2010年第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题和答案

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要      个乒乓球。

2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有      种不同价格。

3．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km, 80km, 60km，那么甲乙两站的路程是      km。

4．将和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第      位。

5．将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为      ，这些“好数”的最大公约数是      。

6．右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为      。

7．数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有      张是卡片“3”。

8．若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是      。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

10．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？

11．足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？

12．华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×124，请问这两个数1163和124中有质数吗？并说明理由。

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米。求六边形A1B1C1D1E1F1的面积。

14．已知两位自然数能被它的数字之积整除，求出代表的两位数。

答案

1．173

2．19  

3．425  

4．5 

5．223；3

6．32

7．3

8．4

9．不能

10．[8，12，18]=72

8+12+18-3-2-1+1=32 除去重复的32-4=28段

最长一段长为1，所以1/72

11．7；5

12．有质数,1163；1163不能除以2,3,5……37内质数,1163＜37×40

13．335×6=2010

   （2010-670）÷2=670

2010-（670×2）=670

14．11，12，15，24，36

第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（A卷）解答的

详细解析与答案

一、填空题（每小题10分，共80分）

1、【解答】（枚举方法）至少需要11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173 。

2、【解答】（列表方法）    共有25-6=19  (种)

4、【解答】平均数=【（++）+++】÷6≈0.265457，所以这个平均数从小到大排列在第5位。

5、【解答】（余数问题或周期规律）题意中的好数实际是指小于或等于2012中除以9余6的数有多少个。即数列6、15、24、33、42、51…….1005、2004共（2004-6）÷9+1=223（个），最大公约数为3

6、【解答】（表面几何问题）。

(视图方法)。俯视面积5，仰视面积5，前视面积5，后视面积5，左视面积6，右视面积6，表面积共32

7、【解答】（不定方程问题）      

设卡片3用X张，卡片4用Y张，卡片5用M张，则：

            X+Y+M=8              ①

  3X+4Y+5M=33          ②         2X+Y=7    X最大为3 

8、【解答】（估算问题）

根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算。

-≈0.41  ， -≈0.01548  ， -≈0.00354  ， -≈0.00132

0.00063，……推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个求和,所以小数点后第一位为4。

二、答下列各题(每题10分，共40分)

9、【解答】（染色问题）将5块硬纸板黑白间隔染色，可见黑色有11块，白色9块，或者黑色9块，白色11块。而右边20个格子黑、白各10块。显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的的4×5的长方形。

10、解答（重叠问题） ：令L=[8,12,18]=72的K倍，即L=72K。那么:

                   红线将木棍等分8等份  （9个分点）， 每份长度9K；

蓝线将木棍等分12等份（13个分点）， 每份长度6K；

黑线将木棍等分18等份（19个分点）， 每份长度4K；

又知：【9K，6K】=18K,重叠4段。 【6K，4K】=12K ，重叠6段。 【9K，4K】=36K，重叠2段

【9K,6K,4K】=36K,重叠2段。

由容斥原理二得：一共分割的段数为：(8+12+18)-4-6-2+2=28（段）

或总点数为：（9+13+19）-5-7-3+3=29(分点)，所以共有28段。

11、【解答】（数值综合推理）

5只足球队单循环比赛共赛4+3+2+1=10场。从计分标准看，有胜负的场次得3分，平局的场次共得2分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然和整个比赛中平局的次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低。假设全是3分，10场共计30分，每平局总分倒减1分。

由A、B、C、D的得分不难分析，

A=1             =1+0+0+0

B=4             =3+1+0+0     =      1+1+1+1

C=7             =3+3+1+0     

D=8             =3+3+1+1     

从得分看至少3局平局，全部比赛总分30-3=27分，E对得分最多为27-1-4-7-8=7分。

从得分看最多5场平局，全部比赛总分30-5=25分，E队得分最少为25-1-4-7-8=5分。

12、【解答】（质数问题）

124是合数，原因是124的约数不止两个，除了有1和本身外还有2、4……等等。

1163是质数,判断方法是: 35=1225，34=1156 最接近1163，所以用小于34的所有   质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数。

三、解答下列各题（每题15分，共30分）

13、【解答】（图形面积问题）（容斥原理求面积）

六边形的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分的面积。

根据容斥原理：两个六边形中间夹圈部分的面积=（335×6+670）÷2=1340

所以：

六边形的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分的面积

=2010-1340=670

14、【解答】（不定方程问题）

       令虎为X、威为Y  ,   则：题意为：10X+Y=X×Y×K（K为整数）

       讨论:①Y=1       (K-10)X=1     X=1,K=11,    =11

②Y=2       (K-5)X=1      X=1,K=6,     =12

③Y=3       (3K-10)X=3    无解

④Y=4       (4XK-10K)=2   X=2,K=3      =24

⑤Y=5      （K-2）X=1     X=1,K=3      =15

⑥Y=6       (3K-5)X=3     X=3,K=2      =36        

⑦Y=7，同上方法讨论无解。

⑧Y=8，同上方法讨论无解。

⑨Y=9，同上方法讨论无解。