和的性质。

    性质1：和均为对称矩阵。

    性质2：自导纳是与该节点相关所有支路导纳之和，

节点互导纳是相应支路导纳的相反数。

    性质3：往往是稀疏矩阵，而必为满阵（无零元素）

解释：从公式  （A），（B）

（A）一个节点的流入电流等与该节点连接支路得流出电流。

（B）若网络是连通的，任意节点的注入电流都将影响每个节点电压。因此，必为满阵（无零元素）

       上述性质具有重要意义。性质1使得网络方程的解算过程可以利用对的称性达到减少存贮缓和提高速度的目的。性质2使得形成不再依赖于关联矩阵而可以直接由支路导纳列写。性质3使得网络方程的解算可以采用高效率的稀疏矩阵技术。

例1-2  建立图1-1的节点导纳矩阵方程

    根据性质2，直接由支路导纳得到。

    由对称性，得：    

并且    ，    ，    

    ，    

剔去参考节点4，有

1-4 回路方程

一、回路阻抗矩阵方程

由式（1）、式（2）和式（3）、得

由基尔霍夫电压定律，得

即    

有电工理论可得：       

其中为回路电流，有  

令         

有      （回路阻抗矩阵方程）   

－ 回路阻抗矩阵

这就是回路阻抗矩阵方程。为回路阻抗矩阵，其对角元素为回路自阻抗，非对角元素称为回路互阻抗，为回路电势向量。在选择了回路后，非奇异，上式可解。

二、回路导纳矩阵方程

    在式（11）中，令                            （12）

得                                           （13）

    这就是回路导纳矩阵方程。为回路导纳矩阵，其对角元素叫作回路自导纳，非对角元素叫作回路互导纳。

    要注意区分节点和回路导纳，节点阻抗与回路阻抗是完全不同的概念，尽管它们在量纲上一致。

三、回路阻抗矩阵的性质（在不含有受控元的条件下）

    性质1：矩阵和矩阵都是对称矩阵。

性质2：的自阻抗是与之相关的支路阻抗之和，若相邻回路同方向，相应互阻抗即为对应支路阻抗，若相邻回路反方向，相应互阻抗为对应支路阻抗的相反数。

性质3：矩阵一般是稀疏矩阵，而必为满阵。

根据性质2，直接由支路阻抗。

a)  互阻抗   ,   ,   

对称性，得    , ,

b)  自阻抗  , ,

c)  为回路电势向量  

回路抗矩阵方程式    

1-5 对偶原理

 对偶性是自然界普遍存在着的一种规律性。所谓对偶性，是指能用同样的数学描述来刻画的物理现象，即具有相同抽象表达的物理问题。两个完全不同的物理系统，如果其数学表达式相同，则着两个系统为对偶系统。

比如：（5.1）（回路阻抗方程）（5.2）（节点电压方程式）

对欧原理为系统的仿真提供了一个方便的手段。比如，用一个电的系统仿真一个机戒的系统等等。

相同抽象的成分越强，对偶性就越强。因而就有强对偶和弱对偶性之分。

    抽象的数学，必然覆盖一批物理系统，对偶性是数学抽象的基础。电网络不仅内部存在对偶性，而且与其它系统也存在或强或弱的对偶关系。由此，可以把电网络的一些理论作更一般的抽象，使之具有更普遍的应用价值，这构成了本书的特色之一。