2012年甘肃省兰州市中考数学一模试卷



2011年

2011年甘肃省兰州市中考数学一模试卷

 

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一、选择题（本题共15个小题，每小题4分，共计60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、（2010•荆门）计算sin45°的结果等于（　　）

    A、        B、1

    C、        D、

2、（2010•遵义）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

3、下列事件属于必然事件的是（　　）

    A、掷一次骰子，向上的一面是6点        B、某种草票的中奖率是，购买100张彩票一定中奖

    C、367人中至少有两人的生日相同        D、某射击运动员射击一次，命中靶心

4、（2010•杭州）方程x2+x﹣1=0的根是（　　）

    A、1﹣        B、

    C、﹣1+        D、

5、（2010•绍兴）已知⊙O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是（　　）

    A、3        B、4

    C、6        D、8

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm，则圆心在C点，半径为3cm的圆与AB的关系是（　　）

    A、相离        B、相切

    C、相交        D、相切或相交

7、（2010•邵阳）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，半径为2的⊙O1的圆心O1在格点上，将一个与⊙O1重合的等圆向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到⊙O2．则⊙O2与⊙O1的位置关系是（　　）

    A、内切        B、外切

    C、相交        D、外离

8、下列四个说法中，正确的是（　　）

    A、一元二次方程x2+2x+3=有实数根        B、一元二次方程x2+2x+3=有实数根

    C、一元二次方程x2+2x+3=有实数根        D、一元二次方程x2+2x+3=2a（a≥1）有实数根

9、一个圆锥的底面半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的高为（　　）

    A、3cm        B、9cm

    C、12cm        D、15cm

10、（2010•广州）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（　　）

    A、52        B、32

    C、24        D、9

11、（2010•南宁）如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　）

    A、6s        B、4s

    C、3s        D、2s

12、（2010•宁波）骰子是一种特的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

13、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（　　）

    A、4        B、3

    C、2        D、1

14、（2010•荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）

    A、ab＜0        B、ac＜0

    C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小        D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根

15、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（　　）

    A、669        B、670

    C、671        D、672

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在题中的横线上）

16、（2010•苏州）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=　_________　．

17、（2010•湘潭）有四张不透明的卡片，正面写有不同命题（见下图），背面完全相同．将这四张卡片背面朝上洗匀后，随机抽取一张，得到正面上命题是真命题的概率为　_________　．

18、（2010•莆田）某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：　_________　．

x	0	1	2	3	4
y	3	0	﹣2	0	3

19、如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且BC=CO，则tan∠ADC=　_________　．

20、（2010•江西）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是　_________　．

﹙多填或错填的得0分，少填的酌情给分﹚．

三、解答题（本大题共8道题，共计70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21、（1）计算：（π﹣）0+（）﹣1﹣cos30°

（2）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD

①用尺规作图法，作∠DAB的角平分线AF（只保留作图痕迹，不写作法和证明）

②若AF交CD边于点E，判断△ADE的形状（只写结果）．

22、（2010•怀化）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．

23、如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．

（1）说明本次台风是否会影响B市；

（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．

24、（2010•湘潭）某市为了提高学生的安全防范意识和能力，每年在全市中小学学生中举行安全知识竞赛，为了了解今年全市七年级同学的竞赛成绩情况，小强随机调查了一些七年级同学的竞赛成绩，根据收集到的数据绘制了参与调查学生成绩的频数分布直方图和其中合格学生成绩的扇形统计图如下：

根据统计图提供的信息，解答以下问题：

（1）小强本次共调查了多少名七年级同学的成绩？被调查的学生中成绩合格的频率是多少？

（2）该市若有10000名七年级学生，请你根据小强的调查统计结果估计全市七年级学生中有多少名学生竞赛成绩合格？对此你有何看法？

（3）填写下表：

成绩	不合格	合格但不优秀	合格且优秀
频率	0.2

25、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：y=（x＞0）的图象分别交于A、B两点．点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；

