直线倾斜角与斜率

2005年5月7日 来源:网友提供 作者:未知 字体:[大 中 小] 

【演示动画】

　　观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系

　　(1)  直线变化→α变化→ 中的 系数 变化    （同时注意 α的变化）．

　　(2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化    （同时注意 α的变化）．

　　教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与 的系数的关系：倾斜角不同，方程中 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

　　定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作 ，即 ．

　　这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．

　　指出下列直线的倾斜角和斜率：

　　(1) ＝-     (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

　　学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)

画图，指出倾斜角和斜率．

　　结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．

　　注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．

　　α＝0°      ←--→    ＝0

　　0°＜α＜90° ←--→    ＞0

　　α＝90°     ←--→   不存在

　　90°＜α＜180°←--→  ＜0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

　　如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tgα求出直线的斜率；

　　如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？

　　即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．

思路分析：

　　首先由学生提出思路，教师启发、引导：

　　运用正切定义，解决问题．

　　(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）

　　(2)角α是“标准位置”吗？（不是．）

　　(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量 ，使P1与原点重合，得到新向量 ．）

　　(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）

　　(5)直线的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）

　　(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．

　　评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．

【练习】

　　(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 α？

　　(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

　　(3)直线 (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？

　　(4)求经过两点 (0，0)、 (-1， )直线的倾斜角和斜率．

　　(5)课本第37页练习第2、4题．

　　教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．

【总结】

　　教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：

　　(1)直线倾斜角的概念要注意什么？

　　(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

　　(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时， α不存在．

　　(3) ＝ （ ），没有．

【作业】

　　1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．

　　2．思考题

　　（1）方程 是单位圆的方程吗？

　　（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？

　　（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

　　（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