新人教A版高中数学选修1-1第二章：解析几何单元测试卷

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．双曲线3x2－y2＝9的实轴长是(　　)

A．2  B．2  C．4  D．4

解析：因为3x2－y2＝9，所以－＝1，

所以 a＝，所以 2a＝2.

答案：A

2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)

A．(0，2)      B．(0，1)

C．(2，0)      D．(1，0)

解析：由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．

答案：D

3．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为(　　)

A．3      B. 或3

C.       D. 或

解析：由题意知m>0，当5>m时，a＝，b＝，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝3；当5答案：B

4．已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0(a，b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的大致图象可能为(如图所示)(　　)

解析：若a＞0且b＞0，则曲线表示椭圆，直线ax＋by＋1＝0在x，y轴上的截距分别为－，－，均为小于零的数，故A，B选项都不满足；若a＞0且b＜0，则曲线表示双曲线，直线ax＋by＋1＝0在x，y轴上的截距分别为－，－，所以在x轴上的截距小于0，在y轴上的截距大于0.

答案：C

5．双曲线x2－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)

A．1      B. 

C．3      D．4

解析：依题意得，c2＝a2＋b2＝1＋3＝4，所以双曲线的右焦点坐标是(2，0)，一条渐近线方程是y＝x，即x－y＝0，因此焦点到渐近线的距离为＝，故选B.

答案：B

6．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)

A．4  B．2  C．1  D．8

解析：如图所示，易知F，过A作AA′⊥准线l，则|AF|＝|AA′|，

所以 x0＝x0＋＝x0＋，

所以 x0＝1.

答案：C

7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是(　　)

A.       B. 

C.       D. 

解析：依题意有(2b)2＝2a·2c，即4b2＝4ac，

所以 b2＝ac.又b2＝a2－c2，所以 a2－c2＝ac.

两边同除以a2，得1－－＝0.

即有e2＋e－1＝0，

解得e＝或e＝ (舍去)．

答案：B

8．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)

A.   B．1  C．2  D．4

解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，

则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，

所以 m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．

由题意知直线l的方程为x＝－c，

又因为直线l与圆M相切，

所以 c＝1，所以 a2－3＝1，所以 a＝2.

答案：C

9．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)

A.   B.   C.   D．3

解析：设与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋c＝0，与抛物线联立方程组得消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c)＝0，

解得c＝－，则抛物线与直线4x＋3y－8＝0平行的切线是4x＋3y－＝0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d＝＝.

答案：A

10．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于P点，则点P的轨迹方程为(　　)

A．x2－＝1(x＞1)      B．x2－＝1(x＜－1)

C．x2＋＝1(x＞0)      D．x2－＝1(x＞1)

解析：设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，

则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.

所以 |PM|－|PN|＝

(|PE|＋|ME|)－(|PF|＋|NF|)＝

|MB|－|NB|＝4－2＝2.

所以点P的轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B点)，且a＝1，

所以 c＝3，b2＝8，

所以双曲线方程是x2－＝1(x＞1)．

答案：A

11．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2  B．3  C．6  D．8

解析：由椭圆方程得F(－1，0)，设P(x0，y0)，则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.

因为P为椭圆上一点，所以＋＝1.

所以·＝x＋x0＋3＝

＋x0＋3＝ (x0＋2)2＋2.

因为－2≤x0≤2，

所以·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.

答案：C

12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A．(0，1)      B. 

C.       D. 

解析：由·＝0可知点M在以线段F1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需c答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为___________．

解析：双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，

即y＝±x.

答案：y＝±x

14．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．

解析：设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)，抛物线y2＝4x，焦点为(1，0)，准线为x＝－1，|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.

答案：2

15.如右图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，

所以x＝±a，故B，C.

又因为F(c，0)，所以＝，

＝.

因为∠BFC＝90°，所以·＝0，

所以＋＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以 e2＝＝，所以e＝ (负值舍去)．

答案：

16．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的范围是________．

解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝m(x－3)对称，A，B中点M(x，y)，则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在点关于它对称．

当m≠0时， ⇒＝＝＝－，

所以y＝－，所以M的坐标为(，－)，

因为M在抛物线内，则有＞(－)2，

得－＜m＜且m≠0，

综上所述，m∈(－，)．

答案：(－，)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝.求椭圆E的方程．

解：因为椭圆焦点在x轴上，

所以设椭圆E的方程为＋＝1，半焦距为c(a>0，b>0，c>0)．

由题意知F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点，

所以b＝1，

又由＝，a2＝b2＋c2，

得a＝2，c＝.

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

18．(本小题满分12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

解：(1)由得x2－4x－4b＝0，(*)

因为直线l与抛物线C相切，

所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.

(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，

解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.

故点A(2，1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A与抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，

所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

19．(本小题满分12分)已知双曲线方程为x2－＝1，问：是否存在过点M(1，1)的直线l，使得直线与双曲线交于P，Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．

解：显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)．

联立y－1＝k(x－1)和x2－＝1，

消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由Δ＞0，得k＜，x1＋x2＝，

由M(1，1)为PQ的中点，得＝＝1，

解得k＝2，这与k＜矛盾，

所以不存在满足条件的直线l.

20．(本小题满分12分)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以椭圆C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和椭圆C2上，＝2，求直线AB的方程．

解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，

其离心率为，故＝，则a＝4，

故椭圆C2的方程为＋＝1.

(2)设A，B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，

由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，

因此可设直线AB的方程为y＝kx.

将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，

所以x＝，

将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，

所以x＝，

由＝2得x＝4x，

即＝，

解得k＝±1，

故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

21．(本小题满分12分)点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的点，M到直线AP的距离等于MB的长，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

解：(1)由已知可得点A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)．

设点P的坐标为(x，y)，

因为PA⊥PF，所以 kAP·kPF＝－1.

故有方程组则2x2＋9x－18＝0，

解得x＝或x＝－6(舍去)，所以 x＝，

由于y＞0，故y＝.

所以 点P的坐标是.

(2)易知直线AP的方程是x－y＋6＝0.

设点M的坐标为(m，0)，

则M到直线AP的距离是.

于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，故m＝2.

所以M的坐标为(2，0)．

椭圆上的点(x，y)到点M的距离d的平方为：

d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝

＋15.

由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取得最小值，最小值为.

22．(本小题满分12分)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．

解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－

|x|＝1.

化简得y2＝2x＋2|x|.

当x≥0时，y2＝4x；

当x＜0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．

(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1，x2是上述方程的两个实根，

于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.

设D(x3，y3)，E(x4，y4)，

则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.

故·＝(＋)·(＋)＝

·＋·＋·＋·＝

||·||＋||·||＝

(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝

x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝

1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝

8＋4≥8＋4×2＝16.

当且仅当k2＝，

即k＝±1时，·取得最小值16.