湘教版七年级下学期期末数学试卷

一．选择题（共12小题，满分36分）

1．下列是二元一次方程的是（　　）

A．3x﹣6＝x B．2x﹣3y＝x2 C． D．3x＝2y

2．下列图形对称轴条数最多的是（　　）

A． B． C． D．

3．下列运算结果正确的是（　　）

A．a8÷a2＝a4 B．x3x3＝x6    

C．（﹣m）2m3＝﹣m5 D．（a3）3＝a6

4．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：

A．6环 B．7环 C．8环 D．9环

5．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab    

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab

6．如图，直线a∥b，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）

A．100° B．70° C．110° D．20°

7．点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，则点P到直线l的距离（　　）

A．小于4cm B．等于4cm C．大于4cm D．不确定

8．如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（　　）

A．BE＝4 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．DF＝5

9．一组数据：5，3，4，x，2，1的平均数是3，则这组数据的方差是（　　）

A． B． C．10 D．

10．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒．则下列方程组中符合题意的是（　　）

A． B．    

C． D．

11．数348﹣1能被30以内的两位整数整除的是（　　）

A．28，26 B．26，24 C．27，25 D．25，23

12．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°

二、填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分，请将答案写在答题卡上）

13．化简：3a2﹣a（2a﹣1）＝　     　．

14．已知x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝　     　．

15．一组数据：2，3，3，2，2的众数是　 　．

16．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，∠BAE＝∠CDE＝136°，则∠C的度数是　　．

17．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝29°，则∠A的度数为　     　．

18．规定图形表示运算x﹣z﹣y+w，那么＝　   　（直接写出答案）．

三.解答题：（本大题共2小题，每题6分，满分12分，请将解答过程写在答题卡上）

19．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝3，y＝﹣3．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．

（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；

（3）线段B1B2的长是　            　．

四.解答题：（本大题共2小题，每题8分，满分16分，请将解答过程写在答题卡上）

21．已知，都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解，且m﹣n＝b2+b﹣，求b的值．

22．（8分）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．

在下列解答中，填空：

证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），

∴AB∥DE（　             　）．

∴∠ABC＝∠BCD（　             　）．

∵∠P＝∠Q（已知），

∴PB∥（　             　）（　             　）．

∴∠PBC＝（　             　）（两直线平行，内错角相等）．

∵∠1＝∠ABC﹣（　             　），∠2＝∠BCD﹣（　             　），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

