北京市各区2012年初三第一学期期末试题按难度分类(二)中等题

（朝阳）7. △在平面直角坐标系中的位置如图所示，

其中A(1, 2)，B(1, 1)，C(3, 1)，将△绕原点

顺时针旋转后得到△，则点A旋转到点

所经过的路线长为

A．             B．    

C．           D．                              （第7题图）               

（东城）16．在平面直角坐标系xoy中，已知三个顶点的坐标分别为 

     ⑴ 画出；

    ⑵ 画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出的长.

.                                                 

(通县)12．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到．如果，，

则图中阴影部分面积为   ．

（东城）8. 已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为  

（丰台）8．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是

A                     B                 C                  D

(房山)8、根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：

①x＜0 时，   ②△OPQ的面积为定值．  ③x＞0时，y随x的增大而增大．④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（　　）

    A、①②④        B、②④⑤       C、③④⑤        D、②③⑤

（东城）17. 已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

   (2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

   (3) 若A（m,y1）,B(m+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时， 

（朝阳）9. 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为    .

（东城）12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上， OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时,的值为           ；当时，的值为         .(用含n的式子表示)

（丰台）14．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形” ．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3． 

（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是                 ；

图1图2

（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=               ；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n个内接正方形的边长an=               ．（n为正整数）  

(丰台）17．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，联结BD，过点C作CE⊥BD于交AB于点E，垂足为点H，若AD=2，AB=4，求sin∠BCE．

 (通县)20．把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．   

（西城北）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4 ．以斜边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转角

（），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点

的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时等于  

        ° ，△DEG的面积为     ．

（朝阳）10. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R的值是        .

（海淀）8. 已知O为圆锥顶点, OA、OB为圆锥的母线, C为OB中点, 一只小蚂

  蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬

  行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 

  则得到的圆锥侧面展开图为 (    )

            A                   B                  C                   D

(大兴)12. 如图所示，长为4，宽为3的长方形木板在桌面上做

无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A位置变化为，

由此时长方形木板的边

与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时所经过的路径总长度为    cm. 

(大兴)17.已知：如图，将正方形ABCD纸片折叠，使顶点A落在边CD上的

点P处(点P与C、D不重合)，点B落在点Q处，折痕为EF，PQ与

BC交于点G．

求证：△PCG∽△EDP.

（朝阳）11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是       ．

（海淀）12．用两个全等的含30 角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的 半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30 角的顶点, 按先A后B 的顺序交替摆放A、B两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡片

 8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为            ; 若摆放这个图案共用两种卡片(2n+1)张( n为正整数), 则这个图案中阴影部分的面积之和为          . (结果保留  )

  ……

       A种 B种

   (大兴)21.作图题（要求用直尺和圆规作图，不写出作法，

只保留作图痕迹，不要求写出证明过程）.

已知：圆.

求作：一条线段，使它把已知圆分成面积相等的两部分．

 (石景山)12．如图，⊙A与x轴交于B（2，0）、（4，0）两点，OA=3，点P是

y轴上的一个动点，PD切⊙O于点D，则PD的最小值是                 ．

(通县)16．已知:如图,AD平分, ,且,求DE的长.

（怀柔）21. 如图，是⊙O的直径，是弦，，延长到点，使得∠ACD=45°．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若，求的长．

证明：

 (房山)21、如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD．已知BD=2，AD=3．

求：（1）tanC； （2）图中两部分阴影面积的和．

（西城北）12．已知二次函数，（1）它的最大值为     ；（2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m=      ，n=     ．

(房山)24.探究 ：  (1) 在图1中，已知点E，F分别为线段AB，CD的中点．

①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；

②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；

（2）若已知线段AB的端点坐标为A (1，3)， B (5，1)

则线段AB的中点D的坐标为          ；

(3)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，

则线段AB的中点D的坐标为             .（用含a，b，c，d的

代数式表示）．

归纳 ： 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，

当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，

x=_________，y=___________．（不必证明）

●运用 ： 在图2中，一次函数与反比例函数

的图象交点为A，B．

①求出交点A，B的坐标；

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，

请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

解：①

第24题图3

23．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（a＞0），半径为，函数的图象被⊙P截得的弦AB的长为2.

（1）试判断y轴与圆的位置关系，并说明理由.

（2）求a的值.

（平谷）13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，

点P是 半圆弧AC的中点，联结BP，线段BP把图形

APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，

则这两部分面积之差的绝对值是________.

（顺义）22．已知：如图，AB是⊙O的弦，，，点C是弦AB上一动点（不与点A、B重合），连结CO并延长交⊙O于点D，连结AD．

（1）求弦AB的长；

（2）当时，求的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似？

（顺义）19．如图，AB为⊙O的弦，C、D分别是OA、OB延长线上的点，且CD∥AB，CD交⊙O于点E、F，若，．

（1）求OD的长；

（2）若，求弦EF的长．

 (通县)19．已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE交于点F．①；②DE⊥AB；③AF=DF．请你写出以①、②、③中的任意两个条件，推出第三个（结论）的一个正确命题．并加以证明．

(大兴)22.已知:如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC=13，BC=24，

 PA∥BC，割线PBD过圆心，交⊙O于另一个点D，联结CD．

⑴求证：PA是⊙O的切线；

⑵求⊙O的半径及CD的长．

（顺义）23．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD =∠AOC ，AD⊥CD于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB=10，AD＝2，求AC的长．

（丰台）20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O． 

（1）求证：BC为⊙O的切线；   

 (2）若AC= 6，tanB=，求⊙O的半径．

（东城）20. 如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.

(1) 求证：CD为⊙O的切线；

(2) 若CD=2AD，⊙O的直径为10，求线段AC的长.

