2019年湖南省张家界市中考数学试卷(答案解析版)

1.2019的相反数是（　　）

A. 2019 B.  C.  D. 

2.为了有力回击美方单边主义贸易的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（　　）美元．

A.  B.  C.  D. 

3.下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

4.下列运算正确的是（　　）

A.  B.  C.  D. 

5.下列说法正确的是（　　）

A. 打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件

B. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨

C. 两组数据平均数相同，则方差大的更稳定

D. 数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7

6.不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A.  B. 

C.  D. 

7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

8.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（　　）

A. 

B. 

C. 

D. 

9.因式分解：x2y-y=______．

10.已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=18°，则∠2的度数是______．

11.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：

12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y=的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA=60°，则k的值是______．

14.如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD=______．

15.如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．

（1）求证：EC是⊙O的切线；

（2）当∠D=30°时，求阴影部分面积．

四、解答题（本大题共8小题，共51.0分）

16.计算：（3.14-π）0+|-1|-2cos45°+（-1）2019．

17.先化简，再求值：（-1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．

18.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．

（1）求证：BF=CF；

（2）若BC=6，DG=4，求FG的长．

19.某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．

（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？

20.阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1=1，a2=3，公差为d=2．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．

（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d，…．

所以

a2=a1+d

a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，

……

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an=a1+（______）d．

（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？

21.天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A-B-C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB=500米，BC=800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）

22.为了响应市号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

（1）本次随机调查的学生人数是______人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于______度；

（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．

23.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC=3．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：2019的相反数是-2019． 

故选：B．

由相反数的定义即可得到答案．

本题运用了相反数的知识点，准确掌握定义是解题的关键．

2.【答案】A

【解析】

解：600亿=6×1010． 

故选：A．

运用科学记数法的知识可解．

本题运用了科学记数法的知识点，掌握好n与数位之间的关系是解此题的关键．

3.【答案】C

【解析】

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； 

B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误； 

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确； 

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误． 

故选：C．

根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可得答案．

本题考查了几何体的三视图以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4.【答案】D

【解析】

解：a2•a3=a2+3=a5；A错误； 

a2+a3=a2+a3；B错误； 

（a+b）2=a2+b2+2ab；C错误； 

（a3）2=a3×2=a6；D正确； 

故选：D．

根据同底数幂的乘法法则，完全平方公式，幂的乘方公式进行运算即可；

本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式是解题的关键．

5.【答案】D

【解析】

解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误； 

B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误； 

C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误； 

D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确． 

故选：D．

事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．

本题考查了概率及其应用，正确理解概率的意义是解题的关键．

6.【答案】B

【解析】

解：解不等式2x-2≤0，得：x≤1， 

则不等式组的解集为-1＜x≤1， 

故选：B．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

7.【答案】C

【解析】

解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵AC=8，DC=AD，

∴CD=8×=2，

∵∠C=90°，BD平分∠ABC，

∴DE=CD=2，

即点D到AB的距离为2．

故选：C．

过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

8.【答案】A

【解析】

解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，

∴A（0，1），

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，

∴A1（，），A2（1，0），A3（，-），…，

发现是8次一循环，所以2019÷8=252…余3，

∴点A2019的坐标为（，-）

故选：A．

探究规律，利用规律解决问题即可．

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．

9.【答案】y（x+1）（x-1）

【解析】

解：原式=y（x2-1）=y（x+1）（x-1）， 

故答案为：y（x+1）（x-1）．

首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．

此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是掌握提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

10.【答案】48°

【解析】

解：∵a∥b， 

∴∠2=∠1+∠CAB=18°+30°=48°， 

故答案为：48°

根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．

11.【答案】6

【解析】

解：该班学生平均每人捐书=6（本），

故答案为：6．

根据加权平均数的定义计算可得．

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．

12.【答案】

【解析】

解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，

∵∠COA=60°

∴∠OCD=90°-60°=30°

又∵菱形OABC的周长是8，

∴OC=OA=AB=BC=2，

在Rt△COD中，OD=OC=1，

∴CD=，

∴C（1，），

把C（1，）代入反比例函数y=得：k=1×=，

故答案为：．

菱形OABC的周长为8，可得边长为2，过C作x轴的垂线，构造直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，可以求出表示C点坐标的线段的长，从而确定点C的坐标，再依据点C在反比例函数的图象上，代入关系式可以求出k的值．

此题综合利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理、菱形的性质以及反比例函数图象上的点的坐标特征等知识，难度不大，但考查的知识较多．

13.【答案】12

【解析】

解：设长为x步，宽为（60-x）步， 

x（60-x）=8， 

解得，x1=36，x2=24（舍去）， 

∴当x=36时，60-x=24， 

∴长比宽多：36-24=12（步）， 

故答案为：12．

根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长．

14.【答案】2

【解析】

解：连接AF，

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，，

在△ABE和△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BPE=∠APF=90°，

∵∠ADF=90°，

∴∠ADF+∠APF=180°，

∴A、P、F、D四点共圆，

∴∠AFD=∠APD，

∴tan∠APD=tan∠AFD==2，

故答案为：2．

首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BPE=90°，证明A、P、F、D四点共圆，得∠AFD=∠APD，可得结论．

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明∠APF=90°．

15.【答案】解：（1）如图，连接BC，OC，OE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△BDC中，∵BE=ED，

