2020年荆州市中考数学试题、试卷(解析版)

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．

2．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（　　）

A． B．    

C． D．

4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°

5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（　　）

A．20 B．20    

C． D．

6．（3分）（2020•荆州）若x为实数，在“（1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　）

A．1 B．1 C．2 D．1

7．（3分）（2020•荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（　　）

A．（，） B．（，1） C．（2，1） D．（2，）

9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）

A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根    

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（2020•荆州）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为　   　．（用“＜”号连接）

12．（3分）（2020•荆州）若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则的值为　   　．

13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：　   　．（只需写一条）

14．（3分）（2020•荆州）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是　   　．

15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了　   　km．

16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　   　．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）

17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1），其中a是不等式组的最小整数解．

18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．

【问题】解方程：x2+2x+45＝0．

【提示】可以用“换元法”解方程．

解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2

原方程可化为：t2+4t﹣5＝0

【续解】

19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．

（1）求证：BC∥AD；

（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．

20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

分数

人数

（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；

（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；

（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？

21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y的图象与性质共探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图1．

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　   　；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；

①　   　；

②　   　；

（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　   　；

②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　   　；

③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　   　．

22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，

（1）求证：△EGC∽△GFH；

（2）求AD的长；

（3）求tan∠GFH的值．

23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．

目的地

（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．

24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．

（1）求证：BC是半圆O的切线；

（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．

①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．

2020年湖北省荆州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2020•荆州）有理数﹣2的相反数是（　　）

A．2 B． C．﹣2 D．

【解答】解：有理数﹣2的相反数是：2．

故选：A．

2．（3分）（2020•荆州）下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．

故选：A．

3．（3分）（2020•荆州）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（　　）

A． B．    

C． D．

【解答】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，

∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），

∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，

故选：C．

4．（3分）（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°

【解答】解：如图所示：

∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，

∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，

∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，

∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，

∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，

∴∠ACB＝75°，

故选：D．

5．（3分）（2020•荆州）八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（　　）

A．20 B．20    

C． D．

【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，

依题意，得：．

故选：C．

6．（3分）（2020•荆州）若x为实数，在“（1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　）

A．1 B．1 C．2 D．1

【解答】解：A．（1）﹣（1）＝0，故本选项不合题意；

B．（1）2，故本选项不合题意；

C．（1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；

D．（1）（1）＝﹣2，故本选项不合题意．

故选：C．

7．（3分）（2020•荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【解答】解：∵四边形BCD是菱形，

∴BC＝CD，AB∥CD，

∴∠B＝∠DCF，

①∵添加BE＝CF，

∴△BCE≌△CDF（SAS），

②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠CEB＝∠F＝90°，

∴△BCE≌△CDF（AAS），

③∵添加CE＝DF，

不能确定△BCE≌△CDF；

④∵添加∠BCE＝∠CDF，

∴△BCE≌△CDF（ASA），

故选：C．

8．（3分）（2020•荆州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（　　）

A．（，） B．（，1） C．（2，1） D．（2，）

【解答】解：如图，

∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．

∴∠AOD＝30°，

∴ADOA，

∵C为OA的中点，

∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，

∴OA＝2，

∴OD，

则点A的坐标为：（，1）．

故选：B．

9．（3分）（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）

A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根    

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，

∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，

整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，

∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）

＝4k2+5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

10．（3分）（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：如图，作直径BD，连接CD，

由勾股定理得，BD2，

在Rt△BDC中，cos∠BDC，

由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，

∴cos∠BAC＝cos∠BDC，

故选：B．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（2020•荆州）若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为　b＜a＜c　．（用“＜”号连接）

【解答】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，

∴b＜a＜c．

故答案为：b＜a＜c．

12．（3分）（2020•荆州）若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则的值为　2　．

【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，

解得n＝2，

所以2m+n＝2+2＝4，

2．

故答案是：2．

13．（3分）（2020•荆州）已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：　线段的垂直平分线的性质　．（只需写一条）

【解答】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，

∴OA＝OC＝OB，

∴⊙O为△ABC的外接圆．

故答案为：线段的垂直平分线的性质．

14．（3分）（2020•荆州）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，

∴最后一只摘到B的概率为；

故答案为：．

15．（3分）（2020•荆州）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了　24　km．

【解答】解：过D点作DF⊥BC，

设EF＝xkm，则DF＝xkm，BFxkm，

在Rt△BFD中，BDxkm，

∵D地在AB正中位置，

∴AB＝2BDxkm，

∵tan∠ABC，

∴cos∠ABC，

∴，

解得x＝3，

则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，

小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．

故答案为：24．

16．（3分）（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　（1，0）、（2，0）或（0，2）　．

