中考第一轮复习——代数式

一、教学内容：

复习二：代数式

整式、分式、二次根式. 

二、知识要点：

1. 代数式

（1）定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数与字母连接而成的式子叫做代数式. 

（2）分类：

（3）有理式：只含有加、减、乘、除、乘方（包括数字开方运算）的代数式，叫做有理式. 

（4）无理式：含有关于字母开方运算的代数式，叫做无理式. 

（5）整式：没有除法运算或虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式. 即单项式与多项式统称为整式. 

（6）分式：用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式，分式中的字母取值必须使分母的值不为零，否则无意义. 

（7）形如（a≥0）的代数式叫二次根式. 

2. 整式

（1）有关概念：

①单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式. 

②多项式：几个单项式的和叫做多项式. 

③同类项：所含的字母相同并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项. 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 

（2）运算：

①去括号与添括号

去括号法则：括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里各项都改变符号. 

添括号法则：括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号. 

②加减：整式的加减法实际上就是合并同类项. 

③幂的运算：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 

幂的乘方，底数不变，指数相乘. 

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 

同底数幂相除，底数不变，指数相减. 

④整式的乘法：

单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 

⑤整式的除法：

单项式除以单项式，把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 

多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加. 

⑥乘法公式：

a. 平方差公式；b. 完全平方公式. 

⑦零指数和负整数指数：

规定a0＝1，a－p＝（a≠0，p为正整数）. 

3. 因式分解

（1）定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种恒等变形叫做因式分解（又叫分解因式）. 

（2）基本方法：提取公因式；运用公式、分组分解. 

4. 分式

（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 

（2）符号法则：－＝－＝＝. 

（3）分式的加减：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后相加减. 

（4）分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；分式的乘方是把分子、分母各自乘方. 

5. 二次根式

（1）最简二次根式应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 

（2）二次根式的主要性质：①（）2＝a（a≥0）；②＝︱a︱＝；③＝·（a≥0，b≥0）；④＝（b≥0，a＞0）. 

（3）因式的外移和内移、把分母中的根号化去. 

（4）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式. 

（5）二次根式的乘除法：把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式. 

三、重、难点：

1. 会列代数式，并会求代数式的值；2. 掌握整式运算、因式分解的方法；3. 分式的运算性质，会熟练约分、通分；4. 二次根式的性质. 

四、考点分析：

本部分中考命题的热点是对二次根式性质的化简，求值与分类讨论等数学思想方法的考查，在中考中整式运算、分式运算，根式运算，幂的运算及分解因式等内容，几乎为每年必考内容，对这部分内容考查的题型多以填空题、选择题等题型为主，所以在复习中要注意透彻理解基本概念和定义，熟悉运算法则、公式及使用条件，并能迅速而准确地进行基本运算. 

【典型例题】

例1. 完成下列各题：

（1）下列各式计算正确的是（   ）

A. a2＋a2＝a4                        B. （3x）2＝6x2

C. （x2）3＝x6                    D. （x＋y）2＝x2＋y2

解析：合并同类项是系数相加，字母及字母的指数不变；同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；积的乘方是各因式乘方的积. A选项a2＋a2＝2a2，B选项（3x）2＝9x2，D选项是完全平方公式. 正确答案是C. 

（2）计算（＋3－）的结果是（   ）

A. 6                B. 4            C. 2＋6        D. 12

解析：明确运算法则和运算顺序，二次根式的化简应贯穿在整个运算过程中. 选D. 

（3）分式的值为0，则x的取值为（   ）

A. x＝－3                        B. x＝3

C. x＝－3或x＝1                    D. x＝3或x＝－1

解析：分式的值为零的条件是：分子x2＋2x－3＝0，而分母︱x︱－1≠0，∴x＝－3，故选A. 

（4）若2amb2m＋3n与a2n－3b8的和仍是单项式，则m与n的值分别是（   ）

A. 1，2            B. 2，1            C. 1，1            D. 1，3

解析：由题意可知，解之得. 选A

例2. 运用乘法公式计算：

（1）（＋y）（－y）；（2）（x－a）（x＋a）（x2－a2）. 

分析：第（1）题直接运用平方差公式计算；第（2）题先用平方差公式，再用完全平方公式计算. 

