专题：判断三角形解的个数

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2017·浙江省高三其他）在△ABC中，，如果三角形有解，则A的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

2．在△ABC中，若，且三角形有解，则A的取值范围是(     )

A．0°＜A＜30° ．0°＜A≤45° ．0°＜A＜90° ．45°≤A≤135°

3．（2020·湖南省高三一模（文））在中，角所对的边分别是，如果有两组解，那么的取值范围是（    ）

A． ． ． ．

4．（2001·全国高三竞赛）满足的恰有一个，则的取值范围是（  ）

A． ． ． ．或

5．（2020·维吾尔自治区喀什第二中学高一月考）设的内角所对的边分别为，若，则（    ）

A． ． ． ．

6．（2020·全国高一课时练习）已知分别为的三个内角的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是（    ）

A． ． ． ．

7．（2018·全国高三专题练习（文））中，，则符合条件的三角形有（ ）

A．个 ．个 ．个 ．个

8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）在中，，则此三角形解的情况是(    )

A．一解 ．两解 ．一解或两解 ．无解

9．（2019·河南省南阳中学高三月考（理））在ΔABC中，，，若ΔABC有两解，则的取值范围是（　　）

A． ． ． ．

10．（2019·全国高三专题练习）若满足条件，的三角形有两个，则边长的取值范围是（   ）

A． ． ． ．

11．（2019·云南省玉溪第一中学高一月考）在中，已知，，，如果三角形有两解，则的取值范围是（   ）

A． ． ． ．

12．（2018·青海省高一期末）在中，，，，则解的情况（  ）

A．无解 ．有唯一解 ．有两解 ．不能确定

13．（2019·湖南郡中学高一期末）若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（    ）

A． ． ． ．

14．（2019·内蒙古自治区高二期中（文））在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）

A．  ．

C． ．

15．（2019·云南省弥勒市一中高一期末）在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是(  　)

A． ． ． ．

16．（2020·四川省成都外国语学校高一期末（理））满足，，的恰有一个，那么的取值范围是（    ）

A． ．

C． ．或

17．（2017·福建省福建师大附中高一期末）已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（   ）

A． ．

C． ．

18．（2019·福建省高二期中（理））已知满足条件，，的的个数有两个，则x的取值范围是 (  )

A． ． ． ．

19．（2020·全国高一课时练习）在中，已知A，a，b，给出下列说法：

①若，则此三角形最多有一解；

②若，且，则此三角形为直角三角形，且；

③当，且时，此三角形有两解.

其中正确说法的个数为（    ）

A．0 ．1 ．2 ．3

二、填空题

20．（2019·上海高三一模）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是______只需填写一个适合的答案

21．（2019·山西省高一期中（理））在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，如果有两组解，则的取值范围是________________．

22．（2017·江西省高三专题练习）若满足， =3，恰有一解，则实数的取值范围是______．

23．（2019·黑龙江省双鸭山一中高一期末（理））设的内角，，所对的边分别为，，.已知，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_____．

24．（2018·江苏省涟水中学高一月考）中，已知，若解此三角形时有两解，则的取值范围为 _________．

25．（2019·湖南省高三三模（理））数学老师准备命制一道解三角形的练习题，完成了题目部分信息如下：在中，、、分别是角、、的对边，已知，，求边.显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，那么的可能取值是______.（只需填写一个合适的答案）

26．（2017·上海高三月考）在中，角的对边分别为，若满足的三角形的个数恰好为一个，则取值范围为_____.

三、解答题

27．（2020·上海高一课时练习）在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数.

参

1．A

【解析】

试题分析：：∵在△ABC中，，∴，∵b＞a，∴B＞A，

∴A只能是锐角，∵sinB的最大值是1，∴sinA的最大值为，∴0＜A≤60°．

考点：正弦定理

2．B

【解析】

【分析】

根据大边对大角，可得A为锐角，由余弦定理可得 c2﹣4c×cosA+4=0 有解，故判别式△≥0，解得cosA≥，得0＜A≤45°．

【详解】

在△ABC中，由余弦定理，

化简为，由于有两解，所以，

即，角A为锐角，所以0°＜A≤45°  ，选：B．

【点睛】

本题考查余弦定理的应用，一元二次方程有解的条件，求出cosA≥，是解题的关键．

3．D

【解析】

【分析】

构造关于的余弦定理由此得到关于的方程组，根据三角形解的个数判断方程组解的个数，由此得到关于的不等式组，从而可求的取值范围.

