2019-2020学年辽宁省沈阳市沈河区八年级下学期期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题）.

1．若x＞y，则下列不等式中成立的是（　　）

A．x﹣y＜0    B．x＜y    C．x﹣3＜y﹣3    D．4x＞4y

2．若分式的值为零，则x的值为（　　）

A．0    B．1    C．﹣1    D．±1

3．下面是四个手机APP的图标，其中是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（　　）

A．5    B．10    C．20    D．24

5．下列等式成立的是（　　）

A．＝    B．＝﹣1    

C．＝    D．＝x+y

6．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）

A．平行四边形的两组对角分别相等    

B．正多边形的每条边都相等    

C．成中心对称的两个图形一定全等    

D．矩形的两条对角线相等

7．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）

A．a2+b2    B．2a﹣b2    C．a2﹣b2    D．﹣a2﹣b2

8．下列说法不正确的是（　　）

A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形    

B．平行四边形的对角线互相平分    

C．平行四边形的对角互补，邻角相等    

D．平行四边形的对边平行且相等

9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（　　）

A．2    B．    C．    D．

10．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b≥x+a的解集是（　　）

A．x＞﹣2    B．x≥﹣2    C．x≤﹣2    D．无法确定

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．一个多边形的内角和等于1080°，它是　   　边形．

12．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为　   　．

13．若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为　   　．

14．2020年初，全国口罩紧缺，某口罩生产企业准备开通A，B两条口罩生产线，总日产量5万只，已知A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同．设A生产线的口罩日产量是x万只，则可列出分式方程　   　．

15．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为　   　．

16．如图，点A（2，a）在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，若点C在△AOB的内部，到点O、B的距离相等且CA＝AB，则点C的坐标为　   　．

三、解答题（第17小题6分，18．19小题各8分，共22分）

17．因式分解：

（1）2a3﹣8a2+8a；

（2）9x2（9x2﹣2）+1．

18．利用数轴解不等式组：．

19．先化简，再求值：若x＝3y，求﹣﹣的值．

四、（每小题8分，共16分）

20．解方程：﹣3＝．

21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）

（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；

（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

五、（本题10分）

22．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设超市购进这批水果的总量为m千克，每千克进价为n元（不计超市其它费用）．

（1）如果超市在进价的基础上提高10%作为售价，此时：

①超市最终的销售额为　   　元（用含m、n的代数式表示）；

②在这一次销售中，超市　   　（填：盈利或亏本）．

（2）如果超市至少要获得17%的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？

六、（本题10分）

23．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．

七、（本题12分）

24．如图，△ABC中，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连结AD、CE．且AB＝AC．

（1）如图1，若D为BC中点时，求证：四边形ADCE是矩形；

（2）如图2，若D不是BC中点，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝10时，求四边形ADCE的面积．

八、（本题12分）

25．如图1，已知AB⊥CD，C是AB上一动点，AB＝CD

（1）在图1中，将BD绕点B反时针方向旋转90°到BE，若连接DE，则△DBE为等腰直角三角形；若连接AE，试判断AE与BC的数量和位置关系并证明；

（2）如图2，F是CD延长线上一点，且DF＝BC，直线AF，BD相交于点G，∠AGB的度数是一个固定值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

