广东省惠州市惠城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列图案是几种名车标志，其中属于中心对称图形的是（　　）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

2．方程x（x﹣1）=0的根是（　　）

A．0 ．1 ．0或1 ．无解

3．抛物线y=﹣（x+2）2﹣1顶点坐标是（　　）

A．（2，﹣1） ．（2，1） ．（﹣2，﹣1） ．（﹣2，1）

4．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．某果园第1年水果产量为100吨，第3年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）

A．144（1﹣x）2=100 ．100（1﹣x）2=144 ．144（1+x）2=100 ．100（1+x）2=144

6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：

①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．

其中正确的是（　　）

A．①②③ ．①③④ ．②③④ ．①②④

7．已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，使不等式ax+b＞成立的自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞4 ．﹣1＜x＜4 ．x＜﹣1或0＜x＜4 ．﹣1＜x＜0或x＞4

8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（　　）

A．30° ．45° ．60° ．40°

9．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 ．1.5 ．    D．1

10．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　）

A．1.5 ．2 ．2.5 ．3

二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．已知反比例函数y=的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是　　　　　　．

12．把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是　　　　　　．

13．一次聚会中每两人都握了一次手，所有人共握手15次，共有　　　　　　人参加聚会．

14．在拼图游戏中，从图（1）的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“房子”如图（2）的概率为　　　　　　．

15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=　　　　　　．

16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=　　　　　　．

三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0一个根为﹣2，求另一个根和k的值．

18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．

（1）将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′，试在图中画出图形Rt△Rt△A′B′C′，并写出C′的坐标；

（2）求弧的长．

19．如图，一座抛物线型拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞顶部离水面1m是警戒水位．求警戒水位时的水面宽度．

三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）

20．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．

（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；

（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．

21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF=BF；

（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径．

22．景泰特产专卖店销售杏脯，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克杏脯应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

三.解答题（三）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）

23．已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限．

（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；

（2）如图，O为坐标原点，点M在该反比例函数位于第二象限的图象上，点N与点M关于x轴对称，若△OMN的面积为6，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当2＜MN＜4时，求线段OA的取值范围（直接写出结果）

24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

25．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？

（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d=MD+MB最小，求点M的坐标．

2015-2016学年广东省惠州市惠城区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列图案是几种名车标志，其中属于中心对称图形的是（　　）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．

【解答】解：第二、三个图形是中心对称图形的图案，

故选B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．

2．方程x（x﹣1）=0的根是（　　）

A．0 ．1 ．0或1 ．无解

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为：x=0或x﹣1=0，解此两个一次方程即可．

【解答】解：∵x（x﹣1）=0

∴x=0或x﹣1=0

∴x1=0，x2=1．

故选C．

【点评】此题虽不难，但是告诉了学生求解的一个方法，高次的要化为低次的，多元得要化为一元的．

3．抛物线y=﹣（x+2）2﹣1顶点坐标是（　　）

A．（2，﹣1） ．（2，1） ．（﹣2，﹣1） ．（﹣2，1）

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据抛物线的性质，即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2﹣1，

∴抛物线的顶点为（﹣2，﹣1）．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的性质中的抛物线的顶点式，解题的关键是牢记抛物线的性质．本题属于基础题型，解决此类题型最好的办法是熟悉二次函数的性质．

4．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】概率公式．

【专题】压轴题．

【分析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有2，4，6三个偶数，则有3种可能．

【解答】解：根据概率公式：P（出现向上一面的数字为偶数）=．故选C．

【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

5．某果园第1年水果产量为100吨，第3年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）

A．144（1﹣x）2=100 ．100（1﹣x）2=144 ．144（1+x）2=100 ．100（1+x）2=144

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】第3年的产量=第1年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．

【解答】解：第2年的产量为100（1+x），

第3年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，

即所列的方程为100（1+x）2=144，

故选：D．

【点评】考查列一元二次方程；得到第3年产量的等量关系是解决本题的关键．

6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：

①ac＜0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．

其中正确的是（　　）

A．①②③ ．①③④ ．②③④ ．①②④

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；

②由于当x=﹣1时，y=a﹣b+c，而根据图象知道当x=﹣1时y＜0，由此即可判定a﹣b+c的符号；

③根据图象知道当x＜0时，y＜c，由此即可判定此结论是否正确；

④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．

【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，

∵图象与y轴交于正半轴，则c＞0，

∴ac＜0，故选项①正确；

∵当x=﹣1时，对应y值小于0，即a﹣b+c＜0，故选项②正确；

③当x＜0时，y＜c，故选项③错误；

④利用图象与x轴交点都大于﹣1，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根，故选项④正确；

故选；D．

【点评】此题主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子，如：当x=1时，y＞0，a+b+c＞0；x=﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0．