【详解】

法一：设，则由余弦定理，，

，∵三角形有两组解，

∴方程有2个不同的正数根，设为，

，即；

法二：有两组解，，

所以，所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查解三角形问题中根据三角形解的个数求解参数范围，难度一般.此类问题常见解答方法：（1）作图法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）构造一元二次方程，根据方程根的分布进行分析.

4．B

【解析】

根据正弦定理得到 

画出和 的图像，使得两个函数图象有一个交点即可；此时的取值范围是．

故选B．

5．B

【解析】

【分析】

根据正弦定理求解即可得到所求结果．

【详解】

由正弦定理得，

∴．

又，

∴为锐角，

∴．

故选B．

【点睛】

在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．

6．A

【解析】

【分析】

在中，求得，由要使得三角形有两个，得到，即可求解。

【详解】

在中，由，，，则，

要使得三角形有两个，则满足，即， 

解得，即实数的取值范围是，故选A.

【点睛】

本题主要考查了三角形个数的判定及应用，其中解答中熟记正弦定理的应用，以及三角形个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7．B

【解析】

由正弦定理可得: ,解得sinA= > ，故满足条件的角A有两个,一个钝角,一个锐角,应选B.

8．B

【解析】

由题意知，，，，∴，如图：

∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．

9．A

【解析】

【分析】

【详解】

因为ΔABC有两解，所以，选A．

10．C

【解析】

当 时，即时，三角形有两个，选 

【点睛】已知两边及其一边所对的角，解三角形问题，分该角为锐角和钝角两种情况，本题是锐角情况.当时，无解；当时，一解；当 时，两解；当 时，一解.

11．A

【解析】

【详解】

因为AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，

当A＝90°时圆与AB相切；当A＝45°时交于B点，也就是只有一解，

∴45°＜A＜90°，即sinA＜1，

∵b＝2，B＝45°，

∴由正弦定理得：a＝x2sinA，

又sinA＜1，

∴2sinA∈（2，2），

则x取值范围是2＜x＜2，故选A；

考点：正弦定理及运用．

12．B

【解析】

【分析】

根据正弦定理，结合题中数据解出，再由，得出

，从而，由此可得满足条件的有且只有一个.

【详解】

中，，

根据正弦定理，得，

，得，

由，得，从而得到，

因此，满足条件的有且只有一个，故选B.

【点睛】

本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

13．C

【解析】

【分析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，结合C的取值范围，可知；根据存在两个三角形的条件，即可求得a的取值范围。

【详解】

根据正弦定理可知 ，代入可求得 

因为，所以 

若满足有两个三角形ABC

则 

所以 

所以选C

【点睛】

本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，判断三角形的个数情况，属于基础题。

14．D

【解析】

【分析】

【详解】

对于A,，三角形只有一解；

对于B，，三角形只有一解；

对于C，，又a>b,∴角B为小于的锐角，即三角形只有一解；

对于D，，又a15．A

【解析】

【分析】

已知，若有两组解，则，可解得的取值范围.

【详解】

由已知可得，则，解得.故选A.

【点睛】

本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.

若中，已知且为锐角，若，则无解；若或，则有一解；若，则有两解.

16．D

【解析】

【分析】

由题意可得或时，满足的三角形恰有一个，解不等式可得.

【详解】

解：如图，由题意得，或时，满足的三角形恰有一个，

解得或，

故选：D

【点睛】

此题考查三角形解的个数的判断，数形结合是解决此题的关键，属于基础题.

17．D

【解析】

由所给条件：

 ，满足题意的三角形 个数为0个；

 ，满足题意的三角形 个数为2个；

  ，满足题意的三角形 个数为0个；

  ，满足题意的三角形 个数为1个；

本题选择D选项.

