量纲分析法建模

量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．

  一、量纲齐次原则

    许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可   以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长  度、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母，和．于        是速度v、加速度a的量纲可以按照其定义分别用和表示，力f的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律中的引力常数，由可知其量纲应从力f、距离r和质量m的量纲求出，为··=．通常，一个物理量q的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L，[m]=M，[t]=T，[v]=LT-1，[]=LT-2，[f] =LMT-2，[k]=.

对于无量纲量，我们记[]=1(因为可视为[]=)．

    用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．

    单摆运动  这是一个熟知的物理现象，质量为m的小球系在长度为的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下(g为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动

周期t的表达式．

在这个问题中出现的物理量有t，m，l，g，设它们之间有关系式

其中，，是待定常数，是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即

将[t]=T，[m]=M，[l]=L，[g]=LT-2代入得

按照量纲齐次原则应有

(3)的解为=0， =1/2， =-1/2，代人(1)式得       （4）

(4)式与用力学规律得到的结果是一致的．

为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作

进而假设(5)式形如                                 （6）

其中～是待定常数，是无量纲常数．将t，m，l，g的量纲用基本量纲L，M，T表示为, , ,，则(6)的量纲表达式可写作(注意到)

即                               （7）

（8）

量纲齐次原则给出

此方程组有一个基本解         （9）

代回(6)式得                                        （10）

而(5)式等价于                                      （11）

(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.

把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi定理．

定理  设有m个物理量，

是与量纲单位的选取无关的物理定律*,是基本量纲，n≤m．

的量纲可表为            (13)          

矩阵称量纲矩阵．若A的秩                (14)

设线性齐次方程组(y是m维向量)                          (15)

   的m-r个基本解为       (16)

   则

   为m-r个相互的无量纲量．且

与(12)式等价．F表示一个未定的函数关系．

    [航船的阻力]

    长、吃水深度h的船以速度v航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依赖于船的诸变量，h，v以外，还与水的参数——密度、粘性系数，以及重力加速度g有关．下面用量纲分析方法确定阻力f和这些物理量之间的关系．

    我们按照Pi定理中(12)～(18)式的步骤进行．

1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f，船长l，吃水深度h，速度v，水的密度，水的粘性系数，重力加速度g，要寻求的关系式记作

(19)

2．这是一个力学问题，基本量纲选为L，M，T．上述各物理量的量纲表为

其中的量纲由基本关系得到．其中p是压强(单位面积受的力)，所以;v是流速，x是尺度，所以．

并且有n=33．由(20)立即可写出量纲矩阵

并且计算                                         (22)

     4．解齐次方程                                          (23)

方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为

5．(24)式给出4个相互的无量纲量

而(19)式与

等价，是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系．

  6，为得到阻力f的显示表达式，由(25)及(26)中的式子可写出

其中表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量称Froude数，称Reynold数(雷诺数)，分别记作   (28)

则(27)式又表示为                  (29)

     这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．

    评注  从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．

    1．正确确定各物理量  面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度或粘性系数，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．

    2．合理选取基本量纲  基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L，M，T即可，热学问题加上温度量纲，电学问题加上电量量纲Q．

    3．恰当构造基本解  线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．

    4．结果的效用和局限性  量纲齐次原则和n定理是具有普遍意义的又是相当初    等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法   难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f()=0到用量纲分析方法得到的等价形式F()=0，不仅物理量个数减少了r个，而且原始物理量，组合成了一些有用的无量纲量，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常      出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函       数的自变量和函数值都是无量纲的．

    二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型

    我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．

以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t与摆长l的关系为

若记原型中相应的各个物理量为，，，因为是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g，所以由(30)式立即得到

