第十四章 分式专题复习(学生版)

一．知识网络结构

二．知识要点剖析

知识点一.分式的概念：表示成的形式 ( A、B为整式,且除式B中含有________)．

知识点二.分式意义的条件

(1)若分式有意义,则B__0；(2)若分式无意义,则B__0；(3)若分式=0, 则A__0且B__0；

(4)分式为正数, 则 或

(5)分式为负数, 则 或

(6)分式为-1, 则解方程____________

知识点三.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个_______的整式，分式的值

_________。 即: =        =       （m≠0）

 ，

知识点四.约分与通分

1．约分：把一个分式的分子和分母的________约去，这种变形称为分式的约分．

通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为____________的分式，称为分式的通分．

2. 分式的符号法则：==__________  ； 

知识点五.分式的运算：

1.分式的运算法则：（1）加减法法则：1）同分母的分式相加减，分母_____，把分子_______；（2）异分母的分式相加减，先____，化为______的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．即:

 ； 

(2)乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的_____，把分母相乘的积作为积的_____；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．即：

； 

(3)乘方法则：(  (n为正整数)； (4)开方法则：(a)

（5）零指数： =_____ （）；负整数指数： =（，p为正整数） 

2.分式的混合运算顺序：先算______，再算_____，最后算______，有括号先算括号里面的．

注意：通分的关键是确定_______，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．

（2）进行分式运算时，要掌握通分、约分的方法，灵活运用分式的基本性质，注意分子、分母是多项

式时，要_____________和注意符号的变换，同时掌握运算顺序，结果要化为_____分式或______。

知识点六.分式的化简与求值

分式化简：对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．

分式化简的技巧：(1)代入法（整体代入法）；(2)设比例系数法；(3)倒数法；因式分解法；(4)配方法；(5)拆项法；

知识点七.分式方程

（1）定义：分母中含有_________的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：去分母法，方程两边都乘以___________。特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入_________，使最简公分母_____的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的________，必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

三.考点典型例析

考点1. 分式的概念

1.在代数式中，分式共有(      )．

A.2个      B.3个     C.4个     D.5个

2.已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=1时无意义”，请写出一个这样的分式：_______．

3..当x=_____时,式子不是分式.

4.下列分式中，属于最简分式的是（       ）

A．       B．        C．    D． 

考点2.分式意义的条件

1.（1）（2013南京）使式子1  有意义的x的取值范围是      。

（2）使分式有意义的x的值为（      ）

A．x≠1      B．x≠2       C．x≠1 且 x≠2      D．x≠1或 x≠2

2.（2011杭州）已知分式，当x＝2时，分式无意义，则a＝        ，

当a<6时，使分式无意义的x的值共有         个.

3.（1）若分式的值为零，那么x的值为（      ）

A．x=1或x=﹣1      B．x=1      C．x=﹣1       D．x=0

（2）分式的值为零，则x的值为（     ）

A. 3      B. ﹣3      C. ±3       D. 任意实数

4.若分式的值为正，则实数的取值范围是____________.

5.若分式的值为负数，则x为________.

6.当分式的值为正整数时，整数的取值可能有（   ）A．个 B．个  C．个 D．个

7.(1)若x=1时,分式=0，则a，b应满足________.

(2)当x=1时,分式的值为0；当x=3时,分式无意义，则a+b的值为_______.

8.当x_____时,若=-.

9.若分式无论x取何值都有意义，则m的取值范围是____．

考点3.分式的基本性质

1.如果把中的和都扩大5倍，那么分式的值（    ） 

A．扩大5倍       B．不变       C．缩小5倍        D．扩大4倍

2.如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值(      )

A．不变       B．扩大3倍        C．缩小3倍        D．扩大9倍 

3.下列各式中，正确的是 （     ）

 A．     B．    C．＝      D．

4.（2018北京）下列各式从左到右的变形正确的是（    ）

   A．= －1         B．=         C．=   D．=

5.分式变形中的整式A =      ，变形的依据是         ．

6.①       ②。

考点4.整数指数幂的运算

1．计算：2·2＝(      )  A．－       B.        C．0       D．8

2．(齐齐哈尔中考)某种电子元件的面积大约为0.000 000 69平方毫米，将0.000 000 69这个数用科学记数法表示为_________．

3.化简：(2m2n－3)3÷(－mn－2)－2＝_________________(结果只含有正整数指数幂)．

4.（2011湖北荆州）若等式成立，则的取值范围是　　  ______.

