山东省济宁市任城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）

A． ． ． ．

2．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB ．b＝csinB ．a＝btanB ．b＝ctanB

3．如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（ ）

A． ． ． ．

4．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（　　）

A． ． ． ．

5．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．

A．0.32 ．0.55 ．0.68 ．0.87

6．下列事件中，是必然事件的是（　　）

A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球

B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数

C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上

D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯

7．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ）

A．6 ．7 ．8 ．14

8．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）

A． ．1 ． ．

9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）

A．点B坐标为(5，4) ．AB＝AD ．a＝ ．OC•OD＝16

10．如图，为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，，与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线交于点D，于点E，延长交于点F，则下列结论正确的个数有（ ）

①；②的长为；③；④；⑤为定值

A．2个 ．3个 ．4个 ．5个

二、填空题

11．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是_____．

12．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长________cm．

13．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________（结果保留）．

14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为5，点A的坐标是．则点D的坐标是______．

15．二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________．

三、解答题

16．已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．

（1）求a，b的值；

（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．

17．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，）

18．如图，在中，，，．将以点B为中心，逆时针旋转，使边落在边延长线上．在图上画出直角边扫过的图形（用阴影表示），并求出它的面积．

19．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．

（1）求的值；

（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．

20．如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若，，求的长．

21．阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数（，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数．小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数的旋转函数

（2）若函数与互为旋转函数，求的值．

（3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试求证：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”．

22．如图，已知，是的平分线，A是射线上一点，．动点P从点A出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点B．经过O，P，Q三点作圆，交于点C，连接，．设运动时间为，其中．

（1）求的值；

（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）在点P，Q运动过程中（），四边形的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形面积变化的趋势；如果四边形面积不变化，请求出它的面积．

参

1．C

【分析】

在同一时刻，阳光下不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成正比．

【详解】

因为两棵树的影子的方向相反，不可能为同一时刻太阳光下的影子，所以A、B选项错误；

因为在同一时刻太阳光下，树高与影长成正比，所以C选项正确，D选项错误；

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的运用，解题的关键是掌握在同一时刻，阳光下不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成正比．

2．B

【分析】

根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．

【详解】

∵中，，、、所对的边分别为a、b、c

∴，即，则A选项不成立，B选项成立

，即，则C、D选项均不成立

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．

3．B

【分析】

根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.

【详解】

∵,

∴∠BOC=2∠BDC=40°，

∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，

故选：B.

【点睛】

此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.

4．C

【分析】

找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【详解】

解：从上面看易得俯视图：

．

故选：C．

【点睛】

本题考查几何体的俯视图,关键在于牢记俯视图的定义.

5．C

【分析】

先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．

【详解】

解：样本中身高不低于170cm的频率，

所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．

故选：C．

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

6．A

【分析】

根据概率事件的定义理解逐一判断即可．

【详解】

A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确

B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误

C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，是随机事件，故此选项错误

D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为，是随机事件，故此选项错误

故答案选A

【点睛】

本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键．

7．B

【分析】

根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．

【详解】

解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，

∴△ABC的面积等于△ABO的面积，

连接OA、OB，如下图所示：

则

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．

8．D

【分析】

根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．

【详解】

∵正方形的边长为4

∴

∵是正方形的对角线

∴

∴

∴圆锥底面周长为，解得

∴该圆锥的底面圆的半径是，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键．

9．D

【分析】

由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．

【详解】

解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0），因为对称轴为直线x＝，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．

10．B

【分析】

①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误；

②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误；

③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；

④证明∠CPB=∠CBF=30°，∠PCB=∠BCF，可得△BCF∽△PCB相似；

⑤由等边△OBC得BC=OB=4，再由相似三角形得CF•CP=BC2，便可判断正误．

【详解】

解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，

∵M，C是半圆上的三等分点，

∴∠BAH=30°，

∵BD与半圆O相切于点B．

∴∠ABD=90°，

∴∠H=60°，

∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH，

∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，

∵∠PBD=90°-∠ABP，

若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP，

∴∠ABP=15°，

∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，

∴∠PDB不一定等于∠ABD，

∴PB不一定等于PD，

故①错误；

②∵M，C是半圆上的三等分点，

∴∠BOC=×180°＝60°，

∵直径AB=8，

∴OB=OC=4，

∴的长度=，

故②正确；

③∵∠BOC=60°，OB=OC，

∴∠ABC=60°，OB=OC=BC，

∵BE⊥OC，

∴∠OBE=∠CBE=30°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBE=60°，

故③错误；

④∵M、C是的三等分点，

∴∠BPC=30°，

∵∠CBF=30°，

∠PCB=∠BCF，

∴△BCF∽△PCB

故④正确；

⑤∵∠CBF=∠CPB=30°，∠BCF=∠PCB，

∴△BCF∽△PCB，

∴，

∴CF•CP=CB2，

∵CB＝OB＝OC＝AB＝4，

∴CF•CP=16，

故⑤正确．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，关键是熟练掌握这些性质，并能灵活应用．

11．

【分析】

直接利用概率公式求解．

【详解】

解：蚂蚁获得食物的概率＝．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

12．

【分析】

根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．

【详解】

解：如图：作BD⊥AC于D

由正六边形，得

∠ABC=120°，AB=BC=a，

∠BCD=∠BAC=30°．

由AC=3，得CD=．

cos∠BCD==，即，

解得a=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数．

13．24π cm²

【分析】

根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．

【详解】

解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，

圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，

且底面周长为：2π×2=4π(cm)，

∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm²)．

故答案为：24π cm²．

【点睛】

此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．

14．（9，2）．

【分析】

设圆与x轴，y轴的切点分别是E，F，连接EP，并延长，交AC于点N，连接FP，并延长，交BC于点M，连接PC，PD，利用切线的性质，垂径定理，勾股定理计算PM，CM的长即可．

