【师说】2017届人教版高考数学(文)二轮专题复习练习：课时巩固过关练(九).doc

一、选择题

1．(2016·甘肃临夏期中)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：∵sinα＝＋cosα，∴sinα－cosa＝.两边平方可得：1－2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝.∵α∈，∴sinα＋cosα＝.

∴＝＝

－(sinα＋cosα)＝－.

答案：B

2．在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB，若f(B)＝2，则角B为(　　)

A.  B. 

C.   D. 

解析：由已知f(B)＝4cosB·＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin，∵f(B)＝2，∴sin＝1.又<2B＋<π，∴2B＋＝，∴B＝.

答案：A

3．(2016·山东烟台一调)如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形的形状为(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．由增加的长度决定

解析：设直角三角形三边分别为a，b，c，其中c为斜边，增加的长度为d，由已知a2＋b2＝c2，在新三角形中，由余弦定理可得cosC＝

＝>0.又边长c＋d为最长边，故角C最大且为锐角，∴新三角形为锐角三角形．

答案：A

4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)

A.  B. 

C.   D. 

解析：由2asinB＝b及正弦定理可得2sinAsinB＝sinB，即sinA＝，结合0答案：D

5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形  B．锐角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

解析：由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，即sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝1，∴A＝，故选A.

答案：A

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，sinA＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB，则△ABC的面积为(　　)

A.  B. 

C.   D. 

解析：由题意得，－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，sin＝sin，由a≠b得A≠B，又A＋B∈(0，π)，∴2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，∴C＝.由c＝，sinA＝，＝得a＝，由a答案：A

7．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．bc(b＋c)>8 B．ac(a＋b)>16

C．6≤abc≤12  D．12≤abc≤24

解析：由题设得sin2A＋sin(π－2B)＝sin(2C－π)＋⇒sin2A＋sin2B＋sin2C＝⇒sin[2π－(2B＋2C)]＋sin2B＋sin2C＝⇒sin2B＋sin2C－sin(2B＋2C)＝⇒sin2B(1－cos2C)＋sin2C(1－cos2B)＝⇒4sinBsinC(sinBcosC＋cosBsinC)＝⇒sinAsinBsinC＝.由三角形面积公式S＝absinC及正弦定理得S＝×4R2sinAsinBsinC，∴R2＝4S，又1≤S≤2，∴4≤R2≤8，∴bc(b＋c)＝abc×＝8R3sinAsinBsinC×>R3恒成立，∴bc(b＋c)>8.故选A.

答案：A

二、填空题

8．(2016·江西吉安期中)在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC＝4，则△ADC的面积的最大值为__________．

解析：在△ACD中，cos∠ADC＝

＝＝－，整理得AD2＋CD2＝48－AD·DC≥2AD·DC，∴AD·DC≤16，当AD＝CD时等号成立，

∴△ADC的面积S＝AD·DC·sin∠ADC＝AD·DC≤4，故答案为4.

答案：4

9．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝__________.

解析：＝＝·＝×＝1.

答案：1

10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝__________.

解析：∵bcosC＋ccosB＝2b，由边角互化得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB，即sinA＝2sinB，∴a＝2b⇒＝2.

答案：2

三、解答题

11．(2016·江西高安段考)如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．

(1)若OM＝，求PM的长；

(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

解：(1)在△OPQ中，∠OPQ＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2＋PM2－2OP·PM·cos45°，得PM2－4PM＋3＝0，解得PM＝1或PM＝3.

(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得＝，所以OM＝＝，同理ON＝.

S△OMN＝OM·ONsin∠MON

＝

＝

＝.

∵0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，∴当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4.

12.

如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．

(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；

(2)给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？

解：(1)由题意知，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°.于是AB＝60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．

(2)由(1)知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇．在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°，所以OB＝60，而在△OCB中，BC＝60t，OC＝20(2＋t)，∠BOC＝30°，由余弦定理，得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，即(60t)2＝(60)2＋[20(2＋t)]2－2×60×20(2＋t)×，即8t2＋5t－13＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．故t＋2＝3.即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．