河南数学中考题型汇总二次函数的图象与性质题型练习含答案

1.[2022平顶山二模]如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于C,D两点,交y轴于点E,其中点C的坐标为(-1,0),且该抛物线的对称轴为直线x=1.点A,B为坐标平面内两点,其坐标分别为(,-5),(4,-5).

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;

(2)当-1≤x≤2时,求y的取值范围;

(3)连接AB,若抛物线y=x2+bx+c向下平移k(k>0)个单位长度时,与线段AB只有一个公共点,结合函数图象,请直接写出k的取值范围.

 角度2 函数值大小比较问题

2.[2022浙江嘉兴]已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0).

(1)求抛物线L1的函数表达式.

(2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值.

(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L3,若点B(1,y1),C(3,y2)在抛物线L3上,且y1>y2,求n的取值范围.

 角度3 最值问题

3.[2022浙江绍兴]已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).

(1)求b,c的值.

(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值.

(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.

4.[2022许昌二模]对于二次函数y=x2+bx+b-1(b>0),在函数值y=-1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应.

(1)求二次函数的解析式;

(2)若在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下,与其对应的函数值y的最小值为3,求m的值.

 角度4 其他问题

5.[2022三门峡二模]已知抛物线y=-ax2+4ax+5经过点(-1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标.

(2)点P(0,m)是y轴上的一个动点,过点P作垂直于y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),且x1①若x2-x1=3,求m的值;

②把直线PB上方的函数图象沿直线PB向下翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,当新图象与x轴有四个交点时,请直接写出m的取值范围.

6.[2022信阳二模]如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象在平面直角坐标系中经过点A(4,0)和点B(-,n),直线AB的解析式为y=x+m.

(1)求m,n的值及二次函数的解析式.

(2)善于动脑筋的小武同学拿出一把透明的直尺,将直尺有刻度的一边与直线AB重合.他惊奇地发现,直尺另一边正好经过该抛物线与x轴的另一个交点C.

①求小武同学的直尺的宽度;

②设直尺经过点C的一边与抛物线的另一个交点为D,若点Q为抛物线上被直尺盖住的部分上的动点,且点Q的纵坐标为yQ,请直接写出yQ的取值范围.

 7.[2022商丘二模]已知抛物线y=-2x2+4mx-2m2+2,直线l:y=-x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B.

(1)如图(1),当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时,求抛物线的解析式;

(2)在(1)的条件下,若点P为直线l上方的抛物线上一点,过点P作PQ⊥l于点Q,求PQ的最大值;

(3)如图(2),点C(-2,0),若抛物线与线段AC只有一个公共点,求m的取值范围.

　　　图(1)　　　　　　　图(2)

 角度2 函数值大小比较问题

 8.[2022南阳宛城区一调]已知抛物线y=x2-2mx+m2-1(m为常数).

(1)当m=3时,设点P(x1,y1),Q(4,y2)在该抛物线上,若y1>y2,请直接写出x1的取值范围;

(2)若点A(1,y3),B(4,y4)在该抛物线上,且y3>y4,求m的取值范围;

(3)当1≤x≤3时,y的最小值为3,求m的值.

9.[2022郑州外国语四模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2+1与y轴交于点A.点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点,且不与点A重合,直线y=kx+n(k≠0)经过A,B两点.

(1)抛物线的顶点坐标为　　　　　　(用含m的式子表示); 

(2)若点C(m-2,a),D(m+2,b)在抛物线上,则a　　　　b(用“<”“=”或“>”填空); 

(3)若x1<-3时,总有k<0,求m的取值范围.

 角度3 最值问题

 10.[2022洛阳三模]已知抛物线y=x2-bx+c.

(1)若抛物线经过点(1,4),(2,5),求抛物线的顶点坐标;

(2)若c=5,且当函数值y=1时,只有一个x值与其相对应,求此时抛物线的解析式;

(3)若c=b2,且当b≤x≤b+3时,y的最小值为13,求b的值.

11.[2022浙江丽水]如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3.

(1)若二次函数的图象经过点(3,1).

①求这个二次函数的表达式;

②若y1=y2,求顶点到MN的距离.

(2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧,求a的取值范围.

 角度4 其他问题

 12.[2022江苏常州]已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:

(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k(k>0)个单位长度,得到二次函数y=mx2+nx+q的图象,使得当-1(3)A,B,C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点.已知点A,B的横坐标分别是m,m+1,点C与点A关于该函数图象的对称轴对称,求∠ACB的度数.

