集合与常用逻辑用语测试题 +答案

1．已知全集U和集合A，B如图所示，则(∁UA)∩B(　　)

A．{5,6}　　　　　　　　 B．{3,5,6}

C．{3}                  D．{0,4,5,6,7,8}

解析：选A.由题意知：A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，∁UA＝{0,4,7,8,5,6}，∴(∁UA)∩B＝{5,6}，故选A.

2．设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)

A．4                    B．3

C．2                    D．1

解析：选A.集合A中的元素是椭圆＋＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4.

3．已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为(　　)

A．1                    B．－1

C．1或－1               D．0或1或－1

解析：选D.由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M；当a≠0时，M＝{a}，N＝{}，由N⊆M得＝a，解得a＝±1，故选D.

4.设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1A．{a|0≤a≤6}            B．{a|a≤2，或a≥4}

C．{a|a≤0，或a≥6}      D．{a|2≤a≤4}

解析： 选C.由集合A得：－15．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)

A．0      B．6

C．12      D．18

解析：选D.当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.

故集合A⊙B中的元素有如下3个：0,6,12.

所有元素之和为18.

6．下列命题中为真命题的是(　　)

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

解析：选A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，无论y是正数、负数、0都成立，所以选A.

7．设全集U＝{x∈N*|x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则“a∈[6,7)”是“∁UP＝Q”的(　　)

A．充分不必要条件         B．必要不充分条件

C．充要条件               D．既不充分也不必要条件

解析：选C.若a∈[6,7)，则U＝{1,2,3,4,5,6}，则∁UP＝Q；若∁UP＝Q，则U＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a<7，故选C

8．下列命题中，真命题是(　　)

A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数

D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

解析：选A.对于选项A，∃m∈R，即当m＝0时，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函数．故A正确．

9．已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则p的否定形式为(　　)

A．∃x0∈R，x0C．∃x0∈R，x0≤sinx0      D．∀x∈R，x解析：选C.命题中“∀”与“∃”相对，则¬p：∃x0∈R，x0≤sinx0，故选C.

10．命题p：x＝π是函数y＝sinx图象的一条对称轴；q：2π是y＝sinx的最小正周期，下列复合命题：①p∨q；②p∧q；③¬p；④¬q，其中真命题有(　　)

A．0个　　　　　　　　　　    B．1个

C．2个      D．3个

解析：选C.由于命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p是真命题，¬q是假命题，因此①②③④中只有①③为真，故选C.

11．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

解析：∵∁UA＝{1,2}，

∴A＝{0,3}，

∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，

∴m＝－3.

答案：－3

12．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．

解析：∵A∪(∁IA)＝I，

∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，

∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，

解得a＝－4或a＝2.

∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．

答案：∅、{1}、{2}、{1,2}

13．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.

解析：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，

∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，

∴m＝－3.

答案：－3

14．已知集合A＝{x|a－3＜x＜a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞2}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．

解析：由a－3＜－1且a＋3＞2，解得－1＜a＜2.也可借助数轴来解．

答案：(－1,2)

15．已知p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的________条件．

解析：¬q：0≤x≤1.

答案：必要不充分

16．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得，解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.

答案：[－3,0]

17．给定下列几个命题：

①“x＝”是“sinx＝”的充分不必要条件；

②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；

③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题．

其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)

解析：①中，若x＝，则sinx＝，

但sinx＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)．

故“x＝”是“sinx＝”的充分不必要条件，

故①为真命题；

②中，令p为假命题，q为真命题，

有“p∨q”为真命题，

而“p∧q”为假命题，

故②为假命题；

③为真命题．

答案：①③

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答

18．设全集U＝R，A＝{x|2x－10≥0}，B＝{x|x2－5x≤0，且x≠5}．求

(1)∁U(A∪B)；

(2)(∁UA)∩(∁UB)．

解：A＝{x|x≥5}，B＝{x|0≤x＜5}．

(1)A∪B＝{x|x≥0}，于是∁U(A∪B)＝{x|x＜0}．

(2)∁UA＝{x|x＜5}，∁UB＝{x|x＜0或x≥5}，

于是(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x＜0}．

19．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．

(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；

(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

(1)∵A∩B＝[1,3]，

∴，得m＝3.

(2)∁RB＝{x|xm＋2}．

∵A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1.

∴m>5或m<－3.

20．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．

(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；

(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

(1)∵A∩B＝[1,3]，

∴，得m＝3.

(2)∁RB＝{x|xm＋2}．

∵A⊆∁RB，

∴m－2>3或m＋2<－1.

∴m>5或m<－3.

21．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

解：化简集合A，

由y＝x2－x＋1，

配方，得y＝2＋.

∵x∈，

∴ymin＝，ymax＝2.

∴y∈.

∴A＝.

化简集合B，由x＋m2≥1，

得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．

∵命题p是命题q的充分条件，

∴A⊆B.

∴1－m2≤，解得m≥，或m≤－.

∴实数m的取值范围是∪.

22．已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：设函数y＝，函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．

解：若p是真命题，则0＜a＜1，

若q是真命题，则函数y＞1恒成立，

即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值大于1，最小值为2a，只需2a＞1，

∴a＞，

∴q为真命题时，a＞.

又∵p∨q为真，p∧q为假，

∴p与q一真一假，

若p真q假，则0＜a≤；

若p假q真，则a≥1，

故a的取值范围为0＜a≤或a≥1