考点5.分式的混合运算(或化简）

1.（2017广州）计算（a2b）3• 的结果是（   ）

A. a5b5    B. a4b5   C. ab5   D. a5b6

2.下列各式计算错误的是(     )

A.·＝－     B.÷＝     C.÷(a2－ab)＝   D．(－a)3÷＝b

3.（2017河北）若 =____+ ，则横线上的数是（   ）

A. ﹣1    B. ﹣2    C. ﹣3   D. 任意实数

4.（2015百色）化简-的结果为（　　）

A．      B．      C．      D．

5.如图，设k＝(a＞b＞0)，则有(     )

A．k＞2      B．1＜k＜2     C.＜k＜1     D．0＜k＜

6.若（+）W=1，则w=（    ）

A.a+2（a-2）     B.-a+2（a2）       C.a-2（a2）      D.-a-2（a-2）

7.若分式 □ 运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（   ）

A.+    B.﹣   C.+或×   D.﹣或÷

8.已知：= ，则A=__________，B=_________．  

9.化简：

（1）(a＋2－)·；     （2）÷(x＋1－)；   （3）(＋1)÷·.  

10.（2018北京西城区）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：

老师发现这两位同学的解答都有错误．

请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．

（1）我选择________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）

        该同学的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是____________________

________________________________________________________________________；

（2）请重新写出完成此题的正确解答过程．

考点6.分式的化简与求值

1.若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（　 　）A．﹣5     B．﹣  C．   D．    5

2.若==,则的值为______________.

3.若++=5, ++=7,则++=____.

4．已知，则代数式的值为________.

5若x+=3，则x2+=_______；若，则.

6.若x+=3，则=__________。

7.已知x2+y2-6x-8y+25=0，分式的值为_______.

8.若x2－12y2＝xy，且xy＞0，则分式的值为______．

9.（2017眉山）已知 m+  n=n﹣m﹣2，则﹣的值等于（   ）

A. 1  B. 0  C. ﹣1            D. ﹣

10.（2011南通）设m＞n＞0，m2＋n2＝4mn，则的值为(    )

A.2            B.             C.             D. 3

11.先化简，再求值：÷(x＋2－)，其中x＝3＋.

12．先化简，再求值：(1－)÷－，其中x满足x2－x－1＝0.

13．化简并求值：(＋)÷，其中x、y满足|x－2|＋(2x－y－3)2＝0.

14.化简求值：÷(－a－2b)－，其中a，b满足

15.化简：－÷，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．

16.先化简，再求值：(－1)÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．

17.从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a＝6，b＝3时该分式的值．

18.化简式子1－÷，并求出当x为何值时，该代数式的值为2.

考点7.分式方程

1．(东营中考)若分式方程＝a无解，则a的值为________．

2.（2013威海）若关于x的方程无解，则m=　　．

3.若方程－ =1有增根，则它的增根是（   ）            

A.0     B.1    C.﹣1     D.1和﹣1

4.（2013牡丹江）若关于x的分式方程的解为正数，则字母a的取值范围是__________.