【解答】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，

△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，

∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，

由求根公式可得x

x

x11，此时m为不等于0的任意数，不合题意；

x2，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；

x3，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；

x41，此时m为不等于0的任意数，不合题意；

所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；

令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．

综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；

故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）

17．（8分）（2020•荆州）先化简，再求值：（1），其中a是不等式组的最小整数解．

【解答】解：原式•

．

解不等式组中的①，得a≥2．

解不等式②，得a＜4．

则2≤a＜4．

所以a的最小整数值是2，

所以，原式．

18．（8分）（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．

【问题】解方程：x2+2x+45＝0．

【提示】可以用“换元法”解方程．

解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2

原方程可化为：t2+4t﹣5＝0

【续解】

【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，

t+5＝0或t﹣1＝0，

∴t1＝﹣5，t2＝1，

当t＝﹣5时，5，此方程无解；

当t＝1时，1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1，x2＝﹣1；

经检验，原方程的解为x1＝﹣1，x2＝﹣1．

19．（8分）（2020•荆州）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．

（1）求证：BC∥AD；

（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．

【解答】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，

∴AB＝DB，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB＝60°，

∴∠CBE＝∠DAB，

∴BC∥AD．

（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，

∴A，C两点旋转所经过的路径长之和．

20．（8分）（2020•荆州）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

分数

人数

（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；

（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；

（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？

【解答】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；

七年级的中位数为，故b＝90；

八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；

八年级中90分的最多，故d＝90；

（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；

（3）∵600390（人），

∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．

21．（8分）（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y的图象与性质共探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图1．

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；

①　函数的图象关于y轴对称　；

②　当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小　；

（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　4　；

②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　4　；

③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　2k　．

【解答】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，

∴m＝1，

故答案为：1；补全图象如图所示：

（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；

（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4|k|＝2|k|＝4，

②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，

③S四边形OABC＝2|k|＝2k，

故答案为：4，4，2k．

22．（10分）（2020•荆州）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，

（1）求证：△EGC∽△GFH；

（2）求AD的长；

（3）求tan∠GFH的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，

由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，

∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，

∴∠EGC＝∠GFH，

∴△EGC∽△GFH．

（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，

∴GH：AH＝2：3，

∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，

∴AG＝AB＝GH+AH＝20，

∴GH＝8，AH＝12，

∴AD＝AH＝12．

（3）解：在Rt△ADG中，DG16，

由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，

∵GH2+HF2＝GF2，

∴82+x2＝（16﹣x）2，

解得：x＝6，

∴HF＝6，

在Rt△GFH中，tan∠GFH．

23．（10分）（2020•荆州）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．

目的地

（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．

【解答】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：

，解得，

即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；

（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，

∵，解得：40≤x≤240，

又∵﹣4＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x＝240时，可以使总运费最少，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；

（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，

当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，

∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，

而0＜m≤15且m为整数，

∴m的最小值为10．

24．（12分）（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．

（1）求证：BC是半圆O的切线；

（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．

①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．

【解答】（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，

∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），

∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，

∴OA＝OC，

∵DE∥BC，O是AC的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AEAB，BC＝2OE，

∴E（，﹣1），

∴EM，

∴OE，

∴BC＝2OE，

在△ABC中，∵25，AB2＝52＝25，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∵AC为半圆O的直径，

∴BC是半圆O的切线；

（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：

如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA，

∵OD∥BC，

∴四边形OBCD是平行四边形；

（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE，

过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，

∴△ODN∽△OEM，

∴，即，

∴ON＝2，DN＝1，

∴N（﹣1，2），

设此抛物线的解析式为：y＝a（x）2﹣1，

把N（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1）2﹣1，

解得：a，

∴此抛物线的解析式为：y（x）2﹣1，即y；

②存在，

过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，

∵DG＝1，EG＝2+1＝3，

∴DE，

tan∠DEG，

∵tan∠OAM，且∠DEG和∠OAM都是锐角，

∴∠DEG＝∠OAM，

如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，

∴EP，

∵S△AOB，

∵S△EPQ＝S△OAB，

∴，

即，

解得：x或；

如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，

∴EP，

同理得：，

解得：x或；

综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或或或．