参

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）

1．若x＞y，则下列不等式中成立的是（　　）

A．x﹣y＜0    B．x＜y    C．x﹣3＜y﹣3    D．4x＞4y

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．

解：∵x＞y，

∴x﹣y＞0，故本选项不符合题意；

B、∵x＞y，

∴x＞y，故本选项不符合题意；

C、∵x＞y，

∴x﹣3＞y﹣3，故本选项不符合题意；

D、∵x＞y，

∴4x＞4y，故本选项符合题意；

故选：D．

2．若分式的值为零，则x的值为（　　）

A．0    B．1    C．﹣1    D．±1

【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．

解：由x2﹣1＝0，

得x＝±1．

①当x＝1时，x﹣1＝0，

∴x＝1不合题意；

②当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，

∴x＝﹣1时分式的值为0．

故选：C．

3．下面是四个手机APP的图标，其中是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．

解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：B．

4．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（　　）

A．5    B．10    C．20    D．24

【分析】根据菱形的性质即可求出答案．

解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，

∴菱形的边长为：＝5，

∴菱形的周长为：4×5＝20，

故选：C．

5．下列等式成立的是（　　）

A．＝    B．＝﹣1    

C．＝    D．＝x+y

【分析】利用分式的基本性质化简即可．

解：A、原式不能约分，原等式不成立，故此选项不符合题意；

B、原式不能约分，原等式不成立，故此选项不符合题意；

C、原式不能约分，原等式不成立，故此选项不符合题意；

D、原式变形后可以约分，原等式成立，故此选项符合题意，

故选：D．

6．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）

A．平行四边形的两组对角分别相等    

B．正多边形的每条边都相等    

C．成中心对称的两个图形一定全等    

D．矩形的两条对角线相等

【分析】互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

解：A、平行四边形的两组对角分别相等的逆命题是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；

B、正多边形的每条边都相等的逆命题是每条边都相等的多边形是正多边形，是假命题；

C、成中心对称的两个图形一定全等的逆命题是两个图形全等一定成中心对称，是假命题；

D、矩形的两条对角线相等的逆命题是两条对角线相等的四边形是矩形，是假命题；

故选：A．

7．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）

A．a2+b2    B．2a﹣b2    C．a2﹣b2    D．﹣a2﹣b2

【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．

解：A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

B、2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

C、a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；

D、﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；

故选：C．

8．下列说法不正确的是（　　）

A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形    

B．平行四边形的对角线互相平分    

C．平行四边形的对角互补，邻角相等    

D．平行四边形的对边平行且相等

【分析】根据平行四边形的判断方法和各种性质解答即可．

解：A、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；

B、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；

C、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；

D、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；

故选：C．

9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（　　）

A．2    B．    C．    D．

【分析】由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．

解：设BF＝x，

∵将矩形沿AC折叠，

∴∠DCA＝∠ACF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，

∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，

∴FA＝FC＝8﹣x，

在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，

∴（8﹣x）2＝x2+42，

∴x＝3，

∴BF＝3，

∴AF＝5，

∴AF：BF的值为，

故选：B．

10．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b≥x+a的解集是（　　）

A．x＞﹣2    B．x≥﹣2    C．x≤﹣2    D．无法确定

【分析】不等式组kx+b≥x+a的解是一次函数y2＝x+a的图象y1＝kx+b下方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．

解：由图象得：不等式组kx+b≥x+a的解集是x≤﹣2．

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．一个多边形的内角和等于1080°，它是　八　边形．

【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．

解：设所求正n边形边数为n，

则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．

故答案为：八．

12．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为　AB＝BC　．

【分析】四边形ABCD是平行四边形，所以可添加条件为：邻边相等；对角线互相垂直．答案不唯一．

解：添加AB＝BC，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可使它成为菱形．

13．若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为　5　．

【分析】用2x，2y分别代替原式中的x，y，再根据分式的基本性质进行化简，观察分式的变化即可．

解：根据题意，得

新的分式为＝＝5．

故答案为：5．

14．2020年初，全国口罩紧缺，某口罩生产企业准备开通A，B两条口罩生产线，总日产量5万只，已知A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同．设A生产线的口罩日产量是x万只，则可列出分式方程　＝　．

【分析】设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是（5﹣x）万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合A生产线生产75万只口罩与B生产线生产25万只口罩所用天数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

解：设A生产线的口罩日产量是x万只，则B生产线的口罩日产量是（5﹣x）万只，

依题意，得：＝．

故答案为：＝．

15．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为　3或7　．

【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝5，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长．

解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，

∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，

∴PE＝PN，

∵PE＝PN，OP＝OP，

∴△OPE≌△OPN（HL），

∴OE＝ON＝5，

∵OM＝3，ON＝5，

∴MN＝2，

若点D在线段OE上，

∵PM＝PD，PE＝PN，

∴△PMN≌△PDE（HL），

∴DE＝MN＝2，

∴OD＝OE﹣DE＝3，

若点D在射线EA上，

∵PM＝PD，PE＝PN，

∴△PMN≌△PDE（HL），

∴DE＝MN＝2，

∴OD＝OE+DE＝7．

故答案为：3或7．

16．如图，点A（2，a）在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，若点C在△AOB的内部，到点O、B的距离相等且CA＝AB，则点C的坐标为　（1，2﹣）　．

【分析】作辅助线，构建直角三角形，设CM＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，可得结论．

解：如图，过C作CM⊥OB于M，作CP⊥AB于P，

∵点A（2，a）在直线y＝x上，

∴a＝2，

∴OB＝2，

设CM＝x，则PB＝x，AP＝2﹣x，

∵OC＝BC，CM⊥OB，

∴OM＝MB＝CP＝1，

Rt△ACP中，AC＝AB＝2，

由勾股定理得：AC2＝AP2+CP2，

∴22＝（2﹣x）2+12，

解得：x＝2﹣或2+（舍），

∴C（1，2﹣）．

故答案为：（1，2﹣）．

三、解答题（第17小题6分，18．19小题各8分，共22分）

17．因式分解：

（1）2a3﹣8a2+8a；

（2）9x2（9x2﹣2）+1．

【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．

解：（1）原式＝2a（a2﹣4a+4）

＝2a（a﹣2）2；

（2）原式＝81x4﹣18x2+1

＝（9x2﹣1）2

＝（3x+1）2（3x﹣1）2．

18．利用数轴解不等式组：．

【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．

解：解不等式①得：x≥1，

解不等式②得：x＜，

在数轴上表示不等式①、②的解集，得：

，

故不等式组的解集是：1≤x＜．

19．先化简，再求值：若x＝3y，求﹣﹣的值．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x＝3y代入计算可得．