（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求出S1的最大值及相应的x的值；

（2）填空：

①当S1=S2时，x=　_________　；

②当S1＞S2时，x的取值范围是　_________　；

③当S1＜S2时的取值范围是　_________　．

26、如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；

（2）若OB=BG=1，求CD的长．

27、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒 （0＜t＜5）．

（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式．

28、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过两点C（﹣2，5）与D（2，﹣3），且与x轴相交于A、B两点，其顶点为M．

（1）求点M的坐标；

（2）求△ABM的面积；

（3）在二次函数图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+m（m＜1）与此图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？

答案与评分标准

一、选择题（本题共15个小题，每小题4分，共计60分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、（2010•荆门）计算sin45°的结果等于（　　）

    A、        B、1

    C、        D、

考点：特殊角的三角函数值。

分析：把sin45°=代入原式进行计算即可．

解答：解：原式=×=1．

故选B．

点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．

2、（2010•遵义）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

考点：生活中的旋转现象；轴对称图形；中心对称图形。

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念和图形特点求解．

解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．

故选B．

点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：

判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；

判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．

3、下列事件属于必然事件的是（　　）

    A、掷一次骰子，向上的一面是6点        B、某种草票的中奖率是，购买100张彩票一定中奖

    C、367人中至少有两人的生日相同        D、某射击运动员射击一次，命中靶心

考点：随机事件。

专题：分类讨论。

分析：根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．

解答：解：A、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件；

B、某种彩票的中奖率为 ，购买100张彩票一定中奖，是随机事件；

C、一年最多有366天，367人中至少有两人的生日相同，是必然事件；

D、某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件．

故选C．

点评：本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4、（2010•杭州）方程x2+x﹣1=0的根是（　　）

    A、1﹣        B、

    C、﹣1+        D、

考点：解一元二次方程-公式法。

分析：观察原方程，可用公式法求解．

解答：解：a=1，b=1，c=﹣1，

b2﹣4ac=1+4=5＞0，

x=；故选D．

点评：本题考查了一元二次方程的解法．正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键．

5、（2010•绍兴）已知⊙O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是（　　）

    A、3        B、4

    C、6        D、8

考点：垂径定理；勾股定理。

分析：根据垂径定理可知半径、弦心距、弦的一半构建成一个直角三角形，运用勾股定理求解．

解答：解：∵⊙O的半径为5，弦AB的弦心距为3，

∴AB=2=8．

故选D．

点评：本题考查了垂径定理和勾股定理．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm，则圆心在C点，半径为3cm的圆与AB的关系是（　　）

    A、相离        B、相切

    C、相交        D、相切或相交

考点：直线与圆的位置关系。

专题：计算题。

分析：欲求圆与AB的位置关系，关键是求出点C到AB的距离d，再与半径3cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

解答：解：过点C作CD⊥AB，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，

∴CD=BC=3，

∵以点C为圆心，以3的长为半径作圆，

∴R=d，

∴⊙C与AB的位置关系是：相切．

故选B．

点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

7、（2010•邵阳）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，半径为2的⊙O1的圆心O1在格点上，将一个与⊙O1重合的等圆向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到⊙O2．则⊙O2与⊙O1的位置关系是（　　）

    A、内切        B、外切

    C、相交        D、外离

考点：圆与圆的位置关系；平移的性质。

专题：网格型。

分析：根据题意可求出O1O2的距离，与半径的和比较，即可判断出两圆的位置关系．

解答：解：根据题意，O1O2=2＜4，

∴⊙O2与⊙O1的位置关系是相交．

故选C．

点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．

（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．

8、下列四个说法中，正确的是（　　）

    A、一元二次方程x2+2x+3=有实数根        B、一元二次方程x2+2x+3=有实数根

    C、一元二次方程x2+2x+3=有实数根        D、一元二次方程x2+2x+3=2a（a≥1）有实数根

考点：根的判别式。

专题：计算题。

分析：先把各方程化为一般形式，然后分别计算△，然后根据△的意义进行判断即可．

解答：解：A、x2+2x+3﹣=0，因为△=22﹣4×1×（3﹣）=4（﹣2）＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；

