3.2.2直线的两点式方程教案

(一)教学目标

1．知识与技能

（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2．过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.

3．情态与价值观

（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看问题。

（二）教学重点、难点：

1．重点：直线方程两点式。

2．难点：两点式推导过程的理解。

（三）教学设想

教学环节教学内容师生互动设计意图

提出问题引入课题得出概念

1．利用点斜式解答如下问

题：

（1）已知直线l经过两点

P1 (1，2)，P2 (3，5)，求直线l

的方程.

（2）已知两点P1 (x1，x2)，

P2 (x1，x2)其中(x1≠x2，y1≠y2).

求通过这两点的直线方程.

教师引导学生：根据已有的知

识，要求直线方程，应知道什么条

件？能不能把问题转化已经解决的

问题？在此基础上，学生根据已知两

点的坐标，先判断是否存在斜率，然

后求出直线的斜率，从而可求出直线

方程：

（1）y– 2 =

3

2

(x–1)

（2）y–y1 =21

1

21

()

y y

x x

x x

-

-

-

教师指出：当y1≠y2时，方程可

写成

11

2121

y y x x

y y x x

--

=

--

1212

(,)

x x y y

≠≠

由于这个直线方程由两点确定，

所以我们把它叫直线的两点式方程，

简称两点式（two-point form）.

遵循由

浅及深，由特

殊到一般的

认知规律。使

学生在已有

的知识基础

上获得新结

论，达到温故

知新的目的。

概念深入

2．若点P1 (x1，x2)，P2 (x2，

y2)中有x1 = x2，或y1 = y2，此

时这两点的直线方程是什么？

教师引导学生通过画图、观察和

分析，发现x1 = x2时，直线与x轴垂

直，所以直线方程为：x = x1；当y1 =

y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：

y = y1.

使学生

懂得两点式

的适用范围

和当已知的

两点不满足

两点式的条

件时它的方程形式.

应用举例

3、例3

已知直线l与x轴的交点

为A(a,0)，与y轴的交点为B

(0,b)，其中a≠0，b≠0.

求直线l的方程.

教师引导学生分析题目中所给

的条件有什么特点？可以用多少方

法来求直线l的方程？那种方法更为

简捷？然后求出直线方程：1

y

x

a b

+=

教师指出：a, b的几何意义和截

距方程的概念.

使学生

学会用两点

式求直线方

程；理解截距

式源于两点

式，是两点式

的特殊情形.

4、例4

已知三角形的三个顶点

A(–5,0 ),B (3, –3),C (0,2)，求BC

边所在直线的方程，以及该边

上中线所在直线的方程.

教师给出中点坐标公式，学生根

据自己的理解，选择适当方法求出边

BC所在的直线方程和该边上中线所

在直线方程.在此基础上，学生交流各

自的作法，并进行比较.

例4 解析：

如图，过B(3，–3)，C(0，2)的两

点式方程为

20

3230

y x

--

=

---

整理得5x + 3y– 6 = 0.

这就是BC所在直线的方程.

BC边上的中线是顶点A与BC

边中点M所连线段，由中点坐标公式

可得点M的坐标为

(

3032

,

22

+-+

)，

即(

31

,

22

-).

过A(–5，0)，M(

31

,

22

-)的直线的

方程为

05

13

05

22

y x

-+

=

--+

，

整理得

1135

222

x y

++=，

即x + 13y + 5 = 0.

这就是BC边上中线所在直线方

程.

让学生

学会根据题

目中所给的

条件，选择恰

当的直线方

程解决问题.

5、课堂练习

第102页第1、2、3题

学生完成，教师检查、反馈.

归纳总结 6、小结

教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解. 课后作业

布置作业

见习案3.2的第二课时.

学生课后完成

巩固深化，培养学生的解决问题的能力.

备选例题

例1 求经过点A (–3，4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程.

【解析】当直线l 在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为1y

x a a

+=-.

将A (–3，4)代入上式，有

341a a

-+=-， 解得a = –7. ∴所求直线方程为x – y + 7 = 0.

当直线l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y = kx .将A (

–3，4)代入方程得4 = –3k ，

即k = 4

3

-.

∴所求直线的方程为4

3

y =-x ，即4x + 3y = 0.故所求直线l 的方程为x – y + 7 = 0或4x +

3y = 0.

【评析】此题运用了直线方程的截距式，在用截距时，必须注意适用条件：a 、b 存在且都不为零，否则容易漏解.

例2 如图，某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费y （元）与行李重量x (kg)的关系用直线AB 的方程表示，试求：

（1）直线AB 的方程；

（2）旅客最多可免费携带多少行李？

【解析】（1）由图知，A (60，6)，B (80，10)代入两点式可得AB 方程为x – 5y – 30 =0

（2）由题意令y = 0，得x = 30 即旅客最多可免费携带30kg 行李.