压轴大题突破练(四)

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1． 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；

(3)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，

∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，

∵ex>0，∴－x2＋2>0.

解得－∴函数f(x)的单调递增区间是[－，]．

(2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增，

∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立，

∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex

＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，

∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立，

∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立．

即a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1,1)都成立．

令y＝(x＋1)－，则y′＝1＋>0.

∴y＝(x＋1)－在(－1,1)上单调递增．

∴y<(1＋1)－＝.∴a≥.

(3)若函数f(x)在R上单调递减，

则f′(x)≤0对x∈R恒成立，

即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立，

∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．

∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，

这是不可能的，故函数f(x)不可能在R上单调递减．

若函数f(x)在R上单调递增，

则f′(x)≥0对x∈R恒成立，

即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立，

∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．

而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4>0，

故函数f(x)不可能在R上单调递增．

综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数．

2． 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点到直线＋＝1的距离d＝，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值．

(1)解　由e＝得＝，即a＝2c，∴b＝c.

由右焦点到直线＋＝1的距离为d＝，

＋＝1化为一般式：

bx＋ay－ab＝0得＝，解得a＝2，b＝.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，

可设直线AB的方程为y＝kx＋m，与椭圆＋＝1，

联立消去y整理可得

(4k2＋3)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0.

由根与系数的关系得：x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，

∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0.

即：(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，

∴(k2＋1)－＋m2＝0，

整理得7m2＝12(k2＋1)，

所以O到直线AB的距离d＝＝＝(为定值)．

当直线AB斜率不存在时，

可求出直线AB方程为x＝±.

则点O到直线AB的距离为(定值)．

3． 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶

点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足＝，且AB⊥AF2，

如图所示．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l：x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；

(3)在(2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l′与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

解　(1)设B(x0,0)，则F2(c,0)，A(0，b)，

由AB⊥AF2，可知△ABF2是以点A为直角顶点的直角三角形，

由＝，可知F1为BF2的中点，

且|BF2|＝2|F1F2|＝4c.

∴|AF1|＝|BF2|＝2c，而|AF1|＝a，故有a＝2c.

∴椭圆的离心率e＝.

(2)由(1)，知＝，得c＝a.

于是F2，B，

△ABF2的外接圆圆心为，半径r＝|F2B|＝a，

∴＝a，解得a＝2.∴c＝1，b＝.

故所求椭圆方程为＋＝1.

(3)由(2)，知F2(1,0)，l′：y＝k(x－1)，

联立，得

整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，

＋＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)．

由于菱形的对角线垂直，则(＋)·＝0，

即(x2－x1)[x1＋x2－2m＋k(y1＋y2)]＝0.

故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0，

则k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0，

k2＋－2m＝0.

由已知条件，知k≠0且k∈R，

∴m＝＝，∴0故存在满足题意的点P且m的取值范围是.

4． 已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x))，m∥n(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．

(1)求k的值及F(x)的单调区间；

(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)解　(1)由已知可得：f(x)＝，

∴f′(x)＝，

由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1，

∴F(x)＝xexf′(x)＝x＝1－xln x－x，

∴F′(x)＝－ln x－2，

由F′(x)＝－ln x－2≥0⇒0由F′(x)＝－ln x－2≤0⇒x≥.

∴F(x)的增区间为，减区间为.

(2)∵对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)∴g(x)max由(1)知，当x＝时，F(x)取得最大值F＝1＋.

对于g(x)＝－x2＋2ax，其对称轴为x＝a，

当0∴a2<1＋，从而0当a>1时，g(x)max＝g(1)＝2a－1，

∴2a－1<1＋，从而1综上可知：0