| 初中二次函数知识点归纳 | ||
| I.定义与定义表达式 | ||
| 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c | ||
| (a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a＞时，开口方向向上，a＜0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。 | ||
| 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 | ||
| II.二次函数的三种表达式 | ||
| 一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) | ||
| 顶点式：y=a(x-h)2+k[抛物线的顶点P(h，k)] | ||
| 交点式：y=a(x-x1;)(x-x2;)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] | ||
| 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: | ||
| h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x1,x2=(-b±平方根b2-4ac)/2a | ||
| III.二次函数的图像 | ||
| 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 | ||
| IV.抛物线的性质 | ||
| 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 | ||
| 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) | ||
| 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。 | ||
| 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 | ||
| 当a＞0时，抛物线向上开口;当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 | ||
| 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 | ||
| 当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左; | ||
| 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右。 | ||
| 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 | ||
| 抛物线与y轴交于(0，c) | ||
| 6.抛物线与x轴交点个数 | ||
| δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 | ||
| δ=b2-4ac =0时，抛物线与x轴有1个交点。 | ||
| δ=b2-4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=(-b±平方根b2-4ac)的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) | ||
| V.二次函数与一元二次方程 | ||
| 特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c， | ||
| 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即a x2+bx+c=0 | ||
| 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 | ||
| 1.二次函数y=a x2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=a x2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： | ||
| 当h＞0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=a x2向右平行移动h个单位得到， | ||
| 当h＜0时，则向左平行移动|h|个单位得到. | ||
| 当h＞0,k＞0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; | ||
| 当h ＞0,k＜0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象; | ||
| 当h＜0,k ＞0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象; | ||
| 当h＜0,k＜0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象; | ||
| 因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便. > | ||
| 2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a ＞0时，开口向上，当a＜0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a). | ||
| 3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a ＞0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a＜0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小. | ||
| 4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： | ||
| (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c); | ||
| (2)当△=b^2-4ac ＞0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 | ||
| (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1| | ||
| 当△=0.图象与x轴只有一个交点; | ||
| 当△＜0.图象与x轴没有交点.当a ＞0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y ＞0;当a＜0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y＜0. | ||
| 5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a ＞0(a＜0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a. | ||
| 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值. | ||
| 6.用待定系数法求二次函数的解析式 | ||
| (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： | ||
| y=ax^2+bx+c(a≠0). | ||
| (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0). | ||
| (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). | ||
| 7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现. | ||
Copyright © 2019-2025 51dongshi.net 版权所有
违法及侵权请联系：TEL:177 7030 7066 E-MAIL:11247931@qq.com 本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务