B、x2+2x+3﹣=0，因为△=22﹣4×1×（3﹣）=4（﹣2）＜0，则方程没有实数根，所以B选项错误；

C、x2+2x+3﹣=0，因为△=22﹣4×1×（3﹣）=2（﹣4）＜0，则方程没有实数根，所以C选项错误；

D、x2+2x+3﹣2a=0（a≥1），△=22﹣4×1×（3﹣2a）=8（a﹣1），因为a≥1，则8（a﹣1）≥0，即△≥0，则方程有实数根，所以D选项正确．

故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

9、一个圆锥的底面半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的高为（　　）

    A、3cm        B、9cm

    C、12cm        D、15cm

考点：圆锥的计算。

专题：计算题。

分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，然后再利用勾股定理求圆锥的高即可．

解答：解：圆锥的底面周长为：2π×6=12π；

∴圆锥侧面展开图的弧长为12π，

设圆锥的母线长为R，

∴=12π，

解得R=9cm．

由勾股定理得圆锥的高为3．

故选A．

点评：本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，及弧长公式．

10、（2010•广州）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（　　）

    A、52        B、32

    C、24        D、9

考点：由三视图判断几何体。

分析：由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．

解答：解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3=24平方单位，故选C．

点评：三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题是由两种视图来推测整个正方体的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽．

11、（2010•南宁）如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　）

    A、6s        B、4s

    C、3s        D、2s

考点：二次函数的应用。

分析：由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2，令h=0，解得的两值之差便是所要求得的结果．

解答：解：由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2．

令h=0，﹣5t2+30t=0

解得：t1=0，t2=6

△t=6，小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．

故选A．

点评：本题考查了运动函数方程，是二次函数的实际应用．

12、（2010•宁波）骰子是一种特的数字立方体（见图），它符合规则：相对两面的点数之和总是7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（　　）

    A、        B、

    C、        D、

考点：展开图折叠成几何体。

专题：操作型。

分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．

解答：解：根据题意骰子的平面展开图，共有六个面，其中面“1”与面“6”相对，面“4”与面“3”相对，“2”与面“5”相对．

所以只有C中的相对两个面上的点数与立体图形一致，

故选C．

点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

13、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（　　）

    A、4        B、3

    C、2        D、1

考点：翻折变换（折叠问题）。

分析：连BG，根据折叠的性质得到∠1=∠2，EB=EG，BH⊥EG，则∠EBG=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，且∠3=∠4，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，因此有∠1=∠2=∠3=∠4．

解答：解：连BH，如图，

∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，

∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，

而∠1＞60°，

∴∠1≠∠AEG，

∵EB=EH，

∴∠EBH=∠EHB，

又∵点E是AB的中点，

∴EH=EB=EA，

∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2=∠3=∠4．

故选B．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了若三角形一边上的中线等于这边的一半，则此三角形为直角三角形．

14、（2010•荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（　　）

    A、ab＜0        B、ac＜0

    C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小        D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根

考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点。

分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性及二次函数与方程的关系进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：A、图象开口向下，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，﹣＞0，b＞0，所以ab＜0，正确；

B、图象开口向下，与y轴交于负半轴，能得到：a＜0，c＜0，∴ac＞0，错误；

C、a＜0，对称轴为x=2，根据二次函数的增减性可知，当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小，正确；

D、由二次函数与一元二次方程的关系可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，正确．

故选B．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，图象的增减性以及二次函数与方程之间的关系．

15、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（　　）

    A、669        B、670

    C、671        D、672

考点：剪纸问题。

专题：规律型。

分析：第一次可得到4个正方形；

第二次可得到4+3=7个正方形；

第三次可得到4+2×3=10个正方形；

…

第n次可得4+（n﹣1）×3个正方形．

解答：解：设若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是n．

4+（n﹣1）×3=2011，

解得n=670．

故选B．

点评：本题考查了剪纸问题，解决本题的关键是观察分析得到相应的规律．

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在题中的横线上）

16、（2010•苏州）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=　5　．

考点：根与系数的关系；一元二次方程的解。

分析：欲求a+b的值，先把x=3代入一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0，求出a，再由根与系数的关系，求得b，代入数值计算即可．