答案：

1.(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1,

∴-=1,∴b=-2.

将C(-1,0)代入y=x2-2x+c,得1+2+c=0,

∴c=-3.

故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).

(2)∵抛物线的开口向上,顶点坐标为(1,-4),

∴当-1≤x≤2时,y的最小值为-4.

∵抛物线的对称轴为直线x=1,|-1-1|>|2-1|,

∴当x=-1时,y=1+2-3=0为最大值,

∴当-1≤x≤2时,y的取值范围是-4≤y≤0.

(3)k=1或解法提示:抛物线y=x2-2x-3向下平移k(k>0)个单位长度后所得抛物线的解析式为y=x2-2x-3-k,顶点坐标为(1,-4-k).

当顶点落在线段AB上时,-4-k=-5,

解得k=1.

当抛物线向下平移,经过点A(,-5)时,-1-3-k=-5,解得k=.

当抛物线向下平移,经过点B(4,-5)时,16-8-3-k=-5,解得k=10.

结合函数图象分析可知,当k=1或2.(1)将A(1,0)代入y=a(x+1)2-4,得0=4a-4,

解得a=1,

∴抛物线L1的函数表达式为y=(x+1)2-4.

(2)∵将抛物线L1向上平移m个单位长度得到抛物线L2,

∴抛物线L2的函数表达式为y=(x+1)2-4+m.

∴抛物线L2的顶点坐标为(-1,-4+m),

∴它关于点O的对称点的坐标为(1,4-m).

将(1,4-m)代入y=(x+1)2-4,得4-m=0,

∴m=4.

(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L3:y=(x-n+1)2-4.

∵点B(1,y1),C(3,y2)都在抛物线L3上,

∴y1=(1-n+1)2-4=(2-n)2-4,y2=(3-n+1)2-4=(4-n)2-4.

∵y1>y2,∴(2-n)2-4>(4-n)2-4,

整理,得(2-n)2-(4-n)2>0,

∴(2-n+4-n)(2-n-4+n)>0,即-2(6-2n)>0,

∴6-2n<0,解得n>3,

∴n的取值范围是n>3.

3.(1)把(0,-3),(-6,-3)分别代入y=-x2+bx+c,

得解得

(2)由(1)知y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6,

∵-4≤x≤0,

∴当x=-3时,y取得最大值,最大值为6.

(3)易知抛物线开口向下,对称轴为直线x=-3.

①当-3∴当x=0时,y取得最小值-3,

当x=m时,y取得最大值-m2-6m-3,

∴-m2-6m-3+(-3)=2,

∴m=-2或m=-4(舍去).

②当m≤-3时,y随x的增大而增大,

∴当x=-3时,y取得最大值6.

∵y的最大值与最小值之和为2,

∴y的最小值为-4,即-m2-6m-3=-4,

 ∴m=-3-或m=-3+(舍去).

综上所述,m的值为-2或-3-.

4.(1)当y=-1时,x2+bx+b-1=-1,

整理,得x2+bx+b=0.

由题意,得Δ=b2-4b=0,

解得b=0或4.

∵b>0,∴b=4,

∴二次函数的解析式为y=x2+4x+3.

(2)由y=x2+4x+3=(x+2)2-1,a=1>0可知,该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=-2.

①当m>-2时,

在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下,y随x的增大而增大,

∴当x=m时,y有最小值3,

∴(m+2)2-1=3,解得m1=-4(舍去),m2=0. 

②当m≤-2≤m+2时,

在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下,y的最小值为-1,不合题意,舍去.

③当m+2<-2,即m<-4时,

在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下,y 随x的增大而减小,

∴当x=m+2时,y有最小值3,

∴(m+2+2)2-1=3,

解得m3=-2(舍去),m4=-6.

综上可得,m的值为0或-6.

5.(1)把(-1,0)代入y=-ax2+4ax+5,得-a-4a+5=0,解得a=1,

∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.

∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,

∴抛物线的顶点坐标为(2, 9).

(2)①由(1)可知抛物线的对称轴为直线x=2,

∴x1+x2=4.

又∵x2-x1=3,∴x1=,x2=.

当x=时,y=,∴m=.