7．已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，使不等式ax+b＞成立的自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞4 ．﹣1＜x＜4 ．x＜﹣1或0＜x＜4 ．﹣1＜x＜0或x＞4

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】当一次函数的值＞反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，由此直接根据图象可以写出一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范围．

【解答】解：由图象得出，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象的交点A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，

∵等式ax+b＞的解集为一次函数的值＞反比例函数的值x的取值范围，

∴不等式ax+b＞kx的解集为x＜﹣1或0＜x＜4，

故选C．

【点评】本题考查一次函数的解析式y=kx+b和反比例函数y=中图象问题，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要找到关键的点A、B．

8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（　　）

A．30° ．45° ．60° ．40°

【考点】切线的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．

【解答】解：连结OB，如图，

∵AB与⊙O相切，

∴OB⊥AB，

∴∠ABO=90°，

∵∠A=30°，

∴∠AOB=60°，

∵∠AOB=∠C+∠OBC，

而∠C=∠OBC，

∴∠C=AOB=30°．

故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．

9．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（　　）

A．0.5 ．1.5 ．    D．1

【考点】旋转的性质．

【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算即可得解．

【解答】解：∵∠B=60°，

∴∠C=90°﹣60°=30°，

∵AC=，

∴AB=AC•tan30°=×=1，

∴BC=2AB=2，

由旋转的性质得，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=1，

∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．

故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．

10．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　）

A．1.5 ．2 ．2.5 ．3

【考点】圆锥的计算．

【专题】计算题．

【分析】半径为6的半圆的弧长是6π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是6π，然后利用弧长公式计算．

【解答】解：设圆锥的底面半径是r，半径为6的半圆的弧长是6π，

则得到2πr=6π，

解得：r=3，

这个圆锥的底面半径是3．

故选：D．

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．

正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

二.填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．已知反比例函数y=的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是　y=﹣　．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式．

【分析】反比例函数的图象经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．

【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，﹣3），

∴﹣3=，解得k=﹣6，

∴反比例函数解析式为y=﹣．

故答案为：y=﹣．

【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．

12．把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是　y=﹣（x+3）2+2．　．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】几何变换．

【分析】抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），则把它向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），然后写出顶点式即可．

【解答】解：把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线解析式为y=﹣（x+3）2+2．

故答案为y=﹣（x+3）2+2．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

13．一次聚会中每两人都握了一次手，所有人共握手15次，共有　6　人参加聚会．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有x（x﹣1）次，设出未知数列方程解答即可．

【解答】解：设有 x人参加聚会，根据题意列方程得，

x（x﹣1）=15，

解得x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）；

故答案为：6；

【点评】此题主要考查列方程解应用题，理解：设有 x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次是关键．

14．在拼图游戏中，从图（1）的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“房子”如图（2）的概率为　　．

【考点】列表法与树状图法．

【专题】计算题．

【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出能拼成“房子”的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中能拼成“房子”的结果数为8，

所以能拼成“房子”的概率==．

故答案为．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=　55°　．

【考点】旋转的性质．

【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．

【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，

∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，

则∠A=∠A′=55°．

故答案为：55°．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．

16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=　1　．

【考点】三角形的内切圆与内心．

【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．

【解答】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，

则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，

设半径为r，CD=r，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∴BE=BF=4﹣r，AF=AD=3﹣r，

∴4﹣r+3﹣r=5，

∴r=1．

∴△ABC的内切圆的半径为 1．

故答案为；1．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．

三.解答题（一）（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0一个根为﹣2，求另一个根和k的值．

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=﹣k，﹣2t=﹣1，然后求出t，再计算出k即可．

【解答】解：设方程的另一根为t，

根据题意得﹣2+t=﹣k，﹣2t=﹣1，

所以t=，k=，

即另一个根和k的值分别为，．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

18．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．

（1）将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△A′B′C′，试在图中画出图形Rt△Rt△A′B′C′，并写出C′的坐标；

（2）求弧的长．

【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．

【分析】（1）根据旋转的定义分别作出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可，点C′的坐标由图象即可知道．

（2）根据弧长公式代入计算即可．

【解答】解：（1）如图所示，C′（3，1）．

（2）弧的长==π．

【点评】本题考查旋转的变换、弧长的计算，理解旋转的定义是解决问题的关键，记住弧长公式L=，本题属于中考常考题型．

19．如图，一座抛物线型拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞顶部离水面1m是警戒水位．求警戒水位时的水面宽度．

【考点】二次函数的应用．

【分析】以线段AB所在直线为x轴、AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系求出函数解析式，根据题意求出y=3时x的值即可的警戒水位时水面宽度．