（西城南）24．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点.

   （1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，

        求AM的长；

（1）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=，，（其中），直接写出AM的长(用含有a，b的代数式表示).

（东城）15．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，求DB 的长.

（海淀）21. 如图，AB是⊙O的直径， 点C在⊙O上，CE  AB于E, CD平分 ECB, 交过 点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD.

    （1）求证：BD是⊙O的切线；

 （2）若AE=9, CE=12, 求BF的长.

(石景山)22． 如图， △ABC中，以为直径的⊙O交AC于点E，OD⊥AC于D，∠AOD=∠C．

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）若，求OD的长．

（平谷）23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC

于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．

（燕山）23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，在AC的延长线上取点P，使∠CBP＝∠A．

（1）判断直线BP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若⊙O的半径为1，tan∠CBP＝0.5，求BC和BP的长．

（朝阳）14. 如图，已知，求AB和BC的长.

（朝阳）15. 如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，

连接CE，与AD相交于点F.

（1）求证：△EBC∽△CDF；

（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．

（海淀） 16. 如图, 在正方形网格中，△ABC的顶点和O点都在格点上．

 （1）在图1中画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′；

 （2）在图2中以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍(只需画出一种即可).

  解:

（顺义）12．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为                ．

（顺义）8．如图，将抛物线平移后经过原点O和点，平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为

A． 　 　 B．    　  C．   　　D． 

（平谷）22. 如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，

边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB

沿x轴正方向平移1个单位长度后得△．

（1）求以A为顶点，且经过点的抛物线的解析式；

（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于

点D，求点D、C的坐标．

（燕山）24. 已知：如图，正方形纸片ABCD的边长是4，点M、N分别在两边AB和CD上（其中点N不与点C重合），沿直线MN折叠该纸片，点B恰好落在AD边上点E处．

（1）设AE＝x，四边形AMND的面积为 S，求 S关于x 的函数解析式，并指明该函数的定义域；

（2）当AM为何值时，四边形AMND的面积最大？最大值是多少？

（3）点M能是AB边上任意一点吗？请求出AM的取值范围．   

       （朝阳）16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△是以

坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），

B′（6，2）.

（1）若点A（，3），则A′的坐标为     ；

（2）若△ABC的面积为m，则△A′B′C′的面积＝    .

（海淀）17．已知关于x的方程(k-2)x2＋2(k-2)x＋k＋1=0有两个实数根，求正整数k的值． 

（朝阳）17. 二次函数的部分图象如图所示，其中图象与

x轴交于点A（－1,0），与y轴交于点C（0，－5），且经过点

D（3，－8）.

（1）求此二次函数的解析式； 

（2）将此二次函数的解析式写成的形式，

并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标.

（平谷）25.已知关于x的二次函数(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）.

（1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当时，求的值.

解： 

(通县)22．如图，在平面直角坐标系中，

以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在⊙上．

（1）求的大小；

（2）写出两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（丰台）22．小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点处，两条直角边与抛物线交于、两点． 

（1）如图1，当时，则=           ；

（2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点旋转到如图2所示的位置时，过点作轴于点，测得，求出此时点的坐标；

（3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段总经过一个定点，请直接写出该定点的坐标．

图1

 (石景山)21．如图，抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在x轴上找一点D，使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标．

（朝阳）21. 已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=－1．

（1）求的值；

（2）画出这条抛物线； 

（2）若直线过点B且与抛物线交于点

（－2m，－3m），根据图象回答：当取

什么值时，≥.

(石景山)24．已知函数（m是常数）．

 （1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

 （2）若一次函数的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求m的值 及这个交点的坐标．

（西城北）18．如图，在Rt△ABC中，，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．

  （1）若AD=10，，求AC的长和的值；

  （2）若AD=1， =，参考（1）的计算过程直接写 

       出的值（用和的值表示）．

（西城北）19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形的边长为1，将其沿轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为． 

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；

（2）画出点运动的曲线（0≤≤4），并直接写出该曲线与轴所围成区域的面积．

（怀柔）24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点顺时针旋转角， 旋转后的矩形记为矩形．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为               ；

（2）当是等边三角形时，旋转角的度数是             （为锐角时）；

（3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标．

(4) 如图③，当旋转角时，请判断矩形的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

图① 图②图③

(石景山)23．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕顶点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C．联结A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′ 和S△BCB′．

（1）直接写出S△ACA′ ︰S△BCB′ 的值                   ；

（2）如图2，当旋转角为（0°＜＜180°）时，S△ACA′ 与S△BCB′ 的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写出变化后的比值（可用含的代数式表示）．

图1                     图2

20．(石景山)某超市按每袋20元的价格购进某种干果．销售过程中发现，每月销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：

        （）．

   （1）当x=45元时，y=         袋；当y=200袋时，x=         元；

   （2）设这种干果每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月                           可获得最大利润？最大利润是多少?

（丰台）21．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据：

     （2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

（朝阳）22. 某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.

（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？

（东城）22．李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2 000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。

（1）存放x天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为y元，试求出y与x之间的函数关系式；

（2）如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计340元，李经理要想获得利润22 500元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）

（东城）19．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，请你计算AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．

（西城北）17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形

的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面

积为S平方米．

（1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？ 

（海淀）19．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足(20≤x≤40),设销售这种手套每天的利润为y（元）.

    （1）求y与x之间的函数关系式；

     （2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？

（东城）18．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED.

（海淀）6. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作

      测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好

      落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距6m,与树相距

      15m，则树的高度为 (    ) 

A. 4m 5m 7m m

（东城）21. 在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 .

（1）求口袋中红球的个数；

（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.