2021年北京市朝阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。

1．（2分）中国首次火星探测任务天问一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约11000千米处，拍摄了火星全景图像．将11000用科学记数法表示应为（　　）

A．11×103    ×103    ×104    ×105

2．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．长方体    B．三棱柱    C．三棱锥    D．圆锥

3．（2分）如图，AB∥CD，∠A＝100°，∠BCD＝50°，∠ACB的度数为（　　）

A．25°    B．30°    C．45°    D．50°

4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．角    B．等腰三角形    C．平行四边形    D．正六边形

5．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a+b＞0，则b的值可以是（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

6．（2分）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（　　）

A．m≠2    B．m＞2    C．m≥2    D．m＜2

8．（2分）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t表示小球滚动的时间，v表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时v与t的函数关系的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　    　．

10．（2分）写出一个比﹣大且比小的整数　         　．

11．（2分）二元一次方程组的解为　                　．

12．（2分）如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为　             　．

13．（2分）如图，△ABC中，BC＞BA，点D是边BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），若再增加一个条件，就能使△ABD与△ABC相似，则这个条件可以是　                　（写出一个即可）．

14．（2分）如图，直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为　      　．

15．（2分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，BO＝DO．有如下四个结论：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③AB＝CD；④AO＝CO．上述结论中，所有正确结论的序号是　   　．

16．（2分）某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题6分；第23题5分；第24-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）

17．（5分）计算：（）﹣1+2cos45°﹣|﹣|+（2021﹣π）0．

18．（5分）解不等式组：．

19．（5分）解方程：+1＝．

20．（5分）已知2y2﹣y﹣1＝0，求代数式（2y+x）（2y﹣x）﹣（2y﹣x2）的值．

21．（5分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．

求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；

②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；

③连接BP交AC于点D．

线段BD就是所求作的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接PC．

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上．

∵点P在⊙A上，

∴∠CPB＝∠BAC　        　（填推理的依据）．

∵BC＝PC，

∴∠CBD＝　        　．

∴∠CBD＝∠BAC

22．（6分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠ACD＝∠ECD；

（2）连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．

23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，2）是直线l：y＝x﹣1与函数y＝（x＞0）的图象G的交点．

（1）①求a的值；

②求函数y＝（x＞0）的解析式．

（2）过点P（n，0）（n＞0）且垂直于x轴的直线与直线l和图象G的交点分别为M，N，当S△OPM＞S△OPN时，直接写出n的取值范围．

24．（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．

（1）求证：∠ADE＝∠DBE；

（2）若sinA＝，BC＝6，求⊙O的半径．

25．（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品橙子的质量，进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

a．测评分数（百分制）如下：

甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，，，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98

乙：69，79，79，79，86，87，87，，，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98

b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：

测评分数x

个数

（1）写出表中m，n的值

（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为　 　；

（3）根据抽样调查情况，可以推断　 　种橙子的质量较好，理由为　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

26．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．

（1）依题意补全图形

（2）求∠AFE的度数；

（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；

（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；

（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”

（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．

①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为　      　；

②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为　      　；

（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．

①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；

②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．

2021年北京市朝阳区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。

1．【解答】×104．

故选：C．

2．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个三角形，

则可得出该几何体是三棱柱．

故选：B．

3．【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝100°．

∴∠A+∠ACD＝180°．

∴∠ACD＝80°．

∵∠BCD＝50°．

∴∠ACB＝∠ACD﹣BCD＝30°．

故选：B．

4．【解答】解：A．角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

5．【解答】解：根据数轴有：﹣2＜a＜﹣1．

∵a+b＞0．

∴b的值可以是2．

故选：D．

6．【解答】解：根据题意画树状图如图：

共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种，

∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为＝，

故选：A．

7．【解答】解：根据题意得△＝m2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2＞0，

解得m≠2，

故选：A．

8．【解答】解：由题意得，

∵小球从静止开始，设速度每秒增加的值相同为a．

∴v＝v0+at＝0+a×t，

即v＝at．故是正比例函数图象的一部分．

故选：D．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，

故实数x的取值范围是：x≥5．

故答案为：x≥5．

10．【解答】解：∵1＜2＜4，

∴，

∴，

∴比﹣大且比小的整数有﹣1，0，1．

故答案为：﹣1（或0或1）．

11．【解答】解：，

②+①得3x+3y＝3，即x+y＝1③，

①﹣③得，x＝0，

②﹣③得，y＝1，

∴方程组的解为，

故答案为：．

12．【解答】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，

则OC2+OD2＝CD2，

∴∠COD＝90°，

∴与的长度之比＝：＝：1，

故答案为：：1．

13．【解答】解：∵∠ABD＝∠CBA，

∴当∠BAD＝∠C时，△BAD∽△BCA；

当∠BDA＝∠BAC时，△BAD∽△BCA；

当时，△BAD∽△BCA．

故答案为∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或．

故答案为∠BAD＝∠C或∠BDA＝∠BAC或．

14．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，

∴点A（0，3），

当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，

∴x1＝3，x2＝﹣1，

∴点B（3，0），

∴等式﹣x2+2x+3＞kx+b的解集为0＜x＜3，

故答案为0＜x＜3．

15．【解答】解：∵AC⊥BD，

∴∠AOB＝∠AOD＝90°，

在△AOB和△AOD中，

，

∴△AOB≌△AOD（SAS），

∴AD＝AB，∠BAC＝∠DAC，

由条件不能证明AB＝CD，AO＝CO，

故①②正确，

故答案为①②．

16．【解答】解：∵已经完成体检的男生、女生的人数之比为4：3．

∴已经体检了的人数为7的倍数．

∴去掉1班的时候，其他7个班相加为161，161是7的倍数，故可能为1班没有体检；

去掉5班其他7个班相加168，也是7的倍数，故可能为5班没有体检．

故答案为：1班或者5班．

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题6分；第23题5分；第24-26题，每小题5分；第27-28题，每小题5分）