18．B

【解析】

【分析】

由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得满足题意时有：，

据此可得：x的取值范围是.

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，三角形解的个数的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．C

【解析】

【分析】

对于①，由，根据大角对大边得，进而得到为锐角，即此三角形最多有一解，此说法正确；对于②，若，且，得到，此三角形为直角三角形，且，此说法正确；对于③取一个特例：时，，由为锐角，得到也为锐角，此三角形只有一解，此说法错误；从而得到结果.

【详解】

由，知B为锐角，则此三角形最多有一解，故①说法正确；

若，且，则，即，此三角形为直角三角形，

故②说法正确；

当，且时，A=B，此三角形为等腰三角形，只有一解，故③说法错误.

故正确说法的个数为2.

故选：C

【点睛】

该题考查的是有关正确命题的个数问题，涉及到的知识点有正弦定理，三角形解的个数，属于基础题目.

20．

【解析】

【分析】

由正弦定理可得，可得的取值集合，即可确定一个a的可能取值是．

【详解】

解：由已知及正弦定理，可得，

可得，可得的取值集合为：．

可得a的可能取值是．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

21．

【解析】

【分析】

△ABC 有两组解，由正弦定理及平面几何知识可知asinB＜b＜a，代入数据，求出x的范围．

【详解】

当时，有两组解，因为，，，由正弦定理及平面几何知识可知应满足，即．故的取值范围是．

【点睛】

本题考查了正弦定理在三角形中的应用及计算能力，借助于几何图形是解题的关键，是基础题．

22．

【解析】

∵∠ABC=，AC=3，BC=m，

∴由正弦定理得：sin∠BAC=sin∠ABC=×=，

∵0＜∠BAC＜，

若=1，即m=时，∠BAC为直角，只有一解；

若＜＜1，即3＜m＜2时，∠BAC有两种情况为arcsin（）或π﹣arcsin（），三角形就有两解；

若0＜≤，即0＜m≤3时，∠BAC只有一种情形为arcsin（），

综上，m的范围为（0，3]∪{2}．

故答案为（0，3]∪{2}

23．

【解析】

【分析】

由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围

【详解】

根据余弦定理： 代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为 则：

【点睛】

本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题．

24．

【解析】

由余弦定理有，，即，因为此方程有两解，所以 ，且，解得．

点睛：本题主要考查余弦定理，解题关键是将看作关于的一元二次方程，由已知得且判别式大于零，从而得出的范围．

25．或

【解析】

【分析】

先计算出 ，然后作出图象，可得当或时，满足条件.

【详解】

由，，若补充的大小，使得只有一解，即满足条件的三角形只有一个.

则

当时，即以为圆心为半径作圆，与射线边相切于点,如图1.

此时满足条件的三角形只有一个.

当以为圆心为半径作圆，与射线只有一个交点,如图2.

此时满足条件的三角形只有一个.

所以满足条件的的可能取值是或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查满足条件的三角形的解得个数问题，注意作图分析条件，属于基础题.

26．

【解析】

【分析】

利用正弦定理得出b＝8sinB，根据B+C的度数和三角形只有一解，可得B只有一个值，根据正弦函数的性质得到B的范围，从而得出b的范围．

【详解】

∵A＝30°，a＝4，

根据正弦定理得：，

∴b＝8sinB，

又B+C＝180°﹣30°＝150°，且三角形只一解，可得B有一个值，

∴0＜B≤30°，或B＝90°．

∴0＜sinB，或sinB＝1，

又b＝8sinB，

∴b的取值范围为（0，4]∪{8}．

故答案为：（0，4]∪{8}．

【点睛】

本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，属于中档题．

27．答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析.

【详解】

解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形的图像有以下几种情况：

作图：

.

当时，无解【如图（1）】；

当时，有一个解【如图（2）】；

当时，有两个解【如图（3）】；

当时，有一个解【如图（4）、图（5）】.

【点睛】

本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题.