高考数学数学数列多选题试题及解析

一、数列多选题

1．已知是等差数列的前项和，，设，则数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）

A． ．

C． ．时，取得最大值

【答案】ABC

【分析】

根据题设条件，得到，进而求得，，再结合“裂项法”求得，结合，即可求解.

【详解】

设等差数列的公差为，

因为，可得，，

，

即，，即，

所以，，即数列递减，

且，，…，，，

又由，可得，

则，由，要使取最大值，则取得最小值，

显然，而，

所以当时，取得最小值.

综上可得，正确的选项为ABC.

故选：ABC.

【点睛】

本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项和的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

2．（多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（ ）

A．

B．

C．对任意正数，都存在正整数使得成立

D．

【答案】ABCD

【分析】

对于A，结合二次函数的特点可确定正误；

对于B，将原式化简为，由得到结果；

对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；

对于D，利用数学归纳法可证得结论.

【详解】

对于A，，若，则，

又，可知，，

又，，A正确；

对于B，由已知得：，

，B正确；

对于C，由及A中结论得：，，

，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；

对于D，（i）当时，由已知知：成立，

（ii）假设当时，成立，

则，

又，即，

，

综上所述：当时，，D正确.

故选：ABCD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.

3．设是等差数列的前n项和，且，则（ ）

A． ．公差

C． ．数列的前n项和为

【答案】BCD

【分析】

根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，即可判断选项、、，

再利用裂项求和即可判断选项D.

【详解】

因为数列是等差数列，则，解得：，故选项B正确；

所以，

对于选项A：，故选项A不正确；

对于选项C：，所以故选项C正确；

对于选项D：，

所以前n项和为

，故选项D正确，

故选：BCD.

【点睛】

方法点睛：数列求和的方法

（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；

（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

4．已知数列，满足，，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）

A．， ．，

C．， ．，

【答案】BD

【分析】

用累加法得到，代入，得，

代入求出m可判断A；代入求最值可判断B；

令解出m可判断C；裂项相消后可求出的范围可判断D.

【详解】

因为，所以

以上各式累加得

，所以，当时，成立，

所以，由，得，

对于A，， ，

当时，，得，A错误；

对于B，，

当且仅当取等号，因为，所以时，，

所以B正确；

对于C，令得，，解得，所以C错误；

对于D， ，

，可以看出是关于递增的，所以时有最小值，

所以，D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出，然后代入求出，考查了学生的推理能力、计算能力.

5．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）

A．若数列的前项和，则数列为等差数列

B．若数列的前项和，则数列为等比数列

C．若等比数列是递增数列，则的公比

D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列

【答案】AB

【分析】

对于A，求出 ，所以数列为等差数列，故选项A正确；对于， 求出，则数列为等比数列，故选项B正确；对于选项C，有可能，不一定 ，所以选项C错误；对于，比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列．故选项D不正确．

【详解】

对于A，若数列的前项和，所以，所以，适合，所以数列为等差数列，故选项A正确；

对于，若数列的前项和，所以，所以，又，， 

则数列为等比数列，故选项B正确；

对于选项C，若等比数列是递增数列，则有可能，不一定 ，所以选项C错误；

对于，数列是等比数列，为前项和，则，，，不一定为等比数列，比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列．故选项D不正确．

故选：AB

【点睛】

方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

6．已知数列，下列结论正确的有（ ）

A．若，，则.

B．若则

C．若，则数列是等比数列

D．若，则

【答案】AB

【分析】

直接利用叠加法可判断选项A，从而判断，利用构造新数列可求出B,D中数列的通项公式，可判断，选项C求出数列的前3项从而可判断.

【详解】

选项A由，即

则

故A 正确.

选项B. 由得

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.

则，即，所以，故B正确.

选项C. 由，可得当时，

当时，得，

当时，得，

显然，所以数列不是等比数列，故C错误.

选项D.  由，可得 

所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.

所以，则，即，故D错误.

故选：AB

【点睛】

关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得，利用构造新数列解决问题，属于中档题.

7．已知数列中，，且，，则以下结论正确的是（ ）

A．

B．是单调递增数列

C．

D．若，则(表示不超过的最大整数)

【答案】ABD

【分析】

利用裂项法可判断A选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B选项的正误；利用裂项求和法可判断C选项的正误；求出的表达式，可判断D选项的正误.

【详解】

在数列中，，且，，则，，，依此类推，可知对任意的，.

对于A选项，，A选项正确；

对于B选项，，即，所以，数列为单调递增数列，B选项正确；

对于C选项，由A选项可知，，

所以，，C选项错误；

对于D选项，，

所以，

，

由，且得，，

又是单调递增数列，则时，，则，

从而，得，D选项正确.

故选：ABD.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.

8．已知等差数列的前项和为，若，，，，成等比数列，则（ ）

A． ．

C． ．

【答案】ACD

【分析】

先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得，再由，，成等比数列列出式子求解得出的值，再利用裂项相消法求和，得到，从而判断各项的正误.

【详解】

依题意，，解得；

而，故，则，

则，，故D、A正确：

因为，，成等比数列，

故，

则，解得，故C正确；

而，故B错误．

故选：ACD．

【点睛】

思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：

（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前项和；

（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得的值；

（3）利用裂项相消法，对求和；

（4）对选项逐个判断正误，得到结果.

二、平面向量多选题

9．已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（ ）

A． ．

C． ．

【答案】BCD

【分析】

本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.

【详解】

解：因为，，

所以B是的中点，P是的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；

因为，故选项B正确；

因为，所以，，故选项D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.

10．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系中，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为.在的反射坐标系中，，.则下列结论中，正确的是（ ）

A． ．

C． ．在上的投影为

【答案】AD

【分析】

，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；由于在上的投影为，故D正确.

【详解】

，则，故A正确；，故B错误；，故C错误；

由于，故在上的投影为，故D正确。

故选：AD

【点睛】

本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.