高二数学极坐标试题答案及解析

1. 在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数，）。

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；

（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

解题思路：（1）利用极坐标方程、参数方程、普通方程的互化公式将曲线方程化成普通方程即可：（2）利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，结合数形结合思想求值.

规律总结：涉及直线与曲线的极坐标方程、参数方程的问题，要注意先将极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化，再利用有关知识进行求解.

试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为,

∴曲线的直角坐标方程为．    

（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为,为半圆弧，

如下图所示，曲线为一族平行于直线的直线，     

当直线过点时，利用得，

舍去，则，

当直线过点、两点时，，   

∴由图可知，当时，

曲线与曲线有两个公共点.

【考点】1.直线的极坐标方程；2.圆的参数方程；3.直线与圆的位置关系.

2. 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　) 

【解析】圆的方程可化为,垂直与x轴的两直线方程为与,极坐标方程为与,答案为B.

【考点】极坐标与直角坐标的转化

3. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为: （为参数），两曲线相交于两点. 求：（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若求的值.

【答案】(1),x-y-2="0;" (2)

【解析】(1) 由得,曲线C的直角坐标方程为,由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2="0;(2)" 将代入得,设M,N对应的参数分别为,则所以

试题解析：(1)由得,曲线C的直角坐标方程为,

由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2=0

(2)将代入得,

设M,N对应的参数分别为,则

所以.

【考点】1.极坐标与直角坐标的互化;2.参数方程与普通方程的互化;3.参数的几何意义

4. 已知某圆的极坐标方程是，求：

（1）求圆的普通方程和一个参数方程；

（2）圆上所有点中的最大值和最小值.

【答案】（1）即圆的普通方程为：。 参数方程为:    (为参数) ；（2）最大值为：9，最小值为：1.

【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，注意这里处理要注意用换元法（不同于一般三角函数处理方法，即转化为的形式），得到三角函数与二次函数的复合函数.

试题解析：

由圆上一点与极径，极角间的关系：，

,

即圆的普通方程为：。                               2分

可得圆心坐标为 ，半径  

所以其参数方程为:    (为参数) 。                         4分

由圆上一点与圆的参数方程的关系得：

          5分

令,, 则.

所以                                       6分

当时,最小值是1；                                                    8分

当时，最大值是9.                                                     10分

【考点】（1）圆的极坐标方程与圆的参数方程；（2）参数方程求最值应用。

5. 在极坐标中，圆的圆心C到直线的距离为＿＿＿＿

【答案】

【解析】极坐标系与平面直角坐标系的变换公式为，所以极坐标系中的圆的方程可化为，直线方程可化为，所以圆心到直线的距离．

【考点】1．极坐标方程与平面直角坐标方程的转化；2．点到直线的距离公式．

6. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐V标方程为，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点．

（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）求直线OM的极坐标方程．

【答案】（1）点M的极坐标为(2,0)，点N的极坐标为;（2） ，ρ∈R．

【解析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M的直角坐标为(2,0)，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OM极坐标方程即可．

解：（1）由，

得ρcos θ＋ρsin θ＝1，

∴曲线C的直角坐标方程为，

即x＋－2＝0．

当θ＝0时，ρ＝2，∴点M的极坐标为(2,0)；

当时，，∴点N的极坐标为．

（2）由（1）得，点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为，

直线OM的极坐标方程为，ρ∈R．

【考点】1．极坐标和直角坐标的互化；2．曲线的极坐标方程．

7. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.

（1）判断点与直线l的位置关系，说明理由；

（2）设直线与曲线C的两个交点为A、B，求的值.

【答案】（1）点在直线上；（2）8.

【解析】（1）根据极坐标方程求出l的直角坐标系方程，将点P代入，即可得到结果；

（2）求出曲线C的直角坐标方程，将直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用韦达定理即可求出结果.

解：（1）直线即

所以直线的直角坐标方程为，故点在直线上．     5分

（2）直线的参数方程为（为参数），

曲线C的直角坐标方程为

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，

有  9分

设两根为，   12分  .