5.解分式方程：

(1)(宿迁中考)＝－3；         (2)(聊城中考)＋＝－1；

考点8.分式方程（或分式）与实际应用

1.（分式问题）某饲养场为保障出品的肉猪不含任何激素，打算从源头——饲料抓起，于是派采购员去外地购买卫生饲料(不含激素)．现有甲、乙两位采购员两次去同一家饲料公司购买卫生饲料，两次卫生饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式不同，其中，甲每次购买1 000 kg，乙每次购买800元，设两次购买的卫生饲料的单价分别是x元/kg和y元/kg(x，y是正数，且x≠y)，那么甲、乙两人谁的购货方式更实惠？

2.（工程问题）工程问题一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．

(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

3.（销售问题）超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的3倍．

（1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？

（2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在这两次苹果销售获利多少元？

4.(行程问题)甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．

(1)求乙骑自行车的速度．(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？

5.(几何问题)（2017镇江）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．

（1）点Q的速度为________cm/s（用含x的代数式表示）．

（2）求点P原来的速度．

考点9分式的规律题

1.观察下面一列有规律的数：，，，，，，…可知第n个数应是：__________(n为正整数)．

2.已知若（a、b都是整数），则a+b的最小值是　　．

3. (2018成都)已知，，，，，，…(即当为大于1的奇数时，;当为大于1的偶数时，)，按此规律，             .(试用含的代数式表示)

4.若有理数a．b满足|a﹣1|+|ab﹣3|=0，试求 +  +  + …+ 的值．

 5.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

＝1－，＝－，＝－，….

(1)计算：＋＋＋＋＝____；

(2)探究：＋＋＋…＋＝____；(用含n的式子表示)

(3)若＋＋＋…＋的值为，求n的值．

6.(2018安徽)观察以下等式:

第1个等式: ；     第2个等式: ；

第3个等式: ；    第4个等式: ；

第5个等式:;……

按照以上规律，解决下面的问题:

(1)写出第6个等式:        ;(2)写出你猜想的第个等式:        (用含的等式表示)，并证明.

7.对于正数，规定.例如,,则

       .

8.有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

则第n次运算的结果yn=___________________（用含字母x和n的代数式表示）．

考点10.新定义题

1.(2013枣庄）对于非零实数，规定，若，则的值为（    ）

A.　    　B.　      C.　   　D.

2.已知关于x的方程x+ =a+ 的解是x1=a，x2= ，应用此结论可以得到方程x+ =[x]+ 的非整数解为________（[x]表示不大于x的最大整数）．   

3.若一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，则我们称这个分式为“和谐分式”．（

（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　   　 （填写序号即可）；

（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；

（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东：＝＝

小强：＝＝

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　   　，

请你接着小强的方法完成化简．

考点11.阅读理解题

1.请你先化简式子(－)÷，再取一组你喜爱的a，b的值代入求值．

学生甲和学生乙均先对分式计算，再选值代入：

原式＝÷＝·＝ab.

学生甲：当a＝1，b＝－1时，原式＝ab＝－1； 学生乙：当a＝－1，b＝－1时，原式＝ab＝1.

两人却都错了，这是为什么呢？

2.（2018北京朝阳）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．

一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．

将假分式化为一个整式与一个真分式的和；(2)若分式的值为整数，求的整数值．

3.阅读下面的解题过程：已知，求代数式的值．

解：由，取倒数得，＝4，即2y2+3y＝1．

所以4y2+6y﹣1＝2（2y2+3y）﹣1＝2×1﹣1＝1，则可得＝1．

该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：

已知，求的值．

4.问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；若M﹣N＜0，则M＜N．

问题解决

如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab．∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2．

∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0．∴M﹣N＞0．∴M＞N．

类比应用

（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．

（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．

联系拓广

小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

考点12.创新题

1.老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．

接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　）

A.甲      B．乙       C．丙       D．丁

2.（2015安徽）已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：

①若c≠0，则+=1；   ②若a＝3，则b＋c＝9；

③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8．

其中正确的是______________（把所有正确结论的序号都选上）．

3.某开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.小亮设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：+=1，则方案③中被墨水污染的部分应该是（   ）

A.甲先做了4天                   B.甲乙合作了4天    

C.甲先做了工程的               D.甲乙合作了工程的

4.有这样一道题，计算，其中x＝2080．某同学把x＝2080错抄成x＝2008，但他的计算结果是正确的．你能解释其中的原因吗?

5.（2017达州）设A=  ÷（a﹣）．

（1）化简A；

（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…  解关于x的不等式：﹣ ≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上表示出来．