这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t以后，就可以知道原型摆的周期为=2t．

    可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re的影响． 

以和，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得

注意(32)，(33)两式中的函数是一样的．

当无量纲量

成立时，由(32)、(33)式可得

只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=，(34)的第2式给出

如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即，则由(35)，(36)式可得

于是确定了模型船和原型船的比例，并测得了模型船的阻力f后，就能够确定原型航船的阻力f了．

    三、无量纲化

    我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．

    抛射问题  在星球表面以初速v竖直向上发射火箭*，记星球半径为r，星球表面重力加速度为g，忽略阻力，讨论发射高度x随时间t的变化规律．

设J轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作和，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得

以x=O时=-g代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程

(39)的解可以表示为

即发射高度x是以r，v，g为参数的时间f的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．

    (40)式包含3个参数r，v，g，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间。必定是这3个参数的函数．如果方程(39)变得稍微复杂以致必须用数值法求解时，对不同的参数r，v，g，的数值就要用3维表格给出．用无量纲化的方法可以减少参数的个数，达到简化模型的目的．

以长度和时间量纲L，T为基本量纲，问题中的变量x，t和参数r，v，g的量纲表达式为

所谓无量纲化是指：对于变量x和t分别构造具有相同量纲的参数组合和，使新变量为无量纲量．称特征长度，称特征时间，统称特征尺度(CharacteristicScale)或参考尺度．利用新变量和，表达式(40)可以简化．

特征尺度和，由参数r，v，g构成，并应与x和t有相同的量纲，即[]=L，[]=T．这样的和有多种构造方法，下面举出几种．

1．令=r, =,则,，利用求导数规则可以算出

对的导数以下简记和，方程(39)在新变量(无量纲量)、下的表达式为

(41)的解可表示为

它只含一个参数，不难验证是无量纲量．原方程的解中的3个参数以无量纲组合形式出现在表达式(42)中，简化了原来的结果．

2．令=r, =，类似地计算可将方程(39)化为

解的表达式仍为(42)式(当然和已经变了)．

  3．令=,=，方程(39)化为

解的表达式也是(42)式．

    还可以构造其他形式的特征尺度和，得到其他形式的方程．以上3种构造特征尺度的方法虽然在把方程(39)的解(40)式简化为(42)式这一点上是共同的，但是进一步分析发现，它们之间仍有重要差别．

我们知道，按照今天的技术，在地球表面发射火箭时，初速v将满足

所以必然有．既然如此之小，能不能在方程(41)，(43)，(44)中舍弃以为因子的项，从而得到方程的近似解呢?让我们看看这样做有什么问题．

如果在方程(41)中令=0，则(41)变为

(45)式显然无解．所以不能在方程(41)中舍弃含的项．

如果在方程(43)中令=0，则(43)变为

(46)的解显然满足(t>0)，而原方程(39)的解≥0，所以不能从方程(43)得到原方程的近似解，即不能在(43)中舍弃含的项．

如果在方程(44)中令=0，则(44)变为

(47)的解显然为    

代回原变量x和t，(48)式等价于

不难看出，如果在原抛射问题中假定：火箭发射过程中所受星球引力不变，那么微分方程为

(49)式正是方程(50)的解．而将(50)与原方程(39)对比，因为发射高度x《r，所以(50)是(39)的近似方程．这就说明可以在方程(44)中舍弃含的项，得到近似解．

    第3种构造特征尺度和，的方法之所以能够忽略含的项，成功地得到原问题的近似解的原因，在于和选得合适．从物理学容易知道，当初速v较小时(相对于)，火箭在定常引力作用下到达最高点的时间为v/g，达到的最高距离为，所以选择=和=，与r和x的大小相当．这样，无量纲量和，大体上具有单位尺度(读者可以计算，，可知它们大体上也具有单位尺度)．于是在,，，组成的新方程中，含有因子(《1)的项相对于不含的项而言，就可以舍弃了．

     评注  无量纲化是用数学工具研究物理问题时常用的方法．恰当地选择特征尺度不仅可以减少参数的个数，而且可以帮助人们决定舍弃哪些次要因素．像量纲分析中运用Pi定理时有个正确确定各物理量和合理选取基本量纲的问题一样，无量纲化的关键是选择合适的特征尺度，而这也主要依赖于物理知识和经验。