周益春-材料固体力学习题解答6-1

1.设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩值。

图6.1(a)

解：由于形状对称，滑移线场对称，故可只取右半部分进行分析。

厚板的下部是均匀应力区，在边上，，，根据力矩的方向，应取负值，即

其应力状态和线的方向如6.1（b）所示。

由于厚板的上部也是均匀应力区，在边上，，，根据力矩的方向，应取正值，即

其应力状态和线方向如图6.1（c）所示。

正方形是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力，其数值及应力间断点的位置由下列平衡方程求得：

由此得出

由于是同一根线，故

取边上的单元体进行分析，如图6.1（d）所示得：

令

则可得  

2.设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为，试求在极限状态时，该板所能承受的弯矩值。

解：此题滑移线场与上一题（a）图中上部的滑移线场一样，因此在极限状态下应力为

故由此应力所承受的弯矩为

令

则得         

3.已知具有角形切口的板条，受拉应力，试求此板条的极限载荷。

2a

图6.3(a)

解：作滑移线场如图6.3(b)所示，由于对称，只考虑板条的一半。在和中是均匀应力状态。在中

平均应力  

A

0

应力状态和滑移线的方向如图6.3(b)所示。

图6.3(b)                                              图6.3(c)

在中在边（图6.3(c)）上，各应力值和线与轴的夹角为

应力状态和滑移线的方向如图6.3(c)所示。由于沿同一条线其应相等，故

由此得 

在长度上

4.已知削平的楔体，两侧面受外压的作用，顶面受压力的作用，如图6.4(a)所示，试按如下两种情况求出极限载荷的值。

(a)                                    (b) 

图6.4(a)                                      图6.4(b)

k

解：第一种解法：

图6.4(c)                                          图6.4(d)

在边，受力状态如图6.4(c)所示。

在边，受力状态如图6.4(d)所示。

沿是同一条线：

故    

讨论：

①  当时，，它表示不论多大，都不能屈服，即楔体处于静水压应力状态。

②  当时，能达到屈服，极限载荷仅与之差有关。

第二种解法：如图6-4（e）所示

在边，有

在边，有， 

因为沿同一条线，故有

化简后得          

结果与第一种解法相同。

5.已知楔形模如图所示，板条在楔形模中受挤压，如初始厚度为，通过模孔后厚度被减小到，若已知缩减比为，式中为收缩孔的收缩角，试求此时作用于模上的压力值以及挤压应力的表达值。

解：设作用于模上的正压应力为，由（c）可以看出

                                           （1）

式中是垂直于平面的静水压力。根据方程可以找出。由于（图b）而沿线时，旋转的角为正，故有

因此                                               （2）

由（1）式和（2）式得           

作用在冲杆上的均匀压力可由下式给出

或      

6.简支圆板的半径为，受半径为的轴对称均布载荷作用，如图6.6(a)所示，试按Tresca屈服条件求极限载荷的值。

解：圆板的平衡方程为

当时，，对应于Tresca屈服条件的点（如图6.6(b)），

Mr

B

E

A

C

F

D

图6.6(b)

当时，，对应于Tresca屈服条件的点，圆板对应图上的线，即，故平衡方程可写为

在处，存在如下平衡关系

即                 

因此平衡方程为

积分上式后，得

或                 

在，所以

因此有

                ()

在处

故这一区域的平衡方程为

积分上式后，得