21建筑力学

剪力       切应力

弯矩       正应力

本章主要研究等截面直梁产生平面弯曲时的应力计算以及相应的强度计算。

第一节 梁的正应力及正应力强度计算

一、纯弯曲时梁横截面上的正应力

梁段各横截面上只有弯矩而没有剪力，这种情况称为纯弯曲。

梁段各横截面上既有剪力又有弯矩，称为横力弯曲。

推导梁纯弯曲时正应力公式要从几何变形、物理关系、静力学关系三方面考虑。

1.  几何变形方面

三点现象

两个假设

上式说明：各纤维的纵向线应变与它到中性层的距离成正比。距中性层最远的上下边缘处的线应变最大，而中性层上线应变为零。

2. 物理关系方面

由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应力为

弯曲正应力沿截面高度成线性分布。中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大。

3. 静力学关系方面

纯弯曲的梁，横截面上并没有沿着梁轴线方向的轴力（即轴力等于零）。

在横截面上只有一个内力，即弯矩。

即                     

由于E/ρ≠0且为一常数，所以一定有

为截面对z轴的静矩，所以上式表明截面对中性轴的静矩等于零。该轴必通过图形的形心。因此，中性轴z一定通过横截面的形心。

得

即             

而就是截面对中性轴（z轴）的惯性矩Iz ，所以

得

   这就是梁在纯弯曲时横截面上正应力的计算公式。

用上式计算正应力时， M、y以绝对值代入，正应力的正负号由弯矩M的正负号及点的位置来判断。

正应力公式的适用条件：

(1) 梁产生纯弯曲。

(2) 正应力不超过材料的比例极限。

(3) 正应力公式是由矩形截面梁推导出的，也适用于其他有纵向对称轴的横截面梁。

二、横力弯曲时梁横截面上的正应力

梁跨度与横截面高度之比大于5时，可以忽略切应力对正应力的影响，采用上式计算梁的正应力。

事实上，工程中常见梁的值一般都大于5。

例12-1

三、梁的正应力强度计算

1. 梁的最大正应力

令，则

上式中Wz称为抗弯截面系数，它是一个与截面的形状和尺寸有关的量。常用单位是、mm3。

对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从 “附录”型钢表中查出。

例12-2

2. 梁的正应力强度条件

为了保证梁能正常工作，满足强度要求，必须使梁在荷载作用下产生的最大正应力不超过材料的弯曲许用应力[]。

对于抗拉和抗压能力相同的材料，其正应力强度条件为：

对于抗拉和抗压能力不同的材料，其正应力强度条件为：

3. 梁的正应力强度在工程中的应用

在实际工程中，根据梁的正应力强度条件可解决有关强度方面的三类问题。

(1) 强度校核

(2) 设计截面

(3) 确定许用荷载

例12——3 4 5 6 7   

作  业：

简要复习上节内容

1. 梁在纯弯曲时横截面上正应力的计算公式

2. 梁的最大正应力

3. 梁的正应力强度条件

三类问题：强度校核、设计截面、确定许用荷载

第二节 梁的切应力及切应力强度计算

一、梁横截面上的切应力

剪力引起切应力。

1. 矩形截面梁

FQ —— 需求切应力处横截面上的剪力；

I z  —— 横截面对中性轴的惯性矩；

—— 横截面上所求切应力处平行于中性轴的线以上（或以下）部分的面积对中性轴的静矩；

b —— 横截面的宽度。

切应力的分布规律

1) 方向与剪力同向平行。

2) 沿截面宽度均匀分布。

3) 切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上的最大值，其值为

例12-8  

2. 工字形截面梁

工字形截面由腹板和翼缘组成。中间的矩形部分称为腹板，其高度远大于宽度；上下两矩形称为翼缘，其高度远小于宽度。

式中， FQ——需求切应力处横截面上的剪力。

Iz——工字形截面对中性轴的惯性矩。

——横截面上需求切应力处，平行于中性轴的线以上或以下部分面积对中性轴的静矩。

b1——腹板宽度。

腹板部分的切应力沿腹板高度也按二次抛物线规律分布(图12-18b)，在中性轴上切应力取得最大值，其值为

式中——中性轴以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩，亦称半静矩。

可以直接从型钢表中查出。

经计算表明：工字形截面上95%—97%的剪力分布在腹板上，腹板上的最大切应力和最小切应力（最小切应力发生在腹板和翼缘交界处）相差不大。所以，一般近似认为腹板上的切应力均匀分布，可用下列近似公式计算工字形截面梁的最大切应力，即