17．【解答】解：原式＝4+2×﹣+1

＝4+﹣+1

＝5．

18．【解答】解：解不等式x﹣1＜x，得：x＜2，

解不等式2（1+x）＞x，得：x＞﹣2，

则不等式组的解集为﹣2＜x＜2．

19．【解答】解：去分母得：1+x+2＝2x，

解得：x＝3，

经检验，x＝3是原方程的解，

∴原方程的解为：x＝3．

20．【解答】解：原式＝4y2﹣x2﹣2y+x2

＝4y2﹣2y，

当2y2﹣y﹣1＝0，即2y2﹣y＝1时，

原式＝2（2y2﹣y）＝2×1＝2．

21．【解答】解：（1）如图，BD为所作；

（2）证明：连接PC，如图，

∵AB＝AC，

∴点C在⊙A上．

∵点P在⊙A上，

∴∠CPB＝∠BAC（圆周角定理），

∵BC＝PC，

∴∠CBD＝∠CPB，

∴∠CBD＝∠BAC．

故答案为：圆周角定理；∠CPB．

22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，

∴OC＝OD，

∴∠ODC＝∠OCD，

∵CE∥BD，

∴∠ODC＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠ECD；

（2）过点O作OF⊥AD于F，

∵AB＝CD＝2，tan∠ACD＝＝2，

∴AD＝4，

∵DO∥CE，

∴，

∴DE＝AD＝4，

∵OF∥CD，

∴△AFO∽△ADC，

∴，

∴AF＝DF＝2，OF＝CD＝1，

∴EF＝6，

∴EO＝＝＝．

23．【解答】解：（1）①A（a，2）代入y＝x﹣1得：2＝a﹣1，

∴a＝3；

②∵a＝3，

∴A（3，2），

把A（3，2）代入y＝得：2＝，

∴k＝6，

∴函数y＝（x＞0）的解析式为y＝；

（2）如图：

∵S△OPM＝OP•PM，S△OPN＝OP•PN，S△OPM＞S△OPN

∴PM＞PN，即yM＞yN，

由图象G：y＝与直线l：y＝x﹣1交于A（3，2）知，当x＞3时，yM＞yN，

∴当S△OPM＞S△OPN时，x＞3，即n＞3．

24．【解答】（1）证明：连接OD，如图，

∵AC为切线，

∴OD⊥AD，

∴∠ODA＝90°，

∵BE为直径，

∴∠BDE＝90°，

∵∠DBE+∠BED＝90°，∠ADE+∠ODE＝90°，

而∠ODE＝∠OED，

∴∠ADE＝∠DBE；

（2）解：设⊙O的半径为r，

在Rt△ACB中，sinA＝＝，

∴AB＝BC＝×6＝10，

∵OD⊥AD，BC⊥AC，

∴OD∥BC，

∴△ADO∽△ACB，

∴＝，即＝，

解得r＝，

即⊙O的半径为．

25．【解答】解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91，即m＝91，

将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90，因此中位数是90，即n＝90，

答：m＝91，n＝90；

（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得s12＜s22，

故答案为：＜；

（3）甲品种较好，理由为：甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高．

故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高．

26．【解答】解：（1）图形如图所示：

（2）∵AB＝AC＝AE，

∴点A是△BCE的外心，

∵∠CAE＝60°，∠CBE＝∠CAE，

∴∠CBE＝30°，

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDF＝90°，

∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣30°＝60°．

（3）结论：EF＝AF+BF．

理由：如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．

∵AD垂直平分线段BC，

∴FB＝FC，

∴∠BFD＝∠CFD＝∠AFE＝60°，

∴∠CFE＝60°，

∵FT＝FC，

∴△CFT是等边三角形，

∴CF＝CT，∠FCT＝60°，

∵AC＝AE，∠CAE＝60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴CA＝CE，∠ACE＝∠FCT＝60°，

∴∠FCA＝∠TCE，

∴△FCA≌△TCE（SAS），

∴AF＝ET，

∴EF＝FT+ET＝BF+AF．

27．【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，

y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，

∵对称轴是直线x＝1．

∴﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，

∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，

∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，

∴a＜0不合题意；

②a＞0时，抛物线开口向上，

∵对称轴是直线x﹣2的距离大于1到3的距离，

∴x＝﹣2时，y的值最大，

∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，

将b＝﹣2a代入得，a＝1；

（3）①t≤0时，

∵a＝1，

∴b＝﹣2a＝﹣2，

∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，

∵m﹣n＝3，

∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；

②≤t＜1时，

∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，

∵m﹣n＝3，

∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；

③0＜t≤时，

y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，

m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；

④t≥1时，

∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，

m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；

综上，t的值为﹣1或2．

28．【解答】解：（1）①如图1中，观察图像可知B（2，0）．

故答案为：（2，0）．

②如图，A′（﹣1，2），

故答案为：（﹣1，2）．

（2）①如图2中，过点E作EP⊥x轴于P，过点E′作E′H⊥x轴于H．

∵∠EPG＝∠EGE′＝∠GHE′＝90°，

∴∠E+∠PGE＝90°，∠PGE+∠E′GH＝90°，

∴∠E＝∠E′GH，

∵EG＝GE′，

∴△EPG≌△GHE′（AAS），

∴EP＝GH＝3，PG＝E′H＝a+3，

∴OH＝3+a，

∴E′（3+a，3+a）．

②如图3中，观察图像可知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上．

∵E′（3+m，3+m），OE′＝2，

∴3+m＝，

∴m＝﹣3，

∴E′（，），

∴EE′＝＝．