广东省中山市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题及答案

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．某种芯片每个探针单元的面积为，0.000001用科学记数法可表示为（   ）

A．    B．    C．    D．

2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（       ）

A．赵爽弦图    B．费马螺线

C．科克曲线       D．斐波那契螺旋线

3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（       ）

A．    B．    C．    D．

4．计算：（       ）

A．    B．    C．    D．

5．将分式中的x，y同时扩大4倍，则分式的值（       ）

A．扩大4倍    B．扩大2倍    C．缩小到原来的一半    D．保持不变

6．已知是分式方程的解，那么k的值为（       ）

A．0    B．1    C．2    D．4

7．在中，，于点D，若，，则的周长为（       ）

A．13    B．18    C．21    D．26

8．如图，点E在AC上，则的度数是（       ）

A．90°    B．180°    C．270°    D．360°

9．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（       ）

A．40    B．    C．20    D．23

10．如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（       ）

A．4个    B．5个    C．6个    D．7个

二、填空题

11．正五边形的外角和等于 _______◦．

12．已知，则代数式的值为______．

13．已知，则______．

14．如图，，译添加一个条件______使得．

15．分式方程：的解是___________．

16．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则______．

17．如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．

三、解答题

18．计算：．

19．已知，求的值．

20．如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；

(2)在x轴上作出点P，使得最短，并写出点P的坐标．

21．在的运算结果中，的系数为，x的系数为，求a，b的值并对式子进行因式分解．

22．如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若，求证：．

23．某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单价是多少元？

24．如图，中，厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．

(1)当且为直角三角形时，求t的值；

(2)当t为何值，为等边三角形．

25．如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．

(1)求证：BD平分∠ABC；

(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．

参：

1．B

【解析】

【分析】

绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

解：0.000001=1.×10-6，

故选：B．

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10n的形式是关键．

2．C

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C．是轴对称图形，故本选项符合题意；

D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．C

【解析】

【分析】

按照因式分解的定义把每个选项能够分解因式的分解因式，再结合平方差公式进行判断即可.

【详解】

解：不能分解因式，故A不符合题意；

故B不符合题意；

故C符合题意；

不能分解因式，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解本题的关键.

4．D

【解析】

【分析】

按照积的乘方法则，先各自乘方，后把积相乘即可．

【详解】

∵

=

=，

故选：D．

【点睛】

本题考查了积的乘方运算，正确进行各自的乘方计算是解题的关键．

5．A

【解析】

【分析】

把变为 变为 再代入原分式进行计算，再与原分式的值进行比较即可.

【详解】

解：分式中的x，y同时扩大4倍，

则

所以分式的值扩大4倍.

故选A

【点睛】

本题考查的是分式的基本性质，掌握“分式的基本性质判断分式的值的变化”是解本题的关键.

6．D

【解析】

【分析】

把代入原方程，从而可得答案.

【详解】

解： 是分式方程的解，

解得： 

故选D

【点睛】

本题考查的是分式方程的解，掌握“分式方程的解的含义”是解本题的关键.

7．D

【解析】

【分析】

由，，，再利用等腰三角形的三线合一证明， 从而可得答案.

【详解】

解：如图，

 ，，，

∴BD=CD=5，BC=10，

，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的三线合一”是解本题的关键.

8．B

【解析】

【分析】

由三角形外角的性质可得，∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，再根据平角的定义可得答案．

【详解】

解：由三角形外角的性质可得，

∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°．

故选：B．

【点睛】

本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质．

9．C

【解析】

【分析】

根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可

【详解】

解：阴影部分面积等于

∵，，

∴阴影部分面积等于

故答案为：C

【点睛】

本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．

10．C

【解析】

【分析】

分三种情况讨论：画出符合题意的图形，从而可得答案.

【详解】

解：如图，当时，为等腰三角形，

当时，为等腰三角形，

当时，而 

所以是等边三角形，

当时，为等腰三角形，

符合条件的点有6个，

故选C

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定，清晰的分类讨论是解本题的关键.

11．360

【解析】

【详解】

试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.

考点：多边形的外角和.

12．4

【解析】

【分析】

先计算单项式乘以多项式，再整体代入化简后的代数式求值即可.

【详解】

解： ，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是代数式的值，单项式乘以多项式，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题关键.

