北大.群论.讲义.王宏利.第一章习题

1.2证明：两个子群的交集为子群。

1.3证明：有两个四阶群，并且都是阿贝尔群。

1.4生成矩阵群，它的两个元素是：，此群的阶是多少，共有多少个共轭类。

1.5试问下列三个矩阵在矩阵乘法下是否组成一个群：

。

至少需要添加几个矩阵才能构成群，求出这些增加的矩阵，以及群的共轭类。

1.6考虑下列六个函数的集合：

，

定义两个函数的合成运算为把一个函数替换到另一个中，如。证明该集合在此合成法则下是一个群，且该群与正三角对称性群（二面体群）D3群同构。

1.7设Ci为群中一个类，Ci*为Ci中元素的逆的集合，证明Ci*也是一个类。

1.8求出下列置换的逆，

，，

并验证。

1.9找出三阶对称群S3的所有子群，并指出哪个子群是不变子群，哪个子群是含元素（123）的循环群。

1.10求6阶循环群的所有不变子群，以及其对应的商群。

1.11用两个元素A和B生成一个群使得它仅仅遵从关系式A2＝Bk=(AB)2=E, 式中k是大于1的有限整数。

1.12求D3群的自同构群，它是内自同构群吗？

1.13设群只有一个阶为2的元素h，证明：对任意gG，有gh=hg。

1.14在D4群中，取子群，，证明：。