【考点】1.参数方程；2.简单曲线的极坐标方程.

8. 平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于、两点，求．

【答案】（1）

（2）

【解析】.解：（Ⅰ）消去参数得直线的直角坐标方程：

由代入得 .

（ 也可以是：或）

（Ⅱ） 得

设，，则

（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）

【考点】直线与圆的极坐标方程

点评：主要是考查了极坐标方程的运用，属于基础题。

9. 在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是              ．

【答案】

【解析】点化为，圆化为，求得切线为

，其极坐标方程是。

【考点】极坐标方程

点评：要解决关于极坐标方程的问题，需先将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后再解决。

10. 已知某圆的极坐标方程为（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点在该圆上，求的最大值和最小值．

【答案】（Ⅰ） （为参数）；

（Ⅱ）最大值为6，最小值为2。

【解析】（Ⅰ）；         3分

 （为参数）         5分

（Ⅱ）因为，所以其最大值为6，最小值为2         10分

【考点】简单曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程的应用，三角函数的值域。

点评：简单题，本题具有一定综合性，但思路比较清晰，难度不大。利用曲线的参数方程，将问题转化成三角函数问题求解，是参数方程的常见应用问题。

11. 极坐标方程（—1）（）=0（0）表示的图形是       （   ） 

【解析】（—1）（）=0，则或，表示的是以极点为圆心的圆，表示从极点出发的一条射线

【考点】极坐标

点评：极坐标的理解：表示点到极点的距离，表示点与极点的连线与极轴的夹角

12. 若曲线上有n个点到曲线的距离等于，则n=（   ） 

【解析】曲线表示的是圆x²＋y²=8，曲线表示的是直线x－y－2=0。因为圆心（0,0）到这条直线的距离是，圆的半径是，根据图象可知圆上到直线距离等于的点有3个.

【考点】本小题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化和直线与圆的位置关系的应用.

点评：考查直线与圆的位置关系，主要用到圆心到直线的距离与半径之间的关系，要注意数形结合思想的应用.

13. 在极坐标系中，直线的位置关系是         _

【答案】相离

【解析】根据题意，由于极坐标系中，直线可知对应的直角坐标方程为y-x=1, ，那么利用圆心（0，1），圆的半径为1，点到直线的距离公式可知d >1，可知其位置关系为相离。故答案为相离

【考点】简单曲线的极坐标方程

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

14. 直线ρ=与直线l关于 直线θ=(ρ∈R)对称，则l的极坐标方程是    .

【答案】ρ=

【解析】直线θ=是一三象限的角平分线，则所求直线就是原来直线关于y=x的对称直线，即ρ=。

【考点】本题主要考查直线的极坐标方程，直线的对称性。

点评：简单题，确定曲线关于直线y=x的对称曲线方程，即原方程中x，y位置交换。

15. 极点到极坐标方程的距离是（ ） 

【解析】化为，

原点到直线的距离为

【考点】极坐标与直角坐标的互化及点到直线的距离

点评：两坐标的互化：点的直角坐标，极坐标为，则

16. 在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为（  ） 

【解析】，整理为，四个选项依次为

，经验证可知与圆相切，C项正确

【考点】极坐标与直角坐标的转化关系及直线与圆的位置关系

点评：两坐标的互化：点的直角坐标，极坐标为，则

判定直线与圆的位置关系主要是比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小

17. 在极坐标系下，设圆C：，试求：

（1）圆心的直角坐标表示

（2）在直角坐标系中，设曲线C经过变换得到曲线,则曲线的轨迹是什么图形？

【答案】（1）（2）轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在y轴的椭圆

【解析】（1）由圆C：，左右同乘得

则即

所以，圆心的坐标为

（2）由解得，代入圆C的直坐标方程,解得

所以，它的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在y轴的椭圆

【考点】极坐标方程参数方程与普通方程的互化及轨迹方程的求解

点评：两坐标的互化：点的直角坐标，极坐标为，则

判断轨迹先求轨迹方程，相关点法求轨迹方程时转化出已知条件中的点后将其代入原方程化简

18. 极坐标系下，直线 与圆的公共点个数是________.