13．

【解析】

【分析】

利用比例的基本性质，进行计算即可．

【详解】

解：，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质．

14．（答案不唯一）

【解析】

【分析】

已有， 所以补充两个角的夹边，即可判定两个三角形全等，从而可得答案.

【详解】

解： ， 

添加： 

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定，灵活选用判定三角形全等的方法是解本题的关键.

15．

【解析】

【详解】

试题解析：

方程两边同时乘以最简公分母x-1，则原方程可化为

x+(-2)=2(x-1)

解得x=0

检验：当x=0时，x-1≠0

所以x=0是原分式方程的解．

16．66°或24°##24°或66°

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案.

【详解】

解：如图，由题意得：是的垂直平分线，

如图，由题意得：是的垂直平分线，

综上：或

故答案为：或

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解本题的关键.

17．5

【解析】

【分析】

作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．所以的最大值是5．

【详解】

解：如图，

作点关于射线的对称点，连接、，B'P．

则，，，．

∵ ，

∴，

∴ 是等边三角形，

∴，

在中，，

当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．

∴的最大值是5．

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．

18．

【解析】

【分析】

先利用平方差公式进行整式的乘法运算，同步计算多项式除以单项式，再合并同类项即可.

【详解】

解：原式．

【点睛】

本题考查的是平方差公式的运用，多项式除以单项式，掌握“整式的混合运算”是解本题的关键.

19．2

【解析】

【分析】

先计算括号内分式的加法，再把除法转化为乘法，约分后可得结果，再把化为 再整体代入即可.

【详解】

解：原式

∵

∴，代入上式，

得：原式．

【点睛】

本题考查的是分式的化简求值，掌握“整体代入法求解分式的值”是解本题的关键.

20．(1)图见解析，

(2)图见解析，

【解析】

【分析】

（1）根据A（4，1），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣3）和轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出点B1的坐标；

（2）连接B1C交x轴于点P即可使得PB+PC最短，进而可以写出点P的坐标．

(1)

解：如图，△A1B1C1即为所求；

点B1的坐标为（﹣4，2）；

(2)

解：如图，点P即为所求；点P的坐标：（﹣2，0）．

【点睛】

本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称﹣最短路径问题，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握旋转的性质．

21．，，

【解析】

【分析】

先计算多项式乘以多项式，再结合题意可得，，解方程组求解的值，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】

解：∵

∴，

解得：，

∴．

【点睛】

本题考查的是多项式乘以多项式，多项式的因式分解，二元一次方程组的解法，理解题意列出方程组求解的值是解本题的关键.

22．见解析

【解析】

【分析】

先证明，可得，，再证明，从而可得答案.

【详解】

证明：∵AB，CD互相平分

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

∵

∴．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解本题的关键.

23．商场实际购进彩灯的单价是60元

【解析】

【分析】

设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，由题意：某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了，结果比原计划少购进100盏彩灯．列出分式方程，解方程即可．

【详解】

解：设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，且符合题意，

则（元，

答：商场实际购进彩灯的单价为60元．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程．

24．(1)或

(2)或

【解析】

【分析】

（1）根据题意可知当时，点M在BC上，点N在AB上，根据为直角三角形，则或，分类讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；

（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，分①时，②时两种情况，根据等边三角形的性质，列出一元一次方程，解方程求解即可；

(1)

当，点M在BC上，点N在AB上，

，，

为直角三角形，则或，

①当时，，，

即，

解得：．

②当时，，，

即，

解得：．

综上，或时，为直角三角形．

(2)

点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则，

①在时，当时，为等边三角形

此时，，

解得：．

②在时，为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，

此时，．

综上，或时，为等边三角形．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

25．(1)见解析

(2)MC=1.5

【解析】

【分析】

（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根据CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，则∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，从而证明结论；

（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，利用HL证明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再证明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，则BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，从而得出答案．

(1)

证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，

∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，

∵CE平分∠ACF，

∴∠ACF=2∠ECF，

∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，

∴BD平分∠ABC；

(2)

解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，

∵QG垂直平分AC，

∴AQ=CQ，

∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，

∴QM=QN，

∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），

∴NA=MC，

∵QM=QN，BQ=BQ，

∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），

∴NB=MB，

∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，

∴7=4+2MC，

∴MC=1.5．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．