求二次函数解析式的三种方法

    一、已知任意三点求解析式用一般式，即。

    方法是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，求出、、的值，即可得到二次函数的解析式。

    例1、如图，抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与轴的另一个交点为E，求抛物线的解析式

     分析：观察图像，点A、B、C、E的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式

    解：设抛物线的解析式为，由图像可知，抛物线经过点A（1，0）、B（0，3）、C（2，3）三点，所以，解得，所以抛物线的解析式为

    二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即

    方法是：先将顶点坐标（，）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式

    例2、已知二次函数的顶点为（2，1），且过点（2，7），求二次函数的解析式

    分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。

    解：设二次函数为，把点（2，7）代入解析式，得，解得，所以二次函数的解析式为，即

    三、已知与轴两交点坐标求解析式用交点式，即

    方法是：将抛物线与轴两个交点的横坐标、代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出，即可得抛物线的解析式

    例3、已知变量是的二次函数，且函数图像如图，在轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3， 2），求这个函数的解析式

    分析：因为函数图像在轴上截得的线段AB长为4个单位，且函数图像顶点坐标为P（3， 2），根据图像可知，图像与轴的两个交点的坐标分别为A（1，0）、B（5，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式

解：因为函数图像顶点坐标为P（3， 2），在轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与轴的交点分别为A（1，0）、B（5，0），设所求二次函数解析式为。因为函数图像经过P（3， 2），所以，解得，所以二次函数的解析式为，即