【答案】1个

【解析】根据题意将极坐标系下，直线化为直角坐标方程得到为x+y-2=0，而对于圆化为直角方程为圆,根据点到直线的距离公式可知，d= ,那么可知直线与圆相切，则只有一个公共点，故答案为1.

【考点】极坐标方程化为直角坐标方程

点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，是解题的关键．

19. 在极坐标系中，过点(-3, -)且平行于极轴的直线的极坐标方程是 

【解析】根据题意，先将极坐标化成直角坐标表示，那么可知 那么(-3, -)对应的 直角坐标点（0，-3）,由于是行于极轴的直线，那么可知y=-3.化为极坐标方程即为，选C.

【考点】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解，属于基础题．

点评：解决该试题的关键是法一：先将极坐标化成直角坐标表示，过(-3, -)且平行于x轴的直线为y=3，再化成极坐标表示．

法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程．

20. 极坐标方程表示的曲线为（   ）

A 一条射线和一个圆        B 两条直线 

C 一条直线和一个圆        D 一个圆

【答案】C

【解析】解：因为极坐标方程，因此表示一个圆和一条直线。选C

21. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 它与曲线C：交于A、B两点。

（1）求|AB|的长

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离。

【答案】 (Ⅰ)． (Ⅱ)．

【解析】本试题主要是考查极坐标系中直线与圆的相交弦的长度问题，以及直线参数方程的灵活运用。

（1）根据直线l的参数方程为 它与曲线C：交于A、B两点。将直线的参数方程代入到圆中，得到关于t的一元二次方程结合t的几何意义得到弦长。

（2）再结合中点坐标，可以利用参数t来表示，得到的值即可得到结论

22. 把曲线的极坐标方程化为曲线的标准方程为   _________     ．

【答案】

【解析】两边同乘p得，∴即

23. 已知点的极坐标是，则过点且垂直极轴的直线方程是 （   ） 

【解析】设直线上的任意一点的极坐标为,则.

24. 点P的直角坐标为(1，-)，则点P的极坐标为(   ) 

【解析】解：点P的直角坐标为(1，-)，所以

25. 在极坐标系中，为极点，已知两点的极坐标分别为，则的面积为       .

【答案】

【解析】略

26. 曲线极坐标方程为，直线参数方程为（为参数）

(1)将化为直角坐标方程

(2)与是否相交？若相交求出弦长，不相交说明理由。

【答案】解：

（Ⅰ）      

的直角坐标方程为————————————4分

（Ⅱ）的直角坐标方程为——————————————6分

表示以（2，0）为圆心，2为半径的圆

 与相交 —————————————— 8分

相交弦长=

与相交,相交弦长为————————————————10分

【解析】略

27. 极坐标系中，与点A（3，－）关于极轴所在直线对称的点的极坐标为（     ） 

【解析】略

28. 在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是     ．

【答案】

【解析】略

29. 在平面直角坐标系中，已知点，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点C的极坐标是______   （其中）．

【答案】

【解析】略

30. （本题满分6分）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为,直线L的直角坐标方程为，且点A在直线L上．

（1）求的值;

（2）圆C的参数方程为,（为参数）,试判断直线L与圆C的位置关系并说明理由．

【答案】（1）；（2）直线与圆相交．

【解析】（1）代入，即求值；（2）先将直线的极坐标方程与圆的参数方程化为普通方程，再利用圆心到直线的距离和半径的大小关系进行判定．

解题思路:涉及直线或曲线的极坐标方程、参数方程问题，往往先转化为直线与曲线的普通方程，再进行求解．

试题解析：（1）由点在直线上,可得 

（2）由（1）得直线的方程可化为 

从而直线的直角坐标方程为 

由已知得圆的直角坐标方程为 

所以圆心为,半径 

因为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 ．

【考点】1．直线的极坐标方程；2．圆的参数方程；3．直线与圆的位置关系．