解答：解：把x=3代入一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0，解得：a=3，

由根与系数的关系得3+b=﹣=5，解得b=2，

∴a+b=3+2=5．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．

17、（2010•湘潭）有四张不透明的卡片，正面写有不同命题（见下图），背面完全相同．将这四张卡片背面朝上洗匀后，随机抽取一张，得到正面上命题是真命题的概率为　　．

考点：概率公式；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理；平移的性质。

分析：先判断命题的真假，再根据概率公式计算即可．

解答：解：①是假命题，应为直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；

②是真命题；

③是假命题，应正确表达为：平移改变图形位置，不改变图形大小；

④是真命题．

故真命题有两个，而命题有4个，是真命题的概率为=．

点评：此题结合命题，考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

18、（2010•莆田）某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：　y=x2﹣4x+3　．

x	0	1	2	3	4
y	3	0	﹣2	0	3

考点：待定系数法求二次函数解析式。

专题：图表型。

分析：由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，﹣2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；

设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），则有：

a（0﹣1）（0﹣3）=3，a=1；

∴y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．

19、如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且BC=CO，则tan∠ADC=　　．

考点：切线的性质；直角三角形斜边上的中线；锐角三角函数的定义。

专题：计算题。

分析：由AB为圆O的切线，根据切线的性质，得到OA与AB垂直，即三角形OAB为直角三角形，又BC=OC，得到OC等于OB的一半，再根据半径OC与OA相等，等量代换可得OA等于OB的一半，根据直角三角形中一直角边等于斜边的一半，得到这条边所对的角为30°，根据直角三角形的两锐角互余可求出∠AOB为60°，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可得∠ADC为30°，利用特殊角的三角函数值即可求出tan∠ADC的值．

解答：解：∵直线AB是⊙O的切线，A为切点，

∴OA⊥AB，

∴∠OAB=90°，

∵BC=CO=OB，

又OA=OC，

∴OA=OB，

∴∠B=30°，

∴∠AOC=60°，

又∵∠AOC与∠ADC分别为所对的圆心角和圆周角，

∴∠ADC=∠AOC=30°，

则tan∠ADC=tan30°=．

故答案为：

点评：此题考查了切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，以及特殊角的三角函数值，其中圆的切线性质为圆的切线垂直于过切点的直径，直角三角形的性质为直角三角形中一直角边等于斜边的一半，得到这条边所对的角为30°，灵活运用两性质是解本题的关键．

20、（2010•江西）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC﹙假定AC＞AB﹚，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确结论的序号是　①③④　．

﹙多填或错填的得0分，少填的酌情给分﹚．

考点：中心投影。

分析：点光源固定，当线段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化．

解答：解：当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示，m＞AC，①成立；

①成立，那么②不成立；

当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，③成立；

由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立．

点评：本题动手操作根据物高与点光源的位置可很快得到答案．

三、解答题（本大题共8道题，共计70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21、（1）计算：（π﹣）0+（）﹣1﹣cos30°

（2）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD

①用尺规作图法，作∠DAB的角平分线AF（只保留作图痕迹，不写作法和证明）

②若AF交CD边于点E，判断△ADE的形状（只写结果）．

考点：作图—复杂作图；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。

分析：（1）首先计算零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值分别计算，再计算加减法即可；

（2）①如图，以A为圆心，任意长为半径作弧，和AB、AD分别有交点，然后以两个交点为圆心以大于二分之一交点距离为半径作弧，两弧的交点为E，作射线AE就是∠DAB的角平分线AF；

