2013年广东高考文科数学试题及答案(word)版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

参考公式：锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则

   A．     B．      C．      D． 

2．函数的定义域是

A．  B． C．  D． 

3．若，，则复数的模是

   A．2       B．3     C．4       D．5

4．已知，那么

A．      B．        C．          D． 

5．执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的值是

   A．1          B．2           C．4            D．7

6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是

   A．          B．           C．           D． 

7．垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是

   A．      B．       C．        D． 

8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若，，则                   B．若，，则

C．若，，则                  D．若，，则

9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是

A．       B．     C．       D． 

10．设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：

①给定向量，总存在向量，使；

②给定向量和，总存在实数和，使；

③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；

④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；

上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A．1    B．2    C．3    D．4

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． 

（一）必做题（11～13题）

11．设数列是首项为，公比为的等比数列，则        ．

12．若曲线在点处的切线平行于轴，则            ．

13．已知变量满足约束条件，则的最大值是            ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为            ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，，

，，垂足为，则       ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数．

(1) 求的值；

(2) 若，求．

17．（本小题满分13分）

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果抽取4个，其中重量在的有几个？

(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．

18．（本小题满分13分）

如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．

(1) 证明： //平面；

(2) 证明： 平面；

(3) 当时，求三棱锥的体积．

19．（本小题满分14分）

设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．

(1) 证明：；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数，有．

20．（本小题满分14分）

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

21．（本小题满分14分）

设函数．

(1) 当时,求函数的单调区间；

(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．

2013年广东高考文科数学A卷参

一、选择题

11. 15   12.     13.5     14.（为参数）    15. 

三、解答题

16. 解：(1) 

（2），，

．

17. 解：1）苹果的重量在的频率为；

（2）重量在的有个；

（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：

（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.

18. 解：（1）在等边三角形中， 

,在折叠后的三棱锥中也成立，

,平面，

平面，平面；

（2）在等边三角形中，是的中点，所以，.

在三棱锥中，， 

；

（3）由（1）可知，结合（2）可得.

19. 解：（1）当时，， 

（2）当时，， 

,

当时，是公差的等差数列.

构成等比数列，，，解得,

由（1）可知， 

是首项,公差的等差数列.

数列的通项公式为.

（3）

20. 解：（1）依题意，解得（负根舍去）

抛物线的方程为；

（2）设点,，，

由,即得.  

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即. 

∵， ∴.

∵点在切线上,   ∴.        ①

同理，.  ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程. 

∵经过两点的直线是唯一的，

∴直线的方程为，即；

（3）由抛物线的定义可知，

所以

联立，消去得，

当时，取得最小值为 

21. 解： 

(1)当时 

,在上单调递增.

（2）当时，，其开口向上，对称轴，且过 

（i）当，即时，，在上单调递增，

从而当时， 取得最小值,

当时， 取得最大值.

（ii）当，即时，令

解得：,注意到,

(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)

的最小值,

的最大值

综上所述，当时，的最小值,最大值

解法2（2）当时，对，都有，故

故，而， 

所以，