解：原式＝﹣﹣

＝，

当x＝3y时，

原式＝＝．

四、（每小题8分，共16分）

20．解方程：﹣3＝．

【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解：方程两边同乘x﹣2，得1﹣3（x﹣2）＝﹣（x﹣1），即1﹣3x+6＝﹣x+1，

整理得：﹣2x＝﹣6，

解得：x＝3，

检验，当x＝3时，x﹣2≠0，

则原方程的解为x＝3．

21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）

（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；

（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

【分析】（1）利用点A和A1坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；

（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．

解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，

对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．

五、（本题10分）

22．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设超市购进这批水果的总量为m千克，每千克进价为n元（不计超市其它费用）．

（1）如果超市在进价的基础上提高10%作为售价，此时：

①超市最终的销售额为　0.99mn　元（用含m、n的代数式表示）；

②在这一次销售中，超市　亏本　（填：盈利或亏本）．

（2）如果超市至少要获得17%的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？

【分析】（1）①根据总价＝单价×数量，即可求出超市最终的销售额；

②将最终的销售额与进货成本比较后即可得出结论；

（2）设这种水果的售价最低应提高x%，根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

解：（1）①超市最终的销售额为（1+10%）n×（1﹣10%）m＝0.99mn（元）．

②∵0.99mn＜mn，

∴在这一次销售中，超市亏本．

故答案为：①0.99mn；②亏本．

（2）设这种水果的售价最低应提高x%，

依题意，得：（1+x%）n×（1﹣10%）m﹣mn≥17%mn，

解得：x≥30．

答：这种水果的售价最低应提高30%．

六、（本题10分）

23．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．

【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．

解：延长CF交AB于点G，

∵AE平分∠BAC，

∴∠GAF＝∠CAF，

∴AF垂直平分CG，

∴AC＝AG，

GF＝CF，

又∵点D是BC中点，

∴DF是△CBG的中位线，

∴DF＝BG＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝2．

七、（本题12分）

24．如图，△ABC中，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连结AD、CE．且AB＝AC．

（1）如图1，若D为BC中点时，求证：四边形ADCE是矩形；

（2）如图2，若D不是BC中点，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝10时，求四边形ADCE的面积．

【分析】（1）已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证；

（2）过A作AH⊥BC于H，根据直角三角形的性质得到AH＝BC＝10，根据平行四边形的性质得到S△ADE＝S△ABD，推出S△ADB＝S△ACE，于是得到结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形

∴BD∥AE（即AE∥CD），BD＝AE，

又∵BD＝CD，

∴AE＝CD，

∴四边形ADCE是平行四边形；         

在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴▱ADCE是矩形；

（2）解：过A作AH⊥BC于H，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，

∴BC＝AB＝20，

∴AH＝BC＝10，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴S△ADE＝S△ABD，

∵AE∥BC，

∴S△ACE＝S△ADE，S△DCE＝S△ADC，

∴S△ADB＝S△ACE，

∴四边形ADCE的面积＝S△ADC+S△ACE＝S△ACD+S△ABD＝S△ABC＝BC•AH＝＝100．

八、（本题12分）

25．如图1，已知AB⊥CD，C是AB上一动点，AB＝CD

（1）在图1中，将BD绕点B反时针方向旋转90°到BE，若连接DE，则△DBE为等腰直角三角形；若连接AE，试判断AE与BC的数量和位置关系并证明；

（2）如图2，F是CD延长线上一点，且DF＝BC，直线AF，BD相交于点G，∠AGB的度数是一个固定值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

【分析】（1）结论：AE＝BC，AE⊥BC．利用SAS证明△ABE和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，即可解决问题．

（2）如图2中，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，连结DE，BE．利用SAS证明△ABE和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出BE＝BD，∠EBD＝90°，即可得出∠EDB＝∠AGB＝45°．

解：（1）结论：AE＝BC，AE⊥BC．

理由：如图1中，

∵AB⊥CD，

∴∠BCD＝∠EBD＝90°，

∴∠ABE+∠DBC＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，

∴∠ABE＝∠BDC，

∵BA＝DC，BE＝BD，

∴△ABE≌△CDB（SAS），

∴AE＝BC，∠BAE＝∠BCD＝90°，

∴AE⊥BC．

（2）结论：∠AGB＝45°．

理由：如图2中，作AE⊥AB于A，使AE＝BC，连结DE，BE．

∵AE⊥AB，∠BCD＝90°，

∴∠BAE＝∠BCD，

∵AE＝CB，AB＝CD，

∴△BAE≌△DCB（SAS），

∴BE＝BD，∠ABE＝∠BDC，

∵∠BDC+∠DBC＝90°，

∴∠ABE+∠DBC＝90°，

∴∠EBD＝90°

∴△BED是等腰三角形，

∴∠EDB＝45°

∵AE∥DF，且AE＝DF，

∴四边形AFDE是平行四边形，

∴AF∥DE

∴∠AGB＝∠EDB＝45°．