高等数学 4-3 分部积分法

接连几次应用分部积分公式时，应选择为同类型函数

问题： 

解决思路：利用两个函数乘积的求导法则.

设函数和具有连续导数, 则 

         （分部积分公式）

例1    求积分

解（一）令， 

显然， 选择不当，积分更难进行.

解（二）令

例2    求积分

解： 

    （再次使用分部积分法）

总结：若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)。

例3    求积分

解：令 

例4  求积分

解： 

总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.

例5    求积分

解： 

例6    求积分

解：   

   （注意循环形式）

例7    求积分

解： 

（令）

例8 已知的一个原函数是, 求.

解：  

两边同时对x求导, 得

二、小结

合理选择，正确使用分部积分公式

思考题

在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？

思考题解答

注意前后几次所选的应为同类型函数.

例如：，第一次时若选

第二次时仍应选