∴DE=EC=BE，

∵OC=OB，OE=OE，

∴△OCE≌△OBE（SSS），

∴∠OCE=∠OBE，

∵BD是⊙O的切线，

∴∠ABD=90°，

∴∠OCE=∠ABD=90°，

∵OC为半径，

∴EC是⊙O的切线；

（2）∵OA=OB，BE=DE，

∴AD∥OE，

∴∠D=∠OEB，

∵∠D=30°，

∴∠OEB=30°，∠EOB=60°，

∴∠BOC=120°，

∵AB=4，

∴OB=2，

∴．

∴四边形OBEC的面积为2S△OBE=2×=12，

∴阴影部分面积为S四边形OBEC-S扇形BOC=12-=12-4π．

【解析】

（1）连接BC，OC，OE，由E是BD的中点，可得CE=BE，证明△OCE≌△OBE，得∠OCE=∠OBE=90°，则结论得证； 

（2）阴影部分的面积即为四边形OBED的面积减去扇形COB的面积．

此题综合考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．

16.【答案】解：（3.14-π）0+|-1|-2cos45°+（-1）2019

=1+-1-2×-1

=-1；

【解析】

分别计算出（3.14-π）0=1，|-1|=-1，2cos45°=2×=，+（-1）2019=1即可求解；

本题考查实数的运算；熟练掌握零指数幂的运算，特殊三角函数值是解题的关键．

17.【答案】解：原式=（-）÷

=•

=，

当x=0时，原式=-1．

【解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CD，AD=BC，

∴△EBF∽△EAD，

∴==，

∴BF=AD=BC，

∴BF=CF；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CD，

∴△FGC∽△DGA，

∴=，即=，

解得，FG=2．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到AD∥CD，AD=BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可； 

（2）根据相似三角形的性质列式计算即可．

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

19.【答案】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x-40）棵，

由题意可得，30x+20（2x-40）=9000，

50x=9800，

x=196，

∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；

（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10-y）棵，

根据题意可得，30y+20（10-y）≤230，

10y≤30，

∴y≤3；

购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；

购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；

购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；

购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；

【解析】

（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x-40）棵，由题意可得，30x+20（2x-40）=9000； 

（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10-y）棵，根据题意可得，30y+20（10-y）≤230，根据y的范围确定购买方案即可；

本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用；能够准确列出方程，根据题意确定不等式是解题的关键．

20.【答案】5   25   n-1

【解析】

解：（1）根据题意得，d=10-5=5； 

∵a3=15， 

a4=a3+d=15+5=20， 

a5=a4+d=20+5=25， 

故答案为：5；25． 

（2）∵a2=a1+d 

a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d， 

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d， 

…… 

∴an=a1+（n-1）d 

故答案为：n-1． 

（3）根据题意得， 

等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：an=-5-2（n-1）， 

则-5-2（n-1）=-4041， 

解之得：n=2019 

∴-4041是等差数列-5，-7，-9…的项，它是此数列的第2019项．

（1）根据公差定义进行计算得d，再推算第5项便可； 

（2）由a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d…可知：序列号n比d的系数小1，故：an=a1+（n-1）d． 

（3）先根据样例求出通项公式，再将-4041代入通项公式求出n，若n为正整数就可以断定-4041是此等差数列的某一项，反之则不是．

本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．

21.【答案】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．

在Rt△ABH中，AB=500，∠BAH=30°，

∴BH=AB=（米），

∴A1B1=BH=250（米），

在Rt△BB1C中，BC=800，∠CBB1=60°，

∴，

∴B1C==400，

∴检修人员上升的垂直高度CA1=CB1+A1B1=400+250≈943（米）

答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．

【解析】

测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

22.【答案】60   108

【解析】

解：（1）本次随机调查的学生人数=15÷25%=60人；

故答案为：60；

（2）60-15-18-9=18（人），补全条形统计图如图1所示：

（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角=360°×=108°，

故答案为：108；

（4）画树状图如图2所示：

共有16个等可能的结果，

小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，

∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率==．

（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；

（2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可；

（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；

（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．

本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．

23.【答案】解：（1）函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），

即：3a=3，解得：a=1，

故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3，

则顶点D（2，-1）；

（2）∵OB=OC=4，∴∠OBC=∠OCB=45°，

AM=MB=ABsin45°==AD=BD，

则四边形ADBM为菱形，而∠AMB=90°，

∴四边形ADBM为正方形；

（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：

直线BC的表达式为：y=-x+3，

过点P作y轴的平行线交BC于点H，

设点P（x，x2-4x+3），则点H（x，-x+3），

则S△PBC=PH×OB=（-x+3-x2+4x-3）=（-x2+3x），

∵-＜0，故S△PBC有最大值，此时x=，

故点P（，-）；

（4）存在，理由：

如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，

则HQ=CQ，

AQ+QC最小值=AQ+HQ=AH，

直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y=x+3…①

则直线AH所在表达式中的k值为-，

则直线AH的表达式为：y=-x+s，将点A的坐标代入上式并解得：

则直线AH的表达式为：y=-x+…②，

联立①②并解得：x=，

故点H（，），而点A（1，0），

则AH=，

即：AQ+QC的最小值为．

【解析】

（1）函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），即可求解；

（2）AM=MB=ABsin45°==AD=BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB=90°，即可求解；

（3）S△PBC=PH×OB，即可求解；

（4）过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ=CQ，AQ+QC最小值=AQ+HQ=AH，即可求解．

本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形性质、图形的面积计算等，其中（4），过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，则HQ=CQ，是本题的难点．