②利用梯形的性质和角平分线的性质即可证明△ADE是等腰三角形．

解答：解：（1）原式=1+3﹣3×=4﹣=﹣0.5；

（2）①如图，射线AF即为所求；

②△ADE是等腰三角形

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠AED，

由（1）得∠DAE=∠BAE，

∴∠DAE=∠AED，

∴AD=DE．

点评：此题主要考查了零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，也考查了梯形的性质和角平分线的性质，以及等腰三角形的判定，题目比较基础，关键是同学们要熟练掌握好基础知识．

22、（2010•怀化）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．

考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定。

专题：证明题。

分析：平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可证OF=OE，OA=OC，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，OA=OC

∵AB∥CD

∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO

∴△FDO≌△EBO

∴OF=OE

∴四边形AECF是平行四边形

点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

23、如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．

（1）说明本次台风是否会影响B市；

（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．

考点：勾股定理；垂径定理的应用。

分析：（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与260千米相比较即可．

（2）以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．

解答：解：（1）作BH⊥PQ于点H．

在Rt△BHP中，

由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°，

∴BH=480sin30°=240＜260，

∴本次台风会影响B市．

（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．

由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，

∴P1P2=2=200，

∴台风影响的时间t==5（小时）．

故B市受台风影响的时间为5小时．

点评：本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．

24、（2010•湘潭）某市为了提高学生的安全防范意识和能力，每年在全市中小学学生中举行安全知识竞赛，为了了解今年全市七年级同学的竞赛成绩情况，小强随机调查了一些七年级同学的竞赛成绩，根据收集到的数据绘制了参与调查学生成绩的频数分布直方图和其中合格学生成绩的扇形统计图如下：

根据统计图提供的信息，解答以下问题：

（1）小强本次共调查了多少名七年级同学的成绩？被调查的学生中成绩合格的频率是多少？

（2）该市若有10000名七年级学生，请你根据小强的调查统计结果估计全市七年级学生中有多少名学生竞赛成绩合格？对此你有何看法？

（3）填写下表：

成绩	不合格	合格但不优秀	合格且优秀
频率	0.2

考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数与频率；扇形统计图。

专题：图表型。

分析：（1）成绩合格的人数+成绩不合格的人数=总人数，成绩合格的频率=成绩合格的人数÷总人数；

（2）全市七年级学生竞赛成绩合格的人数=成绩合格的频率×10000，答案不唯一，只要符合题意即可；

（3）合格但不优秀的频率=400×90%÷500，合格且优秀的频率=400×10%÷500．

解答：解：（1）400+100=500（1分），（3分）

（2）10000×0.8=8000（5分）

还有2000人成绩不合格，中学生要加强安全知识学习

（意思差不多即可）（6分）

（3）合格但不优秀的人数是：400×90%=360人．

则合格但不优秀的频率是：360÷500=0.72；

合格且优秀的人数是：400×10%=40人，

则合格且优秀的频率是：40÷500=0.08． 

成绩	不合格	合格但不优秀	合格且优秀
频率	0.2	0.72	0.08

（每空一分）（8分）

点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

25、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：y=（x＞0）的图象分别交于A、B两点．点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；

（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求出S1的最大值及相应的x的值；

（2）填空：

①当S1=S2时，x=　1或3　；

②当S1＞S2时，x的取值范围是　1＜x＜3　；

③当S1＜S2时的取值范围是　0＜x＜1或3＜x＜4　．

考点：反比例函数综合题；反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）根据点M的坐标，利用矩形的面积公式列式整理即可得解；