解：（1）（＋y）（－y）

＝（）2－（y）2

＝－

（2）（x－a）（x＋a）（x2－a2）

＝（x2－a2）（x2－a2）

＝（x2－a2）2

＝x4－2a2x2＋a4

例3. 已知x2－4＝0，求代数式x（x＋1）2－x（x2＋x）－x－7的值. 

解：原式＝x3＋2x2＋x－x3－x2－x－7＝x2－7，

当x2＝4时，原式＝－3. 

评析：解这类求值题目，除了直接代入外，还可以通过巧妙变形，整体代入求代数式的值. 如a2＋a－1＝0，则a3＋2a2＋2009＝a（a2＋a）＋a2＋2009＝2010. 

例4. 填空：

（1）若和︱8b－3︱互为相反数，则（）2－27＝__________. 

解析：由二次根式和绝对值的非负性可求出a＝，b＝，进而代入求值即可. 结果为37. 

（2）分解因式：3ax2－3ay2＝__________. 

解析：先提取公因式3a，再利用平方差公式. 3ax2－3ay2＝3a（x＋y）（x－y）. 在进行多项式的因式分解时，要注意以下几点：①如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式；②分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；③因式分解过程的每一步必须都是恒等变形. 

例5. 已知x2－6x+1＝0，求的值. 

解：∵x2－6x＋1＝0，∴x2＋1＝6x，且x≠0，∴x＋＝6. 

∴＝＝＝＝. 

评析：由x2－6x＋1＝0，得x≠0，且x2＋1＝6x，∴x＋＝6，把分式化成含x＋的分式，代入求值. 

例6. 化简求值：－，其中x＝3－1，y＝－2＋1. 

分析：先由x2－y2与x－y找到最简公分母为（x＋y）（x－y），通分作分式减法. 

解：原式＝－

＝

＝

＝. 

当x＝3－1，y＝－2＋1时，

原式＝＝＝. 

评析：最后结果中如果分母含有被开方数，要用公式＝＝将分母化为有理数（式）. 

【方法总结】

复习时要加强对基本概念的理解，如整式、同类项等概念. 熟练掌握运算法则，提高计算能力，掌握公式的特征. 有关分式的运算是中考命题的重点，在二次根式化简中要注意分类讨论的思想. 

【预习导学案】

（复习三：方程和不等式）

一、预习前知

1. 我们学习过三种类型的方程，它们是__________、__________、__________. 

2. 说一说等式、不等式的基本性质. 

二、预习导学

1. 解一元一次方程的一般步骤是：①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________. 

2. 一元二次方程的一般形式是__________. 

3. 一元二次方程的四种解法是：__________. 

4. 如何确定不等式组的解集？

反思：（1）等式、不等式、方程、代数式有何区别？

（2）比较一元一次不等式和一元一次方程解法的相同点与不同点. 

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

一、选择题

1. 下列运算正确的是（   ）

A. a2＋a3＝a5    B. a2·a3＝a5    C. （a3）2＝a5    D. a10÷a2＝a6

2. 化简（－3x2）·2x3的结果是（   ）

A. －6x5    B. －3x5    C. 2x5    D. 6x5

3. 如图所示，阴影部分的面积是（   ）

A. xy    B. xy    C. 6xy    D. 3xy

4. 下列因式分解中，结果正确的是（   ）

A. x2－4＝（x＋2）（x－2）    B. 1－（x＋2）2＝（x＋1）（x＋3）

C. 2m2n－8n3＝2n（m2－4n2）    D. x2－x＋＝x2（1－＋）

5. 二次根式的值是（   ）

A. －3    B. 3或－3    C. 3    D. 9

6. 下列说法中，正确的是（   ）

A. 如果＝，那么＝    B.的算术平方根等于3

C. 当x＜1时，有意义    D. 方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－1，x2＝2

*7. 下列运算中正确的是（   ）

A. x5＋x5＝2x10        B. －（－x）3·（－x）5＝－x8

C. （－2x2y）3·4x－3＝－24x3y3    D. （x－3y）·（－x＋3y）＝x2－9y2

*8. 已知两个分式：A＝，B＝＋，其中x≠±2，则A与B的关系是（   ）

A. 相等    B. 互为倒数    C. 互为相反数    D. A大于B

**9. 现规定一种运算：a⊕b＝ab＋a－b，其中a、b为实数，则a⊕b＋（b－a）⊕b等于（   ）

A. a2－b    B. b2－b    C. b2    D. b2－a

**10. 若x2－x－2＝0，则的值等于（   ）

A.     B.    C.    D.或

二、填空题

1. 分解因式：x3－4x2＋4x＝__________. 