式中， h1——腹板的高度。

b1——腹板的宽度。

翼缘上的切应力比腹板上的切应力小得多，一般不予以考虑。

3. 圆形及薄壁圆环形截面梁的最大切应力

圆  形：          

圆环形：             

例12-9  

二、切应力强度计算

1.  切应力强度条件

梁的切应力强度条件表达式为：

2. 梁的切应力强度条件在工程中的应用

三类问题：强度校核、设计截面、计算许用荷载。

在一般情况下，正应力对梁的强度起着决定性作用。所以在实际计算时，通常是以梁的正应力强度条件做各种计算，以切应力强度条件进行校核即可。

以下几种情况下，对梁进行强度计算时，必须作切应力强度校核。

(1) 梁的最大剪力很大，而最大弯矩较小时。比如：梁的跨度较小而荷载很大，或在支座附近有较大的集中力作用等情况。

(2) 梁为组合截面钢梁时。如：工字形截面，当其腹板的宽度与梁的高度之比小于型钢截面的相应比值时，梁应进行切应力强度校核。

(3)木  梁

例12-10

例12-1

上一节我们讨论了梁的正应力及正应力强度计算，这节又讨论了梁的切应力及切应力强度计算，而在正应力取最大值的位置处（截面上距中性轴最远的点处）切应力恰好等于零，在切应力取最大值的位置处（中性轴上各点处）正应力恰好等于零。所以这两节我们并没有考虑正应力和切应力同时都较大的位置处梁的强度问题，这个问题将在本书第十四章中加以讨论。

作  业：12—

第三节 提高梁弯曲强度的措施

尽量做到梁能安全使用的情况下充分发挥材料的潜力，节约材料，减轻自重，达到既经济实用又安全可靠的目的。

由梁的正应力强度条件可知：

降低梁在荷载作用下的最大弯矩、提高梁的抗弯截面系数都能降低梁的最大正应力。

一、降低梁在荷载作用下的最大弯矩

1. 合理设置梁支座的位置和形式，加强约束，减小跨度

2. 合理布置梁上荷载，使荷载尽量分散

梁上作用荷载的总数值不变，只是荷载作用位置或方式改变时，也会使梁产生不同的最大弯矩值。

在使用条件可能的条件下，要尽量使荷载分散，选用轻质材料，减轻自重，降低最大弯矩。

二、合理选择截面

1. 合理的截面形状应该是在横截面面积A相等的条件下，比值Wz/A尽量大些。

在横截面的面积A相等的情况下，比值Wz/A从大到小的截面依次是：工字形、矩形、正方形、圆形；

其次，空心截面的Wz/A总是大于实心截面的Wz/A。

再次，立放的矩形截面Wz/A值比平放的矩形截面Wy/A值大。

综上分析，我们从强度观点出发，在选择截面时应尽量选材料远离中性轴的截面；如空心截面，工字形截面，并在使用时注意将截面立放。

在实际工程中，选择截面时，除了考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使用合理等因素后才能正确选择梁的截面形状。

2. 根据材料的性质选择合理截面

从正应力强度条件可知：对于抗拉、抗压强度相等的塑性材料，最好选择上、下边缘对中性轴对称的截面。

对于抗拉、抗压强度不相等的材料，选择T形、十字形、L形等，使中性轴偏向于强度低的一侧。最理想的截面是截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压许用应力成正比。

3.  采用变截面梁

最大弯矩来确定等截面梁的横截面尺寸。

从强度观点来看，等截面梁并不是理想的梁。

最理想的变截面梁应该是：梁的每一个横截面上的最大正应力都恰好等于梁所用材料的弯曲许用应力，这种变截面梁称为等强度梁。

从强度的观点来看，等强度梁最经济，能充分发挥材料的潜能，是一种非常理想的梁。但是从实际应用情况分析，这种梁的制作比较复杂，给施工带来好多困难，因此综合考虑强度和施工两种因素，它并不是最经济合理的梁。在建筑工程中，通常是采用形状比较简单又便于加工制作的各种变截面梁，而不采用等强度梁。

特别指出：本节我们只是从强度的观点出发讨论出了能提高梁弯曲强度的措施，这些措施并不是对任一根梁都适用的。实际设计时，必须根据具体问题进行具体分析，全面考虑各种因素（如：使用条件、材料特点、施工情况、稳定性等）后合理设计梁的类型及截面、布置作用在梁上的荷载、选择材料等。

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