（2）根据反比例函数系数的意义可以求出S2=3，然后利用二次函数图象的增减性进行解答即可．

解答：解：（1）根据题意，S1=xy=x（﹣x+4），

=﹣x2+4x，

=﹣（x﹣2）2+4，

∴S1关于x的函数表达式为：S1=﹣（x﹣2）2+4，

当x=2时，S1的最大值，最大值为4；

（2）根据二次函数的增减性，当x＜2时，S1的值随x的增大而增大，

当x＞2时，S1的值随x的增大而减小，

∴①当S1=S2时，﹣x2+4x=3，

x2﹣4x+3=0，

（x﹣1）（x﹣3）=0，

∴x﹣1=0，x=3，

解得x1=1，x2=3，

②当S1＞S2时，1＜x＜3；

③直线y=﹣x+4与x轴的交点坐标为（4，0），

∴当S1＜S2时，0＜x＜1或3＜x＜4．

故答案为：（1）S1=﹣（x﹣2）2+4；（2）①1或3，②1＜x＜3，③0＜x＜1或3＜x＜4．

点评：本题综合考查了反比例函数的图象性质，反比例函数比例系数k的几何意义，二次函数的最值问题，以及矩形的性质，综合性较强，对同学们的能力要求较高．

26、如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；

（2）若OB=BG=1，求CD的长．

考点：切线的判定与性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）。

专题：计算题。

分析：（1）连接OC，通过证明OC∥AF，从而证得OC⊥FG即可判定切线．

（2）可通过得到CA=CG得到∠COE=∠G=30°，利用解直角三角形的知识求得CD的长即可．

解答：解：（1）直线FC与⊙O相切；

证明：连接OC，

∵直径AB垂直于弦CD，

∵将△ACE沿AC翻折得到△ACF，

∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF，

∴OC⊥FG，

∴直线FC与⊙O相切；

（2）在Rt△OCG中，，

∴∠COG=60°．                                         

在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=1×=．        

∵直径AB垂直于弦CD，

∴CD=2CE=．

点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．

27、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒 （0＜t＜5）．

（1）求证：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的长；

（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式．

考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的应用；勾股定理；直角梯形。

分析：（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．

（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．

解答：（1）证明：∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠DCA

又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，

∴△ACD∽△BAC；

（2）解：Rt△ABC中，AC==8，

∵△ACD∽△BAC，∴=，

即 ，

解得：DC=6.4；

（3）解：过点E作AB的垂线，垂足为G，

∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共角，

∴△ACB∽△EGB，

∴，即 ，故 ；

y=S△ABC﹣S△BEF

=，

=；

故当t=时，

y的最小值为19．

点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．

28、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过两点C（﹣2，5）与D（2，﹣3），且与x轴相交于A、B两点，其顶点为M．

（1）求点M的坐标；

（2）求△ABM的面积；

（3）在二次函数图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+m（m＜1）与此图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？

考点：二次函数综合题。

分析：（1）利用待定系数法将点C、点D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出其顶点坐标M．

（2）当y=0时，求出抛物线与x轴的交点坐标就可以求出AB的值，△ABM的高就是M的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积．

（3）设出点P的坐标为（a，b），根据条件S△PAB=S△MAB建立等量关系就可以求出P点的坐标．

（4）当直线y=x+m（m＜1）经过点A（﹣1，0）时，可以求出m的值，当直线y=x+m（m＜1）经过点B（3，0）时可以求出m的值，再 根据图象就可以求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵点C（﹣2，5）与D（2，﹣3）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，

∴，解得：，

抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，

∴y=（x﹣1）2﹣4

M（1，﹣4）

（2）当y=0时，则x2﹣2x﹣3=0，

∴x1=3，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∴S△ABM==8．

（3）设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣3），当点P在x轴的上方时，

∴4（a2﹣2a﹣3）×=，解得：

a1=4，a2=﹣2，

∴P（4，5）或（﹣2，5），

当点P在x轴的下方时的点不存在．

∴P（4，5）或（﹣2，5）．

（4）如图，当直线y=x+m（m＜1）经过点A（﹣1，0）时

∴0=﹣1+m，

∴m=1，

当直线y=x+m（m＜1）经过点B（3，0）时，

∴0=3+m，

∴m=﹣3

∵m＜1，由图象得：

﹣3＜m＜1．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系．

参与本试卷答题和审题的老师有：

Linaliu；lihongfang；lanchong；sjzx；MMCH；CJX；sd2011；HLing；星期八；hdq123；张超；lbz；zxw；gsls；bjy；yangwenyou；HJJ；疯跑的蜗牛；fengguowuhen；lanyuemeng。（排名不分先后）

菁优网

2012年3月13日