②0解法提示:当翻折后抛物线的顶点落在x轴上时,如图(1),此时新图象与x轴有三个交点,m=.

当直线PB与x轴重合时,如图(2),此时新图象与x轴有两个交点,m=0.

分析可知,当0图(1)　　图(2)

6.(1)∵点A(4,0)在直线y=x+m上,

∴0=×4+m,解得m=-2.

又点B(-,n)在直线y=x-2上,

∴n=×(-)-2=-.

∵点A(4,0)和点B(-,-)在二次函数的图象上,

∴解得

故二次函数的解析式为y=-x2+3x+4.

(2)①∵抛物线的对称轴为直线x=-=,A(4,0),

∴C(-1,0).

如图,过点B作BF⊥x轴于点F,过点C作CE⊥AB于点E,则线段CE的长即为直尺的宽度.

在Rt△ACE和Rt△ABF中,sin∠BAF==.

而AB==,AC=5,BF=,

可求得CE=,

故直尺的宽度为.

②-≤yQ≤.

解法提示:∵CD∥AB,直线AB的解析式为y=x-2,

∴可设直线CD的解析式为y=x+t.

又点C的坐标为(-1,0),

∴0=×(-1)+t,解得t=.

联立直线CD与抛物线的解析式,

得解得

∴点D的坐标为(,),

∴点Q的纵坐标yQ的取值范围是-≤yQ≤.

7.(1)对于y=-x+1,令y=0,得-x+1=0,

解得x=1,∴A(1,0).

将A(1,0)代入y=-2x2+4mx-2m2+2,得0=-2+4m-2m2+2,

解得m1=0,m2=2.

当m=0时,y=-2x2+2,此时该抛物线的对称轴为y轴,

故其与x轴的两个交点在y轴两侧,∴m=2,

故抛物线的解析式为y=-2x2+8x-6.

(2)如图,过点P作PM∥y轴交直线l于点M.

当x=0时,y=-x+1=1,∴B(0,1),

∴OA=OB.

又∵∠AOB=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°,

∴∠PMQ=∠OBA=45°,

∴PQ=PM·sin 45°=PM.

设P(n,-2n2+8n-6),则M(n,-n+1),

∴PM=-2n2+8n-6-(-n+1)=-2(n-)2+,

∴PQ=PM=-(n-)2+.

由-2x2+8x-6=-x+1,解得x1=1,x2=.

∵点P在直线l上方的抛物线上,∴1又∵-<0,

∴当n=时,PQ取最大值,最大值为.

(3)令-2x2+4mx-2m2+2=0,得-2(x-m)2+2=0,

解得x1=m-1,x2=m+1.

设抛物线与x轴的两个交点分别为点D,E(点D在点E左边),则D(m-1,0),E(m+1,0).

∵AC=1-(-2)=3,m+1-(m-1)=2<3,

∴当抛物线与线段AC只有一个公共点时,点D,E中只有1个在线段AC上.

当点D在线段AC上时,

解得0当点E在线段AC上时,

解得-3≤m<-1.

综上可知,当抛物线与线段AC只有一个公共点时,-3≤m<-1或0 8.(1)x1<2或x1>4.

(2)方法一:∵y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1,1>0,

∴抛物线的对称轴为直线x=m,且其开口向上.

分别画出当m==,m<及m>时对应的抛物线如图所示.

结合图象可知,当抛物线的对称轴在直线x=的右边时满足题意,

∴m>.

方法二:∵点A(1,y3),B(4,y4)在抛物线y=x2-2mx+m2-1上,

∴y3=m2-2m,y4=m2-8m+15.

又∵y3>y4,

∴y3-y4=m2-2m-(m2-8m+15)=6m-15>0,

解得m>.

(3)由y=x2-2mx-1=(x-m)2-1,1>0可知,抛物线的对称轴为直线x=m,且其开口向上.

①若m<1,则当1≤x≤3时,y随x的增大而增大,

∴当x=1时,y有最小值3,

∴(1-m)2-1=3,解得m1=3(舍去),m2=-1.

②若1≤m≤3,则当1≤x≤3时,y的最小值为-1,不合题意,舍去.

③若m>3,则当1≤x≤3时,y随x的增大而减小,

∴当x=3时,y有最小值3,

∴(3-m)2-1=3,解得m3=1(舍去),m4=5.

综上所述,m的值为-1或5.

