新高一数学下期末试卷(带答案)

一、选择题

1．已知向量，，若与的夹角为，则（    ）

A．2 ． ． ．1

2．设集合，，，则

A． ．

C． ．

3．已知集合，，则中元素的个数为（  ）

A．3 ．2 ．1 ．0

4．已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（   ）

A．在上单调递减 ．在上单调递减

C．在上单调递增 ．在上单调递增

5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ）

A． ． ． ．

6．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． ．

C． ．

7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为

A． ． ． ．

8．在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是(  　)

A． ． ． ．

9．函数的大致图像是（   ）

A． ．

C． ．

10．设函数的最小正周期为，且，则（   ）

A．在上单调递增 ．在上单调递减

C．在上单调递减 ．在上单调递增

11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A．8号学生 ．200号学生 ．616号学生 ．815号学生

12．如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)

A． ． ． ．

二、填空题

13．在直角中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在中随机地选取个点，其中有个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为__________．（答案用，表示）

14．_____

15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且.若，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.

16．对于函数，，设，，若存在m，n使得，则称与互为“近邻函数”.已知函数与互为“近邻函数”，则实数a的取值范围是______.（e是自然对数的底数）

17．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.

18．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．

19．已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

20．已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为        .

三、解答题

21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

22．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

23．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）求的单调增区间并求出取得最小值时所对应的x取值集合．

24．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.

25．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．

（1）求证: 平面平面；

（2）求证:平面；

（3）求三棱锥体积．

26．记为等差数列的前项和，已知，．

 （1）求的通项公式；

 （2）求，并求的最小值．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

【分析】

先计算与的模，再根据向量数量积的性质即可计算求值.

【详解】

因为，，

所以，.

又

，

所以，故选B.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.

2．C

解析：C

【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由并集的定义可得：，

结合交集的定义可知：.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

3．B

解析：B

【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

4．A

解析：A

【解析】

【分析】

首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.

【详解】

由函数的解析式可得：，

函数为奇函数，则当时：.令可得.

因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为

结合最小正周期公式可得：，解得：.

故函数的解析式为：.

当时，，函数在所给区间内单调递减；

当时，，函数在所给区间内不具有单调性；

据此可知，只有选项A的说法正确.

故选A.

【点睛】

本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．A

解析：A

【解析】

【分析】

设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.

【详解】

设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，

依题意可得，，

，

，解得，

.

故选:A.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.

6．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得；利用一元二次不等式的解法可求得结果.

【详解】

的解集为

和是方程的两根，且

，解得：    

解得：，即不等式的解集为

故选：

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.

7．C

解析：C

【解析】

分析：由四棱锥的体积是三棱柱体积的，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．

详解：四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号．

∴．

故选C．

点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

已知，若有两组解，则，可解得的取值范围.

【详解】

由已知可得，则，解得.故选A.

【点睛】

本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.

若中，已知且为锐角，若，则无解；若或，则有一解；若，则有两解.

9．B

解析：B

【解析】

由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B．

10．A

解析：A

【解析】

【分析】

将f(x)化简，求得，再进行判断即可.

【详解】

∵最小正周期为得，

又为偶函数，所以,

∵,k=-1,,

当,即,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，

故选A.

【点睛】

本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．

【详解】

详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，

所以，

若，则，不合题意；若，则，不合题意；

若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．

【点睛】

本题主要考查系统抽样.

12．A

解析：A

【解析】

【分析】

由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．

【详解】

设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．

平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，

在△A2BM中，  

 ．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决

解析：

【解析】

【分析】

【详解】

由题意得的三边分别为 则由 可得 ，所以，三角数三边分别为，因为 ，所以三个半径为 的扇形面积之和为 ，由几何体概型概率计算公式可知，故答案为.

【方法点睛】

本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

14．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二

解析：

【解析】

【分析】

将写成，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为，利用二倍角公式可变为，由可化简求得结果.

【详解】

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.

15．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有

解析：

【解析】

【分析】

由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足所有可能情况，代入公式得到结果。

【详解】

从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有28种，所以.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。

16．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点

解析：.

【解析】

【分析】

先求出的根，利用等价转换的思想，得到在有解，并且使用分离参数方法，可得结果

【详解】

由，令

所以，又已知函数

与互为“近邻函数”

据题意可知：在有解，则

在有解

即在有解，

令，

又令，，

所以

当时

当时

所以

所以，则

故答案为：

【点睛】

本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.

17．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直

解析：

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．

【考点】

简单的线性规划

【名师点睛】

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

18．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可

解析：.

【解析】

【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.

【详解】

因为，

结合正弦定理可得，

可得，因为，

结合余弦定理，可得，

所以为锐角，且，从而求得，

所以的面积为，故答案是.

【点睛】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

19．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根则解得故m的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数

解析：

【解析】

试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.

【考点】分段函数，函数图象

【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.

20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质

解析：

【解析】

【分析】

【详解】

因为函数的图象开口向上的抛物线，

所以要使对于任意的都有成立，

，解得，

所以实数的取值范围为．

【考点】

二次函数的性质．

三、解答题

21．（1）（2）

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.

试题解析：（1）由已知可得

（2）

又

，

的周长为

考点：正余弦定理解三角形.

22．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .

【解析】

【分析】

分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.

【详解】

详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，

所以.

（Ⅱ）由角的终边过点得，

由得.

由得，

所以或.

点睛：三角函数求值的两种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

23．（1）（2）单调增区间为,()；x取值集合,()

【解析】

【分析】

（1）先由函数的最大值求出的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期，于此得出，再将点代入函数的解析式结合的范围得出的值，于此可得出函数的解析式；

（2）解不等式可得出函数的单调递增区间，由可求出函数取最小值时的取值集合．

【详解】

（1）由图象可知，.

因为，所以.所以. 解得.

又因为函数的图象经过点，所以，

解得.

又因为，所以，所以. 

（2），，解得,，

的单调增区间为,()，

的最小值为-2，取得最小值时x取值集合,().

【点睛】

本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数的解析式时，其基本步骤如下：

（1）求、：，；

（2）求：；

（3）求：将顶点或对称中心点代入函数解析式求，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查．

24．（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．

试题解析：（1） 所有的可能结果共有种，

而满足的有、、共计3个

故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为

（2） 所有的可能结果共有种

满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个

故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为

所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为

考点：事件的概率．

【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．

25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.

（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.

（2）取AB中点G，连结EG，FG，

因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，

因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，

所以四边形为平行四边形，所以EG，

又因为EG平面ABE，平面ABE，

所以平面.

（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，

所以三棱锥的体积为：==.

考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

26．（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．

【解析】

分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.

详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．

由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．

所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一条件.