【详解】

如图，设圆与x轴，y轴的切点分别是E，F，连接EP，并延长，交AC于点N，连接FP，并延长，交BC于点M，连接PC，PD， 

∵与x轴、y轴都相切，

∴PE⊥OB，PF⊥OA，

∵FO⊥OE，PE=PF，

∴四边形PFOE是正方形，

∵的半径为5，

∴PE=PF=PC=PD=5，

∵四边形AOBC是矩形，

∴PN⊥AC，PM⊥BC，

∴四边形AOEN，四边形NEBC都是矩形，

∵点A的坐标是，

∴OA=EN=8，

∴AF=PN=CM=3，

∴NC==4，

∴AC=OB=AN+NC=9，

∵PM⊥BC，

∴CM=DM=3， 

∴BD=BC-CD=8-6=2，

∴点D的坐标为（9，2）．

故答案为：（9，2）．

【点睛】

本题考查了切线的性质，正方形的判定，矩形的性质和判定，勾股定理，垂径定理，根据题意熟练运用切线的性质是解题的关键．

15．或

【分析】

先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标．

【详解】

解：对，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），

抛物线的对称轴是直线：，

当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

又∠MFB=∠BOA=90°，

∴△BFM∽△AOB，

∴，即，解得：BF=3，

∴OF=6，

∴点M的坐标是（，6）；

当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则，

同上面的方法可得△BAE∽△AMH，

∴，即，解得：AH=9，

∴点M的坐标是（，﹣9）；

综上，点M的坐标是或．

故答案为：或．

【点睛】

本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

16．（1）；（2）

【分析】

（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；

（2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值.

【详解】

（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），

∴，解得，

∴a的值为1，b的值为-4；

（2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，

∴，解得或（舍去）

∴m的值为-1.

【点睛】

本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键.

17．斜坡AF的长度为20.61米．

【分析】

先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．

【详解】

∵，其坡度为，

∴在中，

∴解得

∵四边形ABCD为矩形

∴

∵斜坡的坡度为

∴

∴

在中，（m）

∴斜坡的长度为20.61米．

【点睛】

本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．

18．图见解析；9π．

【分析】

根据旋转的定义作图，根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积=扇形ABA′的面积-小扇形CBC′的面积．

【详解】

解：作图如下，

根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，

∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，

∴BC=AB=3，

∴阴影面积=

【点睛】

本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．

19．（1）1；（2）．

【分析】

（1）根据概率公式列方程求解即可；

（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．

【详解】

解：（1）由题意得 ，解得n=1；

（2）根据题意画出树状图如下： 

所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．

【点睛】

本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．

20．（1）见解析（2）

【分析】

（1）连接OC，根据角平分线及等腰三角形的性质得到∠OCD=90°，即可求解；

（2）连接BC，在Rt△ADC中，利用cos∠1=∠CAB=，求出AC=5，再根据在Rt△ABC中，cos∠CAB=，即可求出AB的长．

【详解】

（1）证明：连接OC，

∵

∴∠ADC=90°

∴∠1+∠4=90°

∵AC平分∠DAB

∴∠1=∠2

又AO=OC，

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴∠4+∠3=90°

即∠OCD=90°

故OC⊥CD，OC是半径

∴是⊙O的切线；

（2）连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∵AC平分∠DAB，∠1=∠2

在Rt△ADC中，cos∠1=∠CAB=

又AD=4

∴AC=5

在Rt△ABC中，cos∠CAB=

∴AB=．

【点睛】

此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理及三角函数的定义．

21．（1）；（2）1；（3）证明过程见详解．

【分析】

（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；

（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；

（3）首先求出A、B、C三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．

【详解】

解：（1）根据题意得，

解得

故解析式为：．

(2)根据题意得

∴

∴．

(3)根据题意得A(1，0)，B(3，0)，C(0，-6)

∴A1(−1，0)，B1 (-3，0)，C1 (0，6)

又

且经过点A1，B1，C1的二次函数为

∵

∴两个函数互为“旋转函数”．

【点睛】

本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．

22．（1）8cm；（2）存在，t=4；（3）不变化，16cm2．

【分析】

（1）由题意得出OP=8-t，OQ=t，则可得出答案；

（2）如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=BD=x，PD=8-t-x，得出，则 ，解出．由二次函数的性质可得出答案；

（3）证明△PCQ是等腰直角三角形．则．在Rt△POQ中，PQ2=OP2+OQ2=（8-t）2+t2．由四边形OPCQ的面积S=S△POQ+S△PCQ可得出答案．

【详解】

解：（1）由题意可得，OP=8-t，OQ=t，

∴OP+OQ=8-t+t=8（cm）．

（2）当t=4时，线段OB的长度最大．

如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．

∵OT平分∠MON，

∴∠BOD=∠OBD=45°，

∴BD=OD，OB=BD．

设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=BD=x，PD=8-t-x，

∵BD∥OQ，

∴，

∴，

∴．

∴．

∵二次项系数小于0．

∴当t=4时，线段OB的长度最大，最大为2cm．

（3）∵∠POQ=90°，

∴PQ是圆的直径．

∴∠PCQ=90°．

∵∠PQC=∠POC=45°，

∴△PCQ是等腰直角三角形．

∴．

在Rt△POQ中，PQ2=OP2+OQ2=（8-t）2+t2．

∴四边形OPCQ的面积

．

∴四边形OPCQ的面积不变化，为16cm2．

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．