【解答】解：如图，以线段AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，

抛物线顶点（0，4）且经过（6，0），

设y=ax2+4，将点B（6，0）代入，得：36a+4=0，

∴，

∴

当y=3时，，解得：x=±3

故警戒水位时的水面宽度3﹣（﹣3）=6m．

【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，解决此问题首先建立合适的平面直角坐标系是解题的前提，熟练准确求出函数关系式是基本技能和关键．

三.解答题（二）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）

20．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．

（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；

（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率；

（2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案．

【解答】解：（1）画树状图得：

，

由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种．

∴P=．

（2）不公平；

理由：

由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为：．

∵＜，

∴这个游戏不公平．

【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF=BF；

（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径．

【考点】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】（1）首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP=∠BDC，又由C是的中点，易证得∠BDC=∠CBD，继而可证得CF=BF；

（2）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．

【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点P，

∵CE⊥AB，

∴=，

∴∠BCP=∠BDC，

∵C是的中点，

∴CD=CB，

∴∠BDC=∠CBD，

∴∠CBD=∠BCP，

∴CF=BF；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD=6，AC=8，

∴BC=6，

在Rt△ABC中，AB==10，

∴⊙O的半径为5．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

22．景泰特产专卖店销售杏脯，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种杏脯要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克杏脯应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】（1）设每千克杏脯应降价x元，则每天销售可增加10x千克，根据每天获利2240元，列方程求解；

（2）根据题意，为尽可能让利于顾客，应该降价6元，求出此时的折扣．

【解答】解：（1）设每千克杏脯应降价x元，则每天销售可增加10x千克，

由题意得，（60﹣x﹣40）═2240，

解得：x1=4，x2=6．

答：每千克杏脯应降价4元或6元；

（2）每千克杏脯降价6元，此时每千克54元，

54÷60=0.9．

答：该店应按原售价的9折出售．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

三.解答题（三）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）

23．已知反比例函数y=的图象的一支位于第二象限．

（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；

（2）如图，O为坐标原点，点M在该反比例函数位于第二象限的图象上，点N与点M关于x轴对称，若△OMN的面积为6，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当2＜MN＜4时，求线段OA的取值范围（直接写出结果）

【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）根据反比例函数的性质可得：双曲线的两支分别位于第一、第三象限时，m﹣5＜0，再解即可；

（2）设M，根据点N与点M关于x轴对称，可得N．然后表示出MN的长，再根据三角形的面积公式可得，再解即可；

（3）首先计算出当MN=2时AO的值，再计算出当MN=4时AO的值，然后可得答案．

【解答】解：（1）∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，

∴该函数图象的另一支位于第四象限．

∴m﹣5＜0，解得m＜5．

∴m的取值范围为m＜5．

（2）设M，

∵点N与点M关于x轴对称，

∴N．

∴MN=﹣（﹣）=，

OA=|a|=﹣a，

∴×（﹣a）×=6，

解得：m=﹣1；

（3）当MN=2时，×MN×AO=6，则AO=6，

当MN=4时，×MN×AO=6，则AO=3，

∴当2＜MN＜4时，则3＜OA＜6．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．正确表示出M、N的坐标，MN的长．

24．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

【解答】（1）证明：连接OC．

∵AC=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．

∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形BOC=．

在Rt△OCD中，

∵，

∴．

∴．

∴图中阴影部分的面积为： ．

【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．

25．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？

（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d=MD+MB最小，求点M的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）设出解析式，由待定系数法可得出结论；

（2）点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1≤x≤5，将三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式配方，即可得出最值；

（3）找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则

，解得：．

故抛物线解析式为y=x2﹣4x+．

（2）过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．

E点坐标为（x， x2﹣4x+），F点的坐标为（x，0），

∴EF=0﹣（x2﹣4x+）=﹣x2+4x﹣．

∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，

∴1≤x≤5．

三角形OEB的面积S=OB•EF=×5×（﹣x2+4x﹣）=﹣（x﹣3）2+（1≤x≤5）．

当x=3时，S有最大值．

（3）作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．

∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+=（x﹣3）2﹣，

∴D点的坐标为（3，﹣），

∴D′点的坐标为（﹣3，﹣）．

由对称的特性可知，MD=MD′，

∴MB+MD=MB+MD′，

当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．

设直线BD′的解析式为y=kx+b，则

，解得：，

∴直线BD′的解析式为y=x﹣．

当x=0时，y=﹣，

∴点M的坐标为（0，﹣）．

【点评】本题考查了二次函数的运用、待定系数法求二次函数解析式、点的对称以及三角形边的关系，解题的关键是：（1）能够熟练运用待定系数法求解析式；（2）利用三角形面积公式找出三角形面积的解析式，再去配方求最值；（3）先找对称点，再结合三角形内两边之和大于第三边确定点M的位置．本题属于中档题，难度不大，失分点在于（2）中部分同学会忘记求x的取值范围；（3）中不会用找对称点借助三角形边的关系确定M点的位置．

2016年4月4日