五.解答题：（本大题共2小题，每题9分，满分18分，请将解答过程写在答题卡上）

23．（9分）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？

（3）计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．

24．（9分）甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？

六．综合与探究：（本大题共2小题，每题10分，满分20分，请将解答过程写在答题卡上）

25．提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？

探究问题：如图（1）所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）

x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．

解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）

运用结论：

（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．

（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：

将二次项4x2分解成图（2）中的两个﹣4x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14

（3）综合运用：灵活运用知识进行因式分解：x3﹣7x+6

26．（1）如图1，已知AB∥CD，∠ABC＝60°，可得∠BCD＝　   　度；

（2）如图2，在（1）的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM＝　   　度；

（3）如图3，在（1）（2）的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN＝　   　度；

（4）尝试解决下面问题：如图4，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．

参

一．选择题

1．解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；

C．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

D．是二元一次方程，故本选项符合题意；

故选：D．

2．解：选项A，图形有5条对称轴；

选项B，图形有3条对称轴；

选项C，图形没有对称轴；

选项D，图形有4条对称轴；

所以对称轴条数最多的是A．

故选：A．

3．解：A、a8÷a2＝a6，故本选项错误；

B、x3x3＝x6，故本选项正确；

C、（﹣m）2m3＝m5，故本选项错误；

D、（a3）3＝a9，故本选项错误；

故选：B．

4．解：根据题意可得甲的中位数是＝8，

因为两人的比赛成绩的中位数相同，

所以乙的中位数是8，

8＝（9+x）÷2，

所以x＝7，

故选：B．

5．解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），

即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故选：A．

6．解：如图，

∵a∥b，∠1＝70°，

∴∠3＝∠1＝70°，

∵∠2+∠3＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠3＝110°，

故选：C．

7．解：∵点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，且PA＝4cm，

∴点P到直线l的距离是PA的长度，即PA等于4cm．

故选：B．

8．解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，

∴CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，

∴A、B、C正确，D错误，

故选：D．

9．解：由平均数的公式得：（5+3+4+x+2+1）÷6＝3，解得x＝3；

∴方差＝[（5﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（1﹣3）2]÷6＝．

故选：B．

10．解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，

根据题意可列方程组：，

故选：C．

11．解：348﹣1＝（324+1）（324﹣1）

＝（324+1）（312+1）（312﹣1）

＝（324+1）（312+1）（36+1）（36﹣1）

＝（324+1）（312+1）（36+1）（33+1）（33﹣1）

＝（324+1）（312+1）×730×28×26，

∵348﹣1能被30以内的两位数（偶数）整除，

则这个数是28或26，

故选：A．

12．解：∵长方形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，

∴∠3＝∠2＝＝65°，

∵长方形对边AD∥BC，

∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．

故选：B．

二．填空题

13．解：3a2﹣a（2a﹣1）＝3a2﹣2a2+a＝a2+a．

故答案为：a2+a．

14．解：∵x2﹣2（m+3）x+9是一个完全平方式，

∴m+3＝±3，

解得：m＝﹣6或m＝0，

故答案为：﹣6或0

15．解：这组数据中数字2出现次数最多，有3次，

所以这组数据的众数为2，

故答案为：2．

16．解解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，

∵∠BAE＝136°，

∴∠DAE＝（360°﹣∠BAE）＝（360°﹣136°）＝112°，

∵∠CDE＝∠DAE+∠E，

∴∠E＝∠CDE﹣∠DAE＝136°﹣112°＝24°，

∴∠C＝24°．

故答案为：24°．

17．解：∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD＝29°，

∵CB平分∠ACD，

∴∠ACB＝∠BCD＝29°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝122°，

故答案为：122°．

18．解：由题意可得，

＝4﹣6﹣7+5＝﹣4，

故答案为：﹣4．

三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分）

19．解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x

＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x

＝﹣x﹣y，

当x＝3，y＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣3）＝0．

20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；

（3）线段B1B2的长是＝．

故答案为：．

四．解答题（共2小题，满分8分）

21．解：∵，都是关于x，y的二元一次方程y＝x+b的解，

∴

①+②，得2m+3＝2n+2b+2，

整理，得2m﹣2n＝2b﹣1

∴m﹣n＝b﹣

∴b﹣＝b2+b﹣

即b2＝5，

∴b＝±．

22．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），

∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．

∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．

∵∠P＝∠Q（已知），

∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．

∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．

∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．

五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）

23．解：（1）初中5名选手的平均分，众数b＝85，

高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80；

（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，

故初中部决赛成绩较好；

（3），

∵，

∴初中代表队选手成绩比较稳定．

24．解：设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，依题意得

，

解得：．

答：甲种商品原来的单价是40元，乙种商品原来的单价是60元．

六．解答题

25．解 （1）x2﹣5x﹣24

＝（x﹣8）（x+3）

（2）3x2﹣19x﹣14

＝（3x+2）（x﹣7）

（3）解法一：

x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6

＝（x3﹣x）﹣（6x﹣6）

＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）

＝x（x+1）（x﹣1）﹣6（x﹣1）

＝（x﹣1）[x（x+1）﹣6]

＝（x﹣1）（x2+x﹣6）

＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）

解法二：

x3 ﹣7x+6＝x3﹣x2+x2 ﹣7x+6

＝x2（x﹣1）+x2 ﹣7x+6

＝x2（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣6）

＝（x﹣1）（x2+x﹣6）

＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）

26．解（1）∵AB∥CD，∠ABC＝60°，

∴∠BCD＝∠ABC＝60°,

故答案为：60；

(2)∵AB∥CD，∠ABC＝60°，

∴∠BCD＝∠ABC＝60°，

∵CM平分∠BCD，

∴∠BCM＝∠DCM＝∠BCD＝30°；

故答案为：30；

(3)∵CN⊥CM，

∴∠NCM＝90°，

∵∠BCM＝30°，

∴∠BCN＝∠NCM﹣∠BCM＝90°﹣30°＝60°；

故答案为：60；

(4)∵AB∥CD，

∴∠B+∠BCE＝180°，

∵∠B＝40°，

∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣40°＝140°,

又∵CN是∠BCE的平分线，

∴∠BCN＝∠BCE＝×140°＝70°,

∵CN⊥CM，

∴∠BCN+∠BCM＝90°,

∴∠BCM＝90°﹣∠BCN＝90°﹣70°＝20°．