广州中考数学易错题专题复习-二次函数练习题

1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直

线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛

物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．

试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，解得：，或．

故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA

=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××

=4+﹣

=；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b，

∵P的坐标为（2，4），

∴4=×2+b，解得b=3，

∴直线PM的解析式为y=x+3．

由，解得，

∴点M的坐标为（，）．

考点：二次函数的综合题

2．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．

（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；y ＝﹣x +1；（2）当x ＝﹣

12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278

，此时点P 的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为102

【解析】

【分析】

（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣32x 2﹣32

x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．

【详解】

（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：

10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩

， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；

设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0），

将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：

023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩

， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．

（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．

设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），

∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3），

∴点Q 的坐标为（﹣2，0），

∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3，

∴S △APC ＝

12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278 ． ∵﹣32

＜0， ∴当x ＝﹣

12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278

，此时点P 的坐标为（﹣12，154 ）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3，

∴点N 的坐标为（0，3）．

∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1．

∵点C 的坐标为（﹣2，3），

∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示．

∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，

∴MN ＝CM ，

∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ，

∴此时△ANM 周长取最小值．

当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2，

∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．

∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），

∴AC

＝，AN ，

∴C

△ANM ＝AM +MN +AN ＝AC +AN ＝．

∴在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为

32+10．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关

系式；（2）利用三角形的面积公式找出S △APC ＝﹣

32x 2﹣32

x +3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．

3．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.

【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）

(2)m 、n 的值分别为 5，-5

【解析】

（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得：

4b+c-16=0，b+c-1="3" ，

解得：b="4" ， c=0．

所以抛物线的表达式为：24y x x =-+．

y=-224(2)4y x x x =-+=--+，

所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．

（2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）．

三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20，

所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）

又n=-2m +4m ，

所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)

故所求m 、n 的值分别为 5，-5．

4．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k （x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．

（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；

（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142

y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；

（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．

【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣

32，y 最大值为338

；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】

【分析】

（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；

（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；

（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12

m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标， 由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338

； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣

1m

（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．

【详解】

（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13

（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，

点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），

则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12

x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣

12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n m

x ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122

n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838

m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32

m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32

m+3，

2

，y最大值为

33

8

；

（4）直线CD的表达式为：y＝﹣1

m

（x+3），

令x＝0，则y＝﹣3

m

，令y＝0，则x＝﹣3，

故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3

m

），则点H（﹣

3

2

，﹣

3

2m

），

同理可得：点G（﹣

3

2m

，

3

2

），

则GH2＝（3

2

+

3

2m

）2+（

3

2

﹣

3

2m

）22，

解得：m＝﹣3（正值已舍去），

则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），

则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．

【点睛】

此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.

5．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．

（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？

（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）

（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深

加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝1

2

x+3

（2≤x≤10）．

①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？

②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？

【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x ＝8时，此时W 最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x ≤8．

【解析】

【分析】

（1）设其解析式为y ＝kx +b ，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；

（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣

12x +13﹣4）x ＝﹣12

x 2+9x ，根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．

【详解】

（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数．

∴设其解析式为y ＝kx +b ，

∵图象经过点（2，12），（8，9）两点， ∴212k b k b +=⎧⎨+=⎩

， 解得k ＝﹣12

，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣

12x +13， 当x ＝6时，y ＝10，

答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；

（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣

12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2b a

＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣

12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12

x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3，

②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．

故答案为：3＜x≤8．

【点睛】

本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．

6．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣3x。

（2）点B的坐标为：（4，4）。

（3）存在；理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。

【详解】

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。

∵△AOB 的面积等于6，∴

12

AO•BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，

∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x 轴下方不存在B 点。

∴点B 的坐标为：（4，4）。

（3）存在。 ∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=

+=。 若∠POB=90°，则∠POD=45°。

设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2x x 3x =-。

若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若()2x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。

当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。

∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222=+=

∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：12PO•BO=12×2×2=8。

7．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y （件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

【答案】（1）y 10000x 80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元

【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b ，

把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b 300006k b 20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k 10000b 80000=-⎧⎨=⎩

。 ∴y 与x 之间的关系式为：y 10000x 80000=-+。

（2）设利润为W ，则

()()()()2

2W x 410000x 8000010000x 12x 3210000x 0000=--+=--+=--+， ∴当x=6时，W 取得最大值，最大值为40000元。

答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。

（1）利用待定系数法求得y 与x 之间的一次函数关系式。

（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W 与销售价格x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值。

