北师大附属实验中学2015届高三上学期期中考试数学(理)

北京师范大学附属实验中学

2014—2015学年度第一学期高三年级数学(理)期中试卷

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，若，则的取值范围为

A.             B.          C.             D. 

2．下列函数中，在定义域内是减函数的是

A．2π          　　　　B. π     　　　　C.　　　          D. 

4．已知向量则下列向量可以与垂直的是 

A.            B.           C.              D. 

5．“”是“”成立的  

A.               B.                 C.                 D. 

7.数列中，，（其中），则使得成立的的最小值为 

A.               B.              C.            D. 

8．已知集合，令，表示集合中元素的个数.关于有下列四个命题

①的最大值为；     ②的最大值为；

 ③的最小值为；       ④的最小值为.

其中，正确的是（    ）

A. ①③               B. ①④              C. ②③            D. ②④

第Ⅱ卷（非选择题  共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 

9.在中，若，则           .

10．设，，，则从大到小的顺序为           .  

11．已知函数，则函数在处的切线方程为         ；在上的单调递增区间为           .

12.若函数为奇函数，则的值为      ，满足的实数的取值范围是           .

13．如图，线段，点分别在轴和轴的非负半轴上运

动．以为一边，在第一象限内作矩形，．设为

原点，则的取值范围是______. 

14.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.

（1）下列函数中具有性质P的有            . 

①              ②   

③，      ④

  （2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是           .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.设.命题是减函数；命题对任意恒成立.若为真，为假，试求的取值范围.

16.如图，已知点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点，记的面积为.

   （）求函数的解析式；

   （）求函数的最大值.

17．在△中，已知，．

（Ⅰ）求； 

（Ⅱ）若，求△的面积．

18.已知函数.

 （Ⅰ）若，求证：当时，； 

 （Ⅱ）求函数的单调区间；

 （Ⅲ）求证：.

19.已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为.

   （Ⅰ）求抛物线的方程;

   （Ⅱ）设点为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线,其中为切点，求直线的方程，并证明直线过定点.

 （Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于两点，过点分别作抛物线的切线，求交点满足的轨迹方程. 

20.已知数列的首项其中，令集合.

   （Ⅰ）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；

   （Ⅱ）求证：；

   （）当时，求集合中元素个数的最大值.

              班级                 姓名                 学号-    

密    封    线    内    不    要    答    题

北京师范大学附属实验中学

2014—2015学年度第一学期高三年级数学（理）期中试卷

答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

9.   10．   11．， 

12.  1，      13.        14． （1）  ①②④，（2）.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. P真：    Q真： 

16.解：（）由已知        

所以的面积为. 

（）解： 

由得，                         

函数与在定义域上的情况下表：

17．（Ⅰ）解：由，得． 

      所以，

      即．                                 

      因为，所以，

      所以．                                          

（Ⅱ）解：由，，得，. 

所以.                          

由正弦定理得，  所以.          

所以 △的面积.   

18.（Ⅰ）易证

（Ⅱ）当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减

（Ⅲ）要证，两边取以为底的对数，即只需证明

由（Ⅰ）可知，，分别取，得到

将上述个不等式相加，得

                       .

从而结论成立.

19.（Ⅰ）

（Ⅱ）直线：    定点

（Ⅲ）点满足的轨迹方程： 

20.解：（）27,9,3；8,9,3；6,2,3.                  

（）若被3除余1，则由已知可得,；

若被3除余2,则由已知可得, ,；

若被3除余0，则由已知可得,；

所以，

所以

所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.

因为，所以.

所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）

若,则；若,则,若,则,

由递推关系易得.                

（）集合中元素个数的最大值为21.

由已知递推关系可推得数列满足：

当时，总有成立，其中.

下面考虑当时，数列中大于3的各项：

按逆序排列各项，构成的数列记为，由（）可得或9，

由（）的证明过程可知数列的项满足：

，且当是3的倍数时，若使最小，需使，

所以，满足最小的数列中，或7，且，

所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，

所以或，即或，

因为，所以，当时，的最大值是6，

所以，所以集合重元素个数的最大值为21.