9.(1)(m,1)

解法提示:∵y=x2-2mx+m2+1=(x-m)2+1,

∴抛物线的顶点坐标为(m,1).

(2)=

解法提示:由(1)知,抛物线的顶点坐标为(m,1),

∴抛物线的对称轴为直线x=m.

∵|m+2-m|=2,|m-2-m|=2,

∴点C和点D到抛物线的对称轴的距离相等,

∴a=b.

(3)对于y=x2-2mx+m2+1,①

令x=0,则y=m2+1,∴A(0,m2+1).

∵点A在直线y=kx+n(k≠0)上,

∴n=m2+1,

∴直线AB的解析式为y=kx+m2+1,②

联立①②,整理得x[x-(2m+k)]=0.

∵点A,B(x1,y1)是抛物线与直线AB的交点,

∴x1=2m+k.

∵x1<-3时,总有k<0,∴2m+k<-3,

∴k<-2m-3,∴-2m-3≤0,∴m≥-.

 10.(1)把(1,4),(2,5)分别代入y=x2-bx+c,

得解得

∴y=x2-2x+5=(x-1)2+4,

∴抛物线的顶点坐标为(1,4).

(2)∵当函数值y=1时,只有一个x值与其相对应,

∴当x=时,y=1,即()2-+5=1,

解得b=±4,

∴此时抛物线的解析式为y=x2-4x+5或y=x2+4x+5.

(3)当c=b2时,抛物线的解析式为y=x2-bx+b2,

抛物线开口向上,对称轴为直线x=.

①当0时,

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而增大,

∴当x=b时,y=b2-b2+b2=13,

解得b1=-(舍去),b2=.

②当b≤≤b+3,即-6≤b≤0时,()2-+b2=13,

解得b1=-,b2=(舍去).

③当>b+3,即b<-6时,

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而减小,

∴当x=b+3时,y=(b+3)2-b(b+3)+b2=13,

解得b1=1(舍去),b2=-4(舍去).

综上,b=或-.

11.(1)①将点(3,1)代入y=a(x-2)2-1(a>0)中,

得1=a(3-2)2-1,解得a=2,

∴这个二次函数的表达式为y=2(x-2)2-1.

②由①得,y=2(x-2)2-1,

∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1).

∵x2-x1=3,y1=y2,∴MN∥x轴,

∴根据抛物线的对称性得2-x1=,

∴x1=,∴y1=,

∴顶点到MN的距离为+1=.

(2)易知点M,N在对称轴直线x=2的异侧时,二次函数的最小值为y=-1.

分以下两种情况进行讨论.

①当y1≥y2时,

2-x1≥x2-2,x1<2,x2=x1+3>2,

∴-1此时y的最大值为y1=a(x1-2)2-1,

∴y1-(-1)=1,∴a=.

又∵-1∴<≤,即②当y12-x1,x2=x1+3>2,

∴此时y的最大值为y2=a(x2-2)2-1=a(x1+1)2-1,

∴y2-(-1)=1,

易得a=.

又∴<<,即综上,a的取值范围为 12.(1)将(-1,4),(1,0)分别代入y=ax2+bx+3,

得解得

∴y=-x2-2x+3.

(2)-x2+6x-5(答案不唯一)　4≤k≤5

解法提示:根据题意,画出大致图象如图所示.

∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

∴将二次函数y=-x2-2x+3的图象向右平移k(k>0)个单位长度,得到新函数图象的表达式为y=-(x+1-k)2+4,

∴新函数图象的对称轴为直线x=k-1.

∵抛物线开口向下,且当-1∴3≤k-1≤4,解得4≤k≤5,

∴符合条件的一个二次函数的表达式是y=-x2+6x-5.

(3)∵点A,B的横坐标分别是m,m+1,

∴yA=-m2-2m+3,yB=-(m+1)2-2(m+1)+3=-m2-4m,

∴A(m,-m2-2m+3),B(m+1,-m2-4m).

∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称,其对称轴为直线x=-1,

∴=-1,AC∥x轴,∴xC=-2-m,

∴C(-2-m,-m2-2m+3).

过点B作BH⊥AC于点H,

∴BH=|-m2-4m-(-m2-2m+3)|=|-2m-3|,CH=|-2-m-(m+1)|=|-2m-3|,

∴BH=CH,

∴△BHC是等腰直角三角形,

∴∠HCB=45°,即∠ACB=45°.