8．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(

10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）223y x x =++-；（2）存在，点(1

2)P ，1032；（3）存在，点M 坐标为(1

4)， 【解析】

【分析】

（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，）

，故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．

（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则

PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，

PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x ＝代入即求得点P 纵坐标．

（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA

距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标．

【详解】

解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）

∴可设交点式13y a x x +＝（

）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝

1a ∴＝﹣

21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣

∴抛物线解析式为223y x x ++＝-

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小．

如图1，连接PB 、BC

∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称

PA PB ∴＝

PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝

∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小

103003A B C （﹣，）、（，）、（，）

AC BC ∴===

PAC C AC CB ∆∴+＝

设直线BC 解析式为3y kx +＝

把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣

∴直线BC ：3y x +＝﹣

132P y ∴+＝﹣＝

∴

点12P （，）

使PAC ∆． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝．

∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC

∴当以PA 为底时，两三角形等高

∴点C 和点M 到直线PA 距离相等

∵M 在x 轴上方

//CM PA ∴

1012A P （﹣，），（，）

，设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1d 1=⎧⎨=⎩

∴直线1AP y x +：＝

∴直线CM 解析式为：3y x +＝

2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩

解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），22

14x y =⎧⎨=⎩ ∴点M 坐标为14（，）

【点睛】

考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．

9．在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A ．

(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；

(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”

①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；

②平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.

【答案】(l)抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1.

【解析】

【分析】

（1）10a =>，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为()1,1-；

（2）①设抛物线“不动点”坐标为(),t t ，则22t t t =-，即可求解；②新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点(),B m m ，则新抛物线的对称轴为：x m =，与x 轴的交点(),0C m ，四边形OABC 是梯形，则直线x m =在y 轴左侧，而点()1,1A -，点(),B m m ，则1m =-，即可求解.

【详解】 (l)10a =>，

抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，

抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.

(2)①设抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”坐标为(t ，t).

则t ＝t 2－2t ，解得t 1＝0，t 2＝3.

所以，抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3).

②∵新抛物线的顶点B 是其“不动点”，∴设点B 的坐标为(m ，m)

∴新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点为C(m ，0)

∵四边形OABC 是梯形，

∴直线x ＝m 在y 轴左侧.

∵BC 与OA 不平行

∴OC ∥AB.

又∵点A 的坐标为(1，一1)，点B 的坐标为(m ，m)，

∴m ＝－1.

∴新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位得到的，

∴新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1.

【点睛】

本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.

10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=

12x 2+32

x ﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过A ，C 两点，连接BC ．

（1）求直线l 的解析式； （2）若直线x=m （m ＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E ，与直线l 交于点D ，连接OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；

（3）取点G （0，﹣1），连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ，使∠BAP=∠BCO ﹣∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=

1

2

2

x

--；（2）

DE=

32

25

；（3）存在点P（

13

9

，

98

81

），使

∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；

（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；

（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．

【详解】

（1）∵抛物线y=

1

2

x2+

3

2

x-2，

∴当y=0时，得x1=1，x2=-4，当x=0时，y=-2，

∵抛物线y=1

2

x2+

3

2

x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，∴点A的坐标为（-4，0），点B（1，0），点C（0，-2），

∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，

40

2

k b

b

-+

⎧

⎨

-

⎩

＝

＝

，得

1

2

2

k

b

⎧

-

⎪

⎨

⎪-

⎩

＝

＝

，

即直线l的函数解析式为y=−

1

2

x−2；

（2）直线ED与x轴交于点F，如图1所示，

由（1）可得，

AO=4，OC=2，∠AOC=90°，

∴AC=25， ∴OD=45525=， ∵OD ⊥AC ，OA ⊥OC ，∠OAD=∠CAO ，

∴△AOD ∽△ACO ，

∴

AD AO AO AC ＝， 即425AD ＝，得AD=85， ∵EF ⊥x 轴，∠ADC=90°，

∴EF ∥OC ，

∴△ADF ∽△ACO ，

∴AF DF AD AO OC AC

＝＝， 解得，AF=

165，DF=85， ∴OF=4-

165=45， ∴m=-

45， 当m=-

45时，y=12×（−45）2+32×（-45）-2=-7225， ∴EF=7225

， ∴DE=EF-FD=7225−85＝3225

； （3）存在点P ，使∠BAP=∠BCO-∠BAG ，

理由：作GM ⊥AC 于点M ，作PN ⊥x 轴于点N ，如图2所示，

∵点A （-4，0），点B （1，0），点C （0，-2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，

∴tan ∠OAC=

2142OC OA ＝＝，tan ∠OCB=12

OB OC ＝，

， ∴∠OAC=∠OCB ，

∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ，∠GAM=∠OAC-∠BAG ，

∴∠BAP=∠GAM ， ∵点G （0，-1），

OA=4，

∴OG=1，GC=1，

∴

，

••22AC GM CG OA ＝

，即1422GM ⨯＝， 解得，

， ∴

=， ∴tan ∠

GAM=29

GM AM =， ∴tan ∠PAN=29

， 设点P 的坐标为（n ，

12n 2+32n-2）， ∴AN=4+n ，PN=12n 2+32

n-2， ∴2132222 49

n n n +-+＝， 解得，n 1=139

，n 2=-4（舍去）， 当n=139时，12n 2+32n-2=9881

， ∴点P 的坐标为（139，9881

）， 即存在点P （139，9881

），使∠BAP=∠BCO-∠BAG ． 【点睛】

本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．