2. 计算（a2b）2÷a＝__________. 

3. 计算（3a）2·a5＝__________. 

4. 若分式的值为0，则x的值等于__________. 

*5. 若实数x、y满足＋（y－）2＝0，则xy的值是__________. 

*6. 如图所示是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，则：

（1）a、c的关系是__________；

（2）当a＋b＋c＋d＝32时，a＝__________. 

**7. 若实数x、y满足xy≠0，则m＝＋的最大值是__________. 

**8. 如图所示，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形的边长为1，则第n个正方形的面积是__________. 

三、解答题

1. 化简求值：

（1）（2a＋1）2－2（2a＋1）＋3，其中a＝；

（2）（1－）÷，其中x＝1＋. 

2. 已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求－×的值. 

**3. 某同学作业本上做了这么一道题：“当a＝▓时，试求a＋的值”，其中▓是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理. 

**4. 阅读下面的解题过程，判断是否正确，若正确，在题后的横线上打对勾；若不正确，说出错在哪一步，写出正确的步骤，并写上最后的正确答案. 

已知：a＜0，ab＜0，化简－. 

解：－

＝︱a－b－4︱－︱b－a＋︱

＝（a－b－4）＋（b－a＋）

＝a－b－4＋b－a＋

＝－3. 

【试题答案】

一、选择题

1. B  2. A

3. A【图中阴影部分的面积为2y·3x－0.5x·（2y－y）＝6xy－xy＝xy】

4. A  5. C

6. A【选项A中＝可化为＋1＝＋1，即＝；的算术平方根等于；当x≥1时，才有意义；方程x2＋x－2＝0的根为1或－2，故选A】

7. B【x5＋x5＝2x5；（－2x2y）3·4x－3＝－32x3y3；（ x－3y）·（－x＋3y）＝－（x－3y）2＝－x2＋3xy－9y2，B正确】

8. C【B＝＋＝，所以A＋B＝＋＝0，所以A与B互为相反数】

9. B【a⊕b＋（b－a）⊕b＝ab＋a－b＋（b－a）×b＋（b－a）－b＝ab＋a－b＋b2－ab＋b－a－b＝b2－b】

10. A【由x2－x－2＝0得x2－x＝2，∴＝＝＝】

二、填空题

1. x（x－2）2  2. a3b2  3. 9a7

4. 2【由题意得x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1. 当x＝－1时x2＋2x＋1＝0，不符合题意舍去. 】

5. －2【由题意知x＋2＝0，y－＝0，即x＝－2，y＝，∴xy＝－2】

6.（1）c＝a＋5（2）5【（1）从表中可以看出这四个数之间的关系是b＝a＋1，c＝a＋5，d＝a＋6，所以a、c的关系是c＝a＋5（2）当a＋b＋c＋d＝32时，即a＋（a＋1）＋（a＋5）＋（a＋6）＝32，解得a＝5】

7. 2【∵xy≠0，∴x≠0，y≠0. 当x＞0，y＞0时，m＝2；当x＞0，y<0或x<0，y＞0时，m＝0；当x<0，y<0时，m＝－2，故m的最大值为2. 】

8. （）n－1【由题意知，第一个正方形的面积为1，第二个正方形的面积为，第三个正方形的面积为，第四个正方形的面积为，…，所以第n个正方形的面积为（）n－1】

三、解答题

1. （1）原式＝4a2＋4a＋1－4a－2＋3＝4a2＋2，当a＝时，4a2＋2＝4×（）2＋2＝10；或把2a＋1看成一个整体，原式＝[（2a＋1）－1]2＋2＝4a2＋2. （2）原式＝·＝，当x＝1＋时，原式＝. 

2.－×＝－×＝－＝，由a2＋2a－8＝0得a2＋2a＋1＝9，即（a＋1）2＝9，所以原式＝. 

3. a＋＝a＋︱a－1︱. 当a＞1时，原式＝2a－1；当a≤1时，原式＝1. 假设该同学的答案是正确的，a只能取大于1的数，且2a－1＝，解得a＝＜1，矛盾. 所以该同学的答案是错误的，无论a取何值，最后结果都不可能为. 

4. 不正确，错在第二步. ∵a＜0，ab＜0，∴b＞0. ∴第二步应为：（－a＋b＋4）－（b－a＋）＝3.