2013级硕士研究生数值分析期末考试试卷及答案(推荐文档)

（A卷）

一、填空题（每空2分，共40分）

1．要使的相对误差不超过，应取  4  位有效数字。

2．设在上的最佳二次逼近多项式为 ，最佳平方逼近二次多项式为 。

3．求积公式至少具有_  3  次代数精度。

4．解线性方程组的SOR迭代法收敛，则松弛因子有  ，设建立迭代公式，写出逐次超松弛迭代法  。

5．，其条件数  39205  ，   39601   。

6．设，计算向量的范数，=  6， ，=  3。 

7．求方程根的牛顿迭代格式是  ，其收敛阶=  2。  弦截法迭代格式是 ，其收敛阶=  1.618。

8．是以0，1，2为节点的三次样条函数，

则a=    0    ，b=    -2    ，c=    3    。

9．对矩阵作LU分解，其，。

二、计算题（每题10分，共50分）

1．求出一个次数不高于4次的插值多项式，使它满足 ，，并写出余项表达式（要有推导过程）。

解：由题意知，以为三次重根，所以可设，由插值条件得

     所以得，故，

设

由反复用罗尔定理得在(0,1)上存在，使即，则，所以

，余项为。

2．给定积分

（1）利用复合梯形公式计算上述积分值，问区间[0,1]应分成多少等分才能使其截断误差不超过；

（2）取同样的求积结点，改用复合Simpson公式计算时，截断误差是多少？

解：由于，所以

故

（1）对复合梯形公式，有

为了使截断误差不超过，只须18n2≥1000，解得n≥7.5。故用复合梯形公式计算时，取8等分即可。

（2）将区间[0，1]8等分，改用复合Simpson 公式，由于h = 1/4=0.25，由于

=1/36800≈2.7127×10 –7

3. 设，，用表示解线性方程组的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件。

解：雅可比迭代法

，则雅可比迭代法的充分必要条件是。

高斯-塞德尔迭代法

，则高斯-塞德尔迭代法的充分必要条件是。

4. 已知如下实验数据, 用最小二乘法求形如的经验公式。

解得  ，所以经验公式为 

5. 用梯形公式解初值问题  

取步长h = 0.1, 计算到。

解：梯形法公式，计算

。

三、证明题（共10分）

设, 在的某个邻域内连续, 并且,则对任何 ,证明：（1）由迭代决定的序列收敛于；（2）误差估计.

证明：

,

所以  